Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cvlexch.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cvlexch.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cvlexch.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cvlexch.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | cvlexchb1 37838 |
. 2
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β (π β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
6 | | cvllat 37834 |
. . . . 5
β’ (πΎ β CvLat β πΎ β Lat) |
7 | 6 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β πΎ β Lat) |
8 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β π β π΄) |
9 | 1, 4 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β π β π΅) |
11 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β π β π΅) |
12 | 1, 3 | latjcom 18341 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
13 | 7, 10, 11, 12 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
14 | 13 | breq2d 5118 |
. 2
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
15 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β π β π΄) |
16 | 1, 4 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β π β π΅) |
18 | 1, 3 | latjcom 18341 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
19 | 7, 17, 11, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
20 | 19, 13 | eqeq12d 2749 |
. 2
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β ((π β¨ π) = (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
21 | 5, 14, 20 | 3bitr4d 311 |
1
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ Β¬ π β€ π) β (π β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |