Theorem dib2dim 41703

Description: Extend dia2dim 41537 to partial isomorphism B. (Contributed by NM, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib2dim.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dib2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dib2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dib2dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib2dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib2dim.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dib2dim.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib2dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dib2dim.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
dib2dim.q	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dib2dim	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dib2dim

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dib2dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dib2dim.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dib2dim.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	dibvalrel 41623	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
6		dib2dim.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		dib2dim.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dib2dim.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
12		dib2dim.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dib2dim.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
14	6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 1, 12, 13	dia2dim 41537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
15	14	sseld 3921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))))
16	15	anim1d 612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
17	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
18	12	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
19	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 7, 8	hlatjcl 39827	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑊)
24	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑊)
25	17	hllatd 39824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
26	20, 8	atbase 39749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
27	18, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
28	20, 8	atbase 39749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	19, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
30	1	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
31	20, 2	lhpbase 40458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
33	20, 6, 7	latjle12 18407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
34	25, 27, 29, 32, 33	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
35	23, 24, 34	mpbi2and 713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)
36		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
37		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
38	20, 6, 2, 36, 37, 11, 3	dibopelval2 41605	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
39	1, 22, 35, 38	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
40		dib2dim.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
41		dib2dim.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
42	27, 23	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
43	29, 24	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
44	20, 6, 2, 36, 37, 9, 40, 10, 41, 11, 3, 1, 42, 43	diblsmopel 41631	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
45	16, 39, 44	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄))))
46	5, 45	relssdv 5737	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   ↾ cres 5626  Rel wrel 5629  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  Latclat 18388  LSSumclsm 19600  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  LHypclh 40444  LTrncltrn 40561  DVecAcdveca 41462  DIsoAcdia 41488  DVecHcdvh 41538  DIsoBcdib 41598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-undef 8216  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619  df-tgrp 41203  df-tendo 41215  df-edring 41217  df-dveca 41463  df-disoa 41489  df-dvech 41539  df-dib 41599

This theorem is referenced by:  dih2dimb  41704