Theorem diaf11N 39063

Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 27. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1o.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaf11N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)

Proof of Theorem diaf11N

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		dia1o.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dia1o.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	diafn 39048	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
6		fnfun 6533	. . . 4 ⊢ (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → Fun 𝐼)
7		funfn 6464	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐼 ↔ 𝐼 Fn dom 𝐼)
8	6, 7	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
10		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = ran 𝐼)
11	1, 2, 3, 4	diaeldm 39050	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
12	1, 2, 3, 4	diaeldm 39050	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
13	11, 12	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐼) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊))))
14	1, 2, 3, 4	dia11N 39062	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16	15	3expib 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
17	13, 16	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
18	17	ralrimivv 3122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
19		dff1o6 7147	. 2 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ↔ (𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ ran 𝐼 = ran 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
20	9, 10, 18, 19	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ran crn 5590  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DIsoAcdia 39042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-disoa 39043

This theorem is referenced by:  diaclN  39064  diacnvclN  39065  dia1elN  39068  diainN  39071  diaintclN  39072  diasslssN  39073  docaclN  39138  diaocN  39139  doca3N  39141  diaf1oN  39144