Theorem mpoex 7952

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
mpoex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpoex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mpoex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3066	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
5	4	mpoexxg 7948	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
6	1, 3, 5	mp2an 690	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  Vcvv 3437   ∈ cmpo 7309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrd  7953  qexALT  12750  ruclem13  15996  vdwapfval  16717  prdsco  17224  imasvsca  17276  homffval  17444  comfffval  17452  comffval  17453  comfffn  17458  comfeq  17460  oppccofval  17471  monfval  17489  sectffval  17507  invffval  17515  cofu1st  17643  cofu2nd  17645  cofucl  17648  natfval  17707  fuccofval  17721  fucco  17725  coafval  17824  setcco  17843  catchomfval  17862  catccofval  17864  catcco  17865  estrcco  17891  xpcval  17939  xpchomfval  17941  xpccofval  17944  xpcco  17945  1stf1  17954  1stf2  17955  2ndf1  17957  2ndf2  17958  1stfcl  17959  2ndfcl  17960  prf1  17962  prf2fval  17963  prfcl  17965  prf1st  17966  prf2nd  17967  evlf2  17981  evlf1  17983  evlfcl  17985  curf1fval  17987  curf11  17989  curf12  17990  curf1cl  17991  curf2  17992  curfcl  17995  hof1fval  18016  hof2fval  18018  hofcl  18022  yonedalem3  18043  efmndplusg  18564  mgmnsgrpex  18615  sgrpnmndex  18616  grpsubfvalALT  18669  mulgfvalALT  18748  symgvalstruct  19049  symgvalstructOLD  19050  lsmfval  19288  pj1fval  19345  dvrfval  19971  psrmulr  21198  psrvscafval  21204  evlslem2  21334  mamufval  21579  mvmulfval  21736  isphtpy  24189  pcofval  24218  q1pval  25363  r1pval  25366  motplusg  26948  midf  27182  ismidb  27184  ttgval  27281  ttgvalOLD  27282  ebtwntg  27395  ecgrtg  27396  elntg  27397  wwlksnon  28261  wspthsnon  28262  clwwlknonmpo  28498  vsfval  29040  dipfval  29109  idlsrgmulr  31697  smatfval  31790  lmatval  31808  qqhval  31969  dya2iocuni  32295  sxbrsigalem5  32300  sitmval  32361  signswplusg  32579  reprval  32635  mclsrcl  33568  mclsval  33570  ldualfvs  37192  paddfval  37853  tgrpopr  38803  erngfplus  38858  erngfmul  38861  erngfplus-rN  38866  erngfmul-rN  38869  dvafvadd  39070  dvafvsca  39072  dvaabl  39080  dvhfvadd  39147  dvhfvsca  39156  djafvalN  39190  djhfval  39453  hlhilip  40008  mendplusgfval  41048  mendmulrfval  41050  mendvscafval  41053  mnringmulrd  41877  mnringmulrcld  41884  hoidmvval  44165  cznrng  45571  cznnring  45572  rngchomfvalALTV  45600  rngccofvalALTV  45603  rngccoALTV  45604  ringchomfvalALTV  45663  ringccofvalALTV  45666  ringccoALTV  45667  rrx2xpreen  46123  lines  46135  spheres  46150  functhinclem1  46380  thincciso  46388