Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dian0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dian0 37568
Description: The value of the partial isomorphism A is not empty. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dian0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dian0.l = (le‘𝐾)
dian0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dian0.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dian0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)

Proof of Theorem dian0
StepHypRef Expression
1 dian0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dian0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2772 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3idltrn 36679 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
54adantr 473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6 eqid 2772 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 eqid 2772 . . . . . 6 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81, 6, 2, 7trlid0 36705 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
98adantr 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10 hlatl 35889 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1110adantr 473 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
12 simpl 475 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
13 dian0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
141, 13, 6atl0le 35833 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (0.‘𝐾) 𝑋)
1511, 12, 14syl2an 586 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (0.‘𝐾) 𝑋)
169, 15eqbrtrd 4945 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) 𝑋)
17 dian0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
181, 13, 2, 3, 7, 17diaelval 37562 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋) ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) 𝑋)))
195, 16, 18mpbir2and 700 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋))
2019ne0d 4182 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  c0 4173   class class class wbr 4923   I cid 5304  cres 5402  cfv 6182  Basecbs 16329  lecple 16418  0.cp0 17495  AtLatcal 35793  HLchlt 35879  LHypclh 36513  LTrncltrn 36630  trLctrl 36687  DIsoAcdia 37557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-map 8200  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688  df-disoa 37558
This theorem is referenced by:  dialss  37575  dibn0  37682
  Copyright terms: Public domain W3C validator