Theorem dian0 39095

Description: The value of the partial isomorphism A is not empty. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dian0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dian0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dian0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dian0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dian0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)

Proof of Theorem dian0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dian0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dian0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	idltrn 38206	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
5	4	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 6, 2, 7	trlid0 38232	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
9	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10		hlatl 37416	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
11	10	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
12		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		dian0.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14	1, 13, 6	atl0le 37360	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ≤ 𝑋)
15	11, 12, 14	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (0.‘𝐾) ≤ 𝑋)
16	9, 15	eqbrtrd 5103	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) ≤ 𝑋)
17		dian0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
18	1, 13, 2, 3, 7, 17	diaelval 39089	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) ≤ 𝑋)))
19	5, 16, 18	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼‘𝑋))
20	19	ne0d 4275	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ∅c0 4262   class class class wbr 5081   I cid 5499   ↾ cres 5602  ‘cfv 6458  Basecbs 16957  lecple 17014  0.cp0 18186  AtLatcal 37320  HLchlt 37406  LHypclh 38040  LTrncltrn 38157  trLctrl 38214  DIsoAcdia 39084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-map 8648  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-p1 18189  df-lat 18195  df-clat 18262  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407  df-lhyp 38044  df-laut 38045  df-ldil 38160  df-ltrn 38161  df-trl 38215  df-disoa 39085

This theorem is referenced by:  dialss  39102  dibn0  39209