Theorem dib2dim 41232

Description: Extend dia2dim 41066 to partial isomorphism B. (Contributed by NM, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib2dim.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dib2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dib2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dib2dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib2dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib2dim.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dib2dim.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib2dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dib2dim.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
dib2dim.q	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dib2dim	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dib2dim

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dib2dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dib2dim.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dib2dim.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	dibvalrel 41152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
6		dib2dim.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		dib2dim.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dib2dim.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
12		dib2dim.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dib2dim.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
14	6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 1, 12, 13	dia2dim 41066	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
15	14	sseld 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))))
16	15	anim1d 611	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
17	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
18	12	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
19	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 7, 8	hlatjcl 39355	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑊)
24	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑊)
25	17	hllatd 39352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
26	20, 8	atbase 39277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
27	18, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
28	20, 8	atbase 39277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	19, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
30	1	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
31	20, 2	lhpbase 39987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
33	20, 6, 7	latjle12 18415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
34	25, 27, 29, 32, 33	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
35	23, 24, 34	mpbi2and 712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)
36		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
37		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
38	20, 6, 2, 36, 37, 11, 3	dibopelval2 41134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
39	1, 22, 35, 38	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
40		dib2dim.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
41		dib2dim.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
42	27, 23	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
43	29, 24	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
44	20, 6, 2, 36, 37, 9, 40, 10, 41, 11, 3, 1, 42, 43	diblsmopel 41160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
45	16, 39, 44	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄))))
46	5, 45	relssdv 5753	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190   I cid 5534   ↾ cres 5642  Rel wrel 5645  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  lecple 17233  joincjn 18278  Latclat 18396  LSSumclsm 19570  Atomscatm 39251  HLchlt 39338  LHypclh 39973  LTrncltrn 40090  DVecAcdveca 40991  DIsoAcdia 41017  DVecHcdvh 41067  DIsoBcdib 41127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-riotaBAD 38941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17410  df-proset 18261  df-poset 18280  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lvec 21016  df-oposet 39164  df-ol 39166  df-oml 39167  df-covers 39254  df-ats 39255  df-atl 39286  df-cvlat 39310  df-hlat 39339  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148  df-tgrp 40732  df-tendo 40744  df-edring 40746  df-dveca 40992  df-disoa 41018  df-dvech 41068  df-dib 41128

This theorem is referenced by:  dih2dimb  41233