Theorem mpoex 8078

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
mpoex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpoex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mpoex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3086	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
5	4	mpoexxg 8074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
6	1, 3, 5	mp2an 705	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458   ∈ cmpo 7418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989

This theorem is used by:  qexALT  12998  ruclem13  16308  vdwapfval  17041  prdsco  17531  imasvsca  17584  homffval  17756  comfffval  17764  comffval  17765  comfffn  17770  comfeq  17772  oppccofval  17782  monfval  17799  sectffval  17817  invffval  17825  cofu1st  17950  cofu2nd  17952  cofucl  17955  natfval  18016  fuccofval  18029  fucco  18032  coafval  18131  setcco  18150  catchomfval  18169  catccofval  18171  catcco  18172  estrcco  18196  xpcval  18243  xpchomfval  18245  xpccofval  18248  xpcco  18249  1stf1  18258  1stf2  18259  2ndf1  18261  2ndf2  18262  1stfcl  18263  2ndfcl  18264  prf1  18266  prf2fval  18267  prfcl  18269  prf1st  18270  prf2nd  18271  evlf2  18284  evlf1  18286  evlfcl  18288  curf1fval  18290  curf11  18292  curf12  18293  curf1cl  18294  curf2  18295  curfcl  18298  hof1fval  18319  hof2fval  18321  hofcl  18325  yonedalem3  18346  efmndplusg  18949  mgmnsgrpex  19003  sgrpnmndex  19004  grpsubfvalALT  19061  mulgfvalALT  19146  symgvalstruct  19477  lsmfval  19718  pj1fval  19774  dvrfval  20495  psrmulr  22107  psrvscafval  22113  evlslem2  22245  mamufval  22564  mvmulfval  22714  isphtpy  25155  pcofval  25184  q1pval  26327  r1pval  26330  mulsproplem9  28332  motplusg  28826  midf  29100  ismidb  29102  ttgval  29239  ebtwntg  29347  ecgrtg  29348  elntg  29349  wwlksnon  30215  wspthsnon  30216  clwwlknonmpo  30455  vsfval  31000  dipfval  31069  idlsrgmulr  33810  smatfval  34198  lmatval  34216  qqhval  34375  dya2iocuni  34686  sxbrsigalem5  34691  sitmval  34752  signswplusg  34955  reprval  35010  mclsrcl  36065  mclsval  36067  ldualfvs  39942  paddfval  40603  tgrpopr  41553  erngfplus  41608  erngfmul  41611  erngfplus-rN  41616  erngfmul-rN  41619  dvafvadd  41820  dvafvsca  41822  dvaabl  41830  dvhfvadd  41897  dvhfvsca  41906  djafvalN  41940  djhfval  42203  hlhilip  42754  mendplusgfval  43940  mendmulrfval  43942  mendvscafval  43945  mnringmulrd  44979  mnringmulrcld  44984  hoidmvval  47323  cznrng  49058  cznnring  49059  rngchomfvalALTV  49064  rngccofvalALTV  49067  rngccoALTV  49068  ringchomfvalALTV  49098  ringccofvalALTV  49101  ringccoALTV  49102  rrx2xpreen  49531  lines  49543  spheres  49558  funcf2lem2  49892  upfval  49986  swapfelvv  50073  swapf2fvala  50074  swapf1vala  50076  tposcurf1  50109  diag1f1lem  50116  fucoelvv  50130  fucofn2  50134  fucofvalne  50135  fuco112  50139  fuco111  50140  fuco21  50146  prcofelvv  50190  reldmprcof1  50191  reldmprcof2  50192  prcof1  50198  prcof2a  50199  prcof2  50200  functhinclem1  50254  thincciso  50263  functermc2  50319  incat  50411  setc1onsubc  50412  lanfn  50419  ranfn  50420  lanfval  50423  ranfval  50424  crosspdot0i  50676