Theorem diasslssN 42262

Description: The partial isomorphism A maps to subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diasslss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diasslss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
diasslss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diasslss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diasslssN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem diasslssN

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diasslss.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		diasslss.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	diaf11N 42252	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
4		f1ocnvfv2 7295	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) = 𝑥)
5	3, 4	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) = 𝑥)
6	1, 2	diacnvclN 42254	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
7		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9	7, 8, 1, 2	diaeldm 42239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼 ↔ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)))
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼 ↔ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)))
11	6, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊))
12		diasslss.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
13		diasslss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14	7, 8, 1, 12, 2, 13	dialss 42249	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) ∈ 𝑆)
15	11, 14	syldan 603	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) ∈ 𝑆)
16	5, 15	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	16	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → 𝑥 ∈ 𝑆))
18	17	ssrdv 3919	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656  –1-1-onto→wf1o 6546  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  lecple 17450  LSubSpclss 21221  HLchlt 40553  LHypclh 41187  DVecAcdveca 42205  DIsoAcdia 42231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-riotaBAD 40156

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-undef 8304  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-clat 18688  df-lss 21222  df-oposet 40379  df-ol 40381  df-oml 40382  df-covers 40469  df-ats 40470  df-atl 40501  df-cvlat 40525  df-hlat 40554  df-llines 40701  df-lplanes 40702  df-lvols 40703  df-lines 40704  df-psubsp 40706  df-pmap 40707  df-padd 40999  df-lhyp 41191  df-laut 41192  df-ldil 41307  df-ltrn 41308  df-trl 41362  df-tendo 41958  df-edring 41960  df-dveca 42206  df-disoa 42232

This theorem is used by:  diarnN  42332