Theorem mpoex 8055

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpoex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
mpoex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpoex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mpoex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3079	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
5	4	mpoexxg 8051	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
6	1, 3, 5	mp2an 702	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ∈ cmpo 7393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966

This theorem is referenced by:  qexALT  12959  ruclem13  16265  vdwapfval  16998  prdsco  17488  imasvsca  17541  homffval  17713  comfffval  17721  comffval  17722  comfffn  17727  comfeq  17729  oppccofval  17739  monfval  17756  sectffval  17774  invffval  17782  cofu1st  17907  cofu2nd  17909  cofucl  17912  natfval  17973  fuccofval  17986  fucco  17989  coafval  18088  setcco  18107  catchomfval  18126  catccofval  18128  catcco  18129  estrcco  18153  xpcval  18200  xpchomfval  18202  xpccofval  18205  xpcco  18206  1stf1  18215  1stf2  18216  2ndf1  18218  2ndf2  18219  1stfcl  18220  2ndfcl  18221  prf1  18223  prf2fval  18224  prfcl  18226  prf1st  18227  prf2nd  18228  evlf2  18241  evlf1  18243  evlfcl  18245  curf1fval  18247  curf11  18249  curf12  18250  curf1cl  18251  curf2  18252  curfcl  18255  hof1fval  18276  hof2fval  18278  hofcl  18282  yonedalem3  18303  efmndplusg  18905  mgmnsgrpex  18959  sgrpnmndex  18960  grpsubfvalALT  19017  mulgfvalALT  19103  symgvalstruct  19428  lsmfval  19669  pj1fval  19725  dvrfval  20438  psrmulr  21982  psrvscafval  21988  evlslem2  22120  mamufval  22440  mvmulfval  22590  isphtpy  25031  pcofval  25060  q1pval  26203  r1pval  26206  mulsproplem9  28205  motplusg  28699  midf  28933  ismidb  28935  ttgval  29032  ebtwntg  29140  ecgrtg  29141  elntg  29142  wwlksnon  30008  wspthsnon  30009  clwwlknonmpo  30248  vsfval  30793  dipfval  30862  idlsrgmulr  33664  smatfval  34053  lmatval  34071  qqhval  34230  dya2iocuni  34541  sxbrsigalem5  34546  sitmval  34607  signswplusg  34810  reprval  34865  mclsrcl  35872  mclsval  35874  ldualfvs  39721  paddfval  40382  tgrpopr  41332  erngfplus  41387  erngfmul  41390  erngfplus-rN  41395  erngfmul-rN  41398  dvafvadd  41599  dvafvsca  41601  dvaabl  41609  dvhfvadd  41676  dvhfvsca  41685  djafvalN  41719  djhfval  41982  hlhilip  42533  mendplusgfval  43719  mendmulrfval  43721  mendvscafval  43724  mnringmulrd  44760  mnringmulrcld  44765  hoidmvval  47112  cznrng  48844  cznnring  48845  rngchomfvalALTV  48850  rngccofvalALTV  48853  rngccoALTV  48854  ringchomfvalALTV  48884  ringccofvalALTV  48887  ringccoALTV  48888  rrx2xpreen  49302  lines  49314  spheres  49329  funcf2lem2  49664  upfval  49758  swapfelvv  49845  swapf2fvala  49846  swapf1vala  49848  tposcurf1  49881  diag1f1lem  49888  fucoelvv  49902  fucofn2  49906  fucofvalne  49907  fuco112  49911  fuco111  49912  fuco21  49918  prcofelvv  49962  reldmprcof1  49963  reldmprcof2  49964  prcof1  49970  prcof2a  49971  prcof2  49972  functhinclem1  50026  thincciso  50035  functermc2  50091  incat  50183  setc1onsubc  50184  lanfn  50191  ranfn  50192  lanfval  50195  ranfval  50196