Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaf11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaf11N 37124
Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 27. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1o.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diaf11N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)

Proof of Theorem diaf11N
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2825 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 dia1o.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dia1o.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4diafn 37109 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
6 fnfun 6221 . . . 4 (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → Fun 𝐼)
7 funfn 6153 . . . 4 (Fun 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
86, 7sylib 210 . . 3 (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → 𝐼 Fn dom 𝐼)
95, 8syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
10 eqidd 2826 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = ran 𝐼)
111, 2, 3, 4diaeldm 37111 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
121, 2, 3, 4diaeldm 37111 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
1311, 12anbi12d 626 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊))))
141, 2, 3, 4dia11N 37123 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1514biimpd 221 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16153expib 1158 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1713, 16sylbid 232 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1817ralrimivv 3179 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
19 dff1o6 6786 . 2 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 ↔ (𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ ran 𝐼 = ran 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
209, 10, 18, 19syl3anbrc 1449 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117  {crab 3121   class class class wbr 4873  dom cdm 5342  ran crn 5343  Fun wfun 6117   Fn wfn 6118  1-1-ontowf1o 6122  cfv 6123  Basecbs 16222  lecple 16312  HLchlt 35425  LHypclh 36059  DIsoAcdia 37103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-riotaBAD 35028
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-undef 7664  df-map 8124  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-disoa 37104
This theorem is referenced by:  diaclN  37125  diacnvclN  37126  dia1elN  37129  diainN  37132  diaintclN  37133  diasslssN  37134  docaclN  37199  diaocN  37200  doca3N  37202  diaf1oN  37205
  Copyright terms: Public domain W3C validator