Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dian0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dian0 38334
Description: The value of the partial isomorphism A is not empty. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dian0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dian0.l = (le‘𝐾)
dian0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dian0.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dian0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)

Proof of Theorem dian0
StepHypRef Expression
1 dian0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dian0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2801 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3idltrn 37445 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
54adantr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6 eqid 2801 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 eqid 2801 . . . . . 6 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
81, 6, 2, 7trlid0 37471 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
98adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10 hlatl 36655 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
12 simpl 486 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
13 dian0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
141, 13, 6atl0le 36599 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (0.‘𝐾) 𝑋)
1511, 12, 14syl2an 598 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (0.‘𝐾) 𝑋)
169, 15eqbrtrd 5055 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) 𝑋)
17 dian0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
181, 13, 2, 3, 7, 17diaelval 38328 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋) ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) 𝑋)))
195, 16, 18mpbir2and 712 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼𝑋))
2019ne0d 4254 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  c0 4246   class class class wbr 5033   I cid 5427  cres 5525  cfv 6328  Basecbs 16479  lecple 16568  0.cp0 17643  AtLatcal 36559  HLchlt 36645  LHypclh 37279  LTrncltrn 37396  trLctrl 37453  DIsoAcdia 38323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-map 8395  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454  df-disoa 38324
This theorem is referenced by:  dialss  38341  dibn0  38448
  Copyright terms: Public domain W3C validator