Theorem dian0 40516

Description: The value of the partial isomorphism A is not empty. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dian0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dian0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dian0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dian0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dian0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)

Proof of Theorem dian0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dian0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dian0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	idltrn 39627	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
5	4	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 6, 2, 7	trlid0 39653	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
9	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
10		hlatl 38836	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
11	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
12		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		dian0.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14	1, 13, 6	atl0le 38780	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) ≤ 𝑋)
15	11, 12, 14	syl2an 594	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (0.‘𝐾) ≤ 𝑋)
16	9, 15	eqbrtrd 5172	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) ≤ 𝑋)
17		dian0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
18	1, 13, 2, 3, 7, 17	diaelval 40510	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) ≤ 𝑋)))
19	5, 16, 18	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝐼‘𝑋))
20	19	ne0d 4337	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∅c0 4324   class class class wbr 5150   I cid 5577   ↾ cres 5682  ‘cfv 6551  Basecbs 17185  lecple 17245  0.cp0 18420  AtLatcal 38740  HLchlt 38826  LHypclh 39461  LTrncltrn 39578  trLctrl 39635  DIsoAcdia 40505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8851  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-lhyp 39465  df-laut 39466  df-ldil 39581  df-ltrn 39582  df-trl 39636  df-disoa 40506

This theorem is referenced by:  dialss  40523  dibn0  40630