Theorem mpoex 8025

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
mpoex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpoex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mpoex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3056	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
5	4	mpoexxg 8021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
6	1, 3, 5	mp2an 693	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∈ cmpo 7362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936

This theorem is referenced by:  qexALT  12905  ruclem13  16200  vdwapfval  16933  prdsco  17422  imasvsca  17475  homffval  17647  comfffval  17655  comffval  17656  comfffn  17661  comfeq  17663  oppccofval  17673  monfval  17690  sectffval  17708  invffval  17716  cofu1st  17841  cofu2nd  17843  cofucl  17846  natfval  17907  fuccofval  17920  fucco  17923  coafval  18022  setcco  18041  catchomfval  18060  catccofval  18062  catcco  18063  estrcco  18087  xpcval  18134  xpchomfval  18136  xpccofval  18139  xpcco  18140  1stf1  18149  1stf2  18150  2ndf1  18152  2ndf2  18153  1stfcl  18154  2ndfcl  18155  prf1  18157  prf2fval  18158  prfcl  18160  prf1st  18161  prf2nd  18162  evlf2  18175  evlf1  18177  evlfcl  18179  curf1fval  18181  curf11  18183  curf12  18184  curf1cl  18185  curf2  18186  curfcl  18189  hof1fval  18210  hof2fval  18212  hofcl  18216  yonedalem3  18237  efmndplusg  18839  mgmnsgrpex  18893  sgrpnmndex  18894  grpsubfvalALT  18951  mulgfvalALT  19037  symgvalstruct  19363  lsmfval  19604  pj1fval  19660  dvrfval  20373  psrmulr  21931  psrvscafval  21937  evlslem2  22067  mamufval  22367  mvmulfval  22517  isphtpy  24958  pcofval  24987  q1pval  26130  r1pval  26133  mulsproplem9  28130  motplusg  28624  midf  28858  ismidb  28860  ttgval  28957  ebtwntg  29065  ecgrtg  29066  elntg  29067  wwlksnon  29934  wspthsnon  29935  clwwlknonmpo  30174  vsfval  30719  dipfval  30788  idlsrgmulr  33582  smatfval  33955  lmatval  33973  qqhval  34132  dya2iocuni  34443  sxbrsigalem5  34448  sitmval  34509  signswplusg  34715  reprval  34770  mclsrcl  35759  mclsval  35761  ldualfvs  39596  paddfval  40257  tgrpopr  41207  erngfplus  41262  erngfmul  41265  erngfplus-rN  41270  erngfmul-rN  41273  dvafvadd  41474  dvafvsca  41476  dvaabl  41484  dvhfvadd  41551  dvhfvsca  41560  djafvalN  41594  djhfval  41857  hlhilip  42408  mendplusgfval  43627  mendmulrfval  43629  mendvscafval  43632  mnringmulrd  44668  mnringmulrcld  44673  hoidmvval  47023  cznrng  48749  cznnring  48750  rngchomfvalALTV  48755  rngccofvalALTV  48758  rngccoALTV  48759  ringchomfvalALTV  48789  ringccofvalALTV  48792  ringccoALTV  48793  rrx2xpreen  49207  lines  49219  spheres  49234  funcf2lem2  49569  upfval  49663  swapfelvv  49750  swapf2fvala  49751  swapf1vala  49753  tposcurf1  49786  diag1f1lem  49793  fucoelvv  49807  fucofn2  49811  fucofvalne  49812  fuco112  49816  fuco111  49817  fuco21  49823  prcofelvv  49867  reldmprcof1  49868  reldmprcof2  49869  prcof1  49875  prcof2a  49876  prcof2  49877  functhinclem1  49931  thincciso  49940  functermc2  49996  incat  50088  setc1onsubc  50089  lanfn  50096  ranfn  50097  lanfval  50100  ranfval  50101