Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dian0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dian0 40512
Description: The value of the partial isomorphism A is not empty. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dian0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dian0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dian0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dian0.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dian0 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)

Proof of Theorem dian0
StepHypRef Expression
1 dian0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dian0.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2728 . . . . 5 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3idltrn 39623 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
54adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
6 eqid 2728 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 eqid 2728 . . . . . 6 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
81, 6, 2, 7trlid0 39649 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
98adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
10 hlatl 38832 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
12 simpl 482 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 dian0.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
141, 13, 6atl0le 38776 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ 𝑋)
1511, 12, 14syl2an 595 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (0.β€˜πΎ) ≀ 𝑋)
169, 15eqbrtrd 5170 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ≀ 𝑋)
17 dian0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
181, 13, 2, 3, 7, 17diaelval 40506 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ↔ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ≀ 𝑋)))
195, 16, 18mpbir2and 712 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
2019ne0d 4336 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148   I cid 5575   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  Basecbs 17179  lecple 17239  0.cp0 18414  AtLatcal 38736  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  trLctrl 39631  DIsoAcdia 40501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8846  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-disoa 40502
This theorem is referenced by:  dialss  40519  dibn0  40626
  Copyright terms: Public domain W3C validator