Theorem diasslssN 41078

Description: The partial isomorphism A maps to subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diasslss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diasslss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
diasslss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diasslss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diasslssN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem diasslssN

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diasslss.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		diasslss.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	diaf11N 41068	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
4		f1ocnvfv2 7270	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) = 𝑥)
5	3, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) = 𝑥)
6	1, 2	diacnvclN 41070	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼)
7		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9	7, 8, 1, 2	diaeldm 41055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼 ↔ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ dom 𝐼 ↔ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)))
11	6, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊))
12		diasslss.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
13		diasslss.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
14	7, 8, 1, 12, 2, 13	dialss 41065	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑥)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) ∈ 𝑆)
15	11, 14	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑥)) ∈ 𝑆)
16	5, 15	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼 → 𝑥 ∈ 𝑆))
18	17	ssrdv 3964	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  LSubSpclss 20888  HLchlt 39368  LHypclh 40003  DVecAcdveca 41021  DIsoAcdia 41047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-lss 20889  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-tendo 40774  df-edring 40776  df-dveca 41022  df-disoa 41048

This theorem is referenced by:  diarnN  41148