Theorem diasslssN 40682

Description: The partial isomorphism A maps to subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diasslss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diasslss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
diasslss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diasslss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diasslssN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem diasslssN

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diasslss.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		diasslss.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	diaf11N 40672	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
4		f1ocnvfv2 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) = 𝑥)
5	3, 4	sylan 578	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) = 𝑥)
6	1, 2	diacnvclN 40674	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
7		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9	7, 8, 1, 2	diaeldm 40659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼 ↔ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)))
10	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼 ↔ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)))
11	6, 10	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊))
12		diasslss.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
13		diasslss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14	7, 8, 1, 12, 2, 13	dialss 40669	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) ∈ 𝑆)
15	11, 14	syldan 589	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) ∈ 𝑆)
16	5, 15	eqeltrrd 2826	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	16	ex 411	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → 𝑥 ∈ 𝑆))
18	17	ssrdv 3982	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  –1-1-onto→wf1o 6548  ‘cfv 6549  Basecbs 17199  lecple 17259  LSubSpclss 20844  HLchlt 38972  LHypclh 39607  DVecAcdveca 40625  DIsoAcdia 40651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38575

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-proset 18306  df-poset 18324  df-plt 18341  df-lub 18357  df-glb 18358  df-join 18359  df-meet 18360  df-p0 18436  df-p1 18437  df-lat 18443  df-clat 18510  df-lss 20845  df-oposet 38798  df-ol 38800  df-oml 38801  df-covers 38888  df-ats 38889  df-atl 38920  df-cvlat 38944  df-hlat 38973  df-llines 39121  df-lplanes 39122  df-lvols 39123  df-lines 39124  df-psubsp 39126  df-pmap 39127  df-padd 39419  df-lhyp 39611  df-laut 39612  df-ldil 39727  df-ltrn 39728  df-trl 39782  df-tendo 40378  df-edring 40380  df-dveca 40626  df-disoa 40652

This theorem is referenced by:  diarnN  40752