Theorem diaf11N 42249

Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 27. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1o.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diaf11N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)

Proof of Theorem diaf11N

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		dia1o.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dia1o.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	diafn 42234	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
6		fnfun 6650	. . . 4 ⊢ (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → Fun 𝐼)
7		funfn 6579	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐼 ↔ 𝐼 Fn dom 𝐼)
8	6, 7	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9	5, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
10		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 = ran 𝐼)
11	1, 2, 3, 4	diaeldm 42236	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
12	1, 2, 3, 4	diaeldm 42236	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
13	11, 12	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐼) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊))))
14	1, 2, 3, 4	dia11N 42248	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16	15	3expib 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
17	13, 16	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
18	17	ralrimivv 3207	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
19		dff1o6 7293	. 2 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ↔ (𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ ran 𝐼 = ran 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
20	9, 10, 18, 19	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  {crab 3416   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ran crn 5656  Fun wfun 6541   Fn wfn 6542  –1-1-onto→wf1o 6546  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  lecple 17450  HLchlt 40550  LHypclh 41184  DIsoAcdia 42228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-riotaBAD 40153

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-undef 8304  df-map 8863  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-clat 18688  df-oposet 40376  df-ol 40378  df-oml 40379  df-covers 40466  df-ats 40467  df-atl 40498  df-cvlat 40522  df-hlat 40551  df-llines 40698  df-lplanes 40699  df-lvols 40700  df-lines 40701  df-psubsp 40703  df-pmap 40704  df-padd 40996  df-lhyp 41188  df-laut 41189  df-ldil 41304  df-ltrn 41305  df-trl 41359  df-disoa 42229

This theorem is used by:  diaclN  42250  diacnvclN  42251  dia1elN  42254  diainN  42257  diaintclN  42258  diasslssN  42259  docaclN  42324  diaocN  42325  doca3N  42327  diaf1oN  42330