Theorem mpoex 8093

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
mpoex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpoex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mpoex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3080	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
5	4	mpoexxg 8089	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
6	1, 3, 5	mp2an 705	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∈ cmpo 7423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003

This theorem is used by:  qexALT  13095  ruclem13  16416  vdwapfval  17155  prdsco  17645  imasvsca  17698  homffval  17870  comfffval  17878  comffval  17879  comfffn  17884  comfeq  17886  oppccofval  17896  monfval  17913  sectffval  17931  invffval  17939  cofu1st  18064  cofu2nd  18066  cofucl  18069  natfval  18130  fuccofval  18143  fucco  18146  coafval  18245  setcco  18264  catchomfval  18283  catccofval  18285  catcco  18286  estrcco  18310  xpcval  18357  xpchomfval  18359  xpccofval  18362  xpcco  18363  1stf1  18372  1stf2  18373  2ndf1  18375  2ndf2  18376  1stfcl  18377  2ndfcl  18378  prf1  18380  prf2fval  18381  prfcl  18383  prf1st  18384  prf2nd  18385  evlf2  18398  evlf1  18400  evlfcl  18402  curf1fval  18404  curf11  18406  curf12  18407  curf1cl  18408  curf2  18409  curfcl  18412  hof1fval  18433  hof2fval  18435  hofcl  18439  yonedalem3  18460  efmndplusg  19082  mgmnsgrpex  19136  sgrpnmndex  19137  grpsubfvalALT  19201  mulgfvalALT  19286  symgvalstruct  19617  lsmfval  19858  pj1fval  19914  dvrfval  20638  psrmulr  22256  psrvscafval  22262  evlslem2  22394  mamufval  22713  mvmulfval  22863  isphtpy  25308  pcofval  25337  q1pval  26479  r1pval  26482  mulsproplem9  28516  motplusg  29011  midf  29287  ismidb  29289  angmgmlem  29401  ttgval  29458  ebtwntg  29566  ecgrtg  29567  elntg  29568  wwlksnon  30446  wspthsnon  30447  clwwlknonmpo  30686  vsfval  31241  dipfval  31310  idlsrgmulr  34086  smatfval  34474  lmatval  34492  qqhval  34651  dya2iocuni  34962  sxbrsigalem5  34967  sitmval  35028  signswplusg  35231  reprval  35286  mclsrcl  36413  mclsval  36415  ldualfvs  40287  paddfval  40948  tgrpopr  41898  erngfplus  41953  erngfmul  41956  erngfplus-rN  41961  erngfmul-rN  41964  dvafvadd  42165  dvafvsca  42167  dvaabl  42175  dvhfvadd  42242  dvhfvsca  42251  djafvalN  42285  djhfval  42548  hlhilip  43099  mendplusgfval  44277  mendmulrfval  44279  mendvscafval  44282  mnringmulrd  45315  mnringmulrcld  45320  hoidmvval  47681  cznrng  49452  cznnring  49453  rngchomfvalALTV  49458  rngccofvalALTV  49461  rngccoALTV  49462  ringchomfvalALTV  49492  ringccofvalALTV  49495  ringccoALTV  49496  rrx2xpreen  49926  lines  49938  spheres  49952  funcf2lem2  50290  upfval  50386  swapfelvv  50479  swapf2fvala  50480  swapf1vala  50482  tposcurf1  50515  diag1f1lem  50522  fucoelvv  50536  fucofn2  50540  fucofvalne  50541  fuco112  50545  fuco111  50546  fuco21  50552  postcof1st  50592  postcof2nd  50593  prcofelvv  50609  reldmprcof1  50610  reldmprcof2  50611  prcof1  50617  prcof2a  50618  prcof2  50619  functhinclem1  50673  thincciso  50682  functermc2  50738  incat  50833  setc1onsubc  50834  parcatid2  50857  parcatid  50858  par2str  50863  parmapfunc2  50868  fuconuniqlem  50875  fuconuniqvalslem  50877  lanfn  50886  ranfn  50887  lanfval  50890  ranfval  50891  crosspdot0lem  51132