Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dian0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dian0 40516
Description: The value of the partial isomorphism A is not empty. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dian0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dian0.l = (le‘𝐾)
dian0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dian0.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dian0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)

Proof of Theorem dian0
StepHypRef Expression
1 dian0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dian0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2727 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3idltrn 39627 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
54adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6 eqid 2727 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 eqid 2727 . . . . . 6 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81, 6, 2, 7trlid0 39653 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
98adantr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10 hlatl 38836 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1110adantr 479 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
12 simpl 481 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
13 dian0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
141, 13, 6atl0le 38780 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (0.‘𝐾) 𝑋)
1511, 12, 14syl2an 594 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (0.‘𝐾) 𝑋)
169, 15eqbrtrd 5172 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) 𝑋)
17 dian0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
181, 13, 2, 3, 7, 17diaelval 40510 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋) ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) 𝑋)))
195, 16, 18mpbir2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋))
2019ne0d 4337 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  c0 4324   class class class wbr 5150   I cid 5577  cres 5682  cfv 6551  Basecbs 17185  lecple 17245  0.cp0 18420  AtLatcal 38740  HLchlt 38826  LHypclh 39461  LTrncltrn 39578  trLctrl 39635  DIsoAcdia 40505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8851  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-lhyp 39465  df-laut 39466  df-ldil 39581  df-ltrn 39582  df-trl 39636  df-disoa 40506
This theorem is referenced by:  dialss  40523  dibn0  40630
  Copyright terms: Public domain W3C validator