Theorem dih2dimbALTN 37823

Description: Extend dia2dim 37655 to isomorphism H. (This version combines dib2dim 37821 and dih2dimb 37822 for shorter overall proof, but may be less easy to understand. TODO: decide which to use.) (Contributed by NM, 22-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih2dimb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih2dimb.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dih2dimb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dih2dimb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih2dimb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih2dimb.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dih2dimb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih2dimb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih2dimb.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
dih2dimb.q	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dih2dimbALTN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dih2dimbALTN

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih2dimb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih2dimb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2779	. . . . 5 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	dibvalrel 37741	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
6		dih2dimb.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		dih2dimb.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dih2dimb.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		eqid 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2779	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
12		dih2dimb.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dih2dimb.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
14	6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 1, 12, 13	dia2dim 37655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
15	14	sseld 3858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))))
16	15	anim1d 601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
17	1	simpld 487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
18	12	simpld 487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
19	13	simpld 487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20		eqid 2779	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 7, 8	hlatjcl 35945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12	simprd 488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑊)
24	13	simprd 488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑊)
25		hllat 35941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26	17, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
27	20, 8	atbase 35867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
28	18, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29	20, 8	atbase 35867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
30	19, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
31	1	simprd 488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
32	20, 2	lhpbase 36576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
34	20, 6, 7	latjle12 17530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
35	26, 28, 30, 33, 34	syl13anc 1352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
36	23, 24, 35	mpbi2and 699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)
37		eqid 2779	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
38		eqid 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
39	20, 6, 2, 37, 38, 11, 3	dibopelval2 37723	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
40	1, 22, 36, 39	syl12anc 824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
41		dih2dimb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
42		dih2dimb.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
43	28, 23	jca 504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
44	30, 24	jca 504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
45	20, 6, 2, 37, 38, 9, 41, 10, 42, 11, 3, 1, 43, 44	diblsmopel 37749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
46	16, 40, 45	3imtr4d 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))))
47	5, 46	relssdv 5511	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
48		dih2dimb.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
49	20, 6, 2, 48, 3	dihvalb 37815	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
50	1, 22, 36, 49	syl12anc 824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
51	20, 6, 2, 48, 3	dihvalb 37815	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
52	1, 28, 23, 51	syl12anc 824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
53	20, 6, 2, 48, 3	dihvalb 37815	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
54	1, 30, 24, 53	syl12anc 824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
55	52, 54	oveq12d 6994	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) = ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
56	47, 50, 55	3sstr4d 3905	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3830  ⟨cop 4447   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008   I cid 5311   ↾ cres 5409  Rel wrel 5412  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  lecple 16428  joincjn 17412  Latclat 17513  LSSumclsm 18520  Atomscatm 35841  HLchlt 35928  LHypclh 36562  LTrncltrn 36679  DVecAcdveca 37580  DIsoAcdia 37606  DVecHcdvh 37656  DIsoBcdib 37716  DIsoHcdih 37806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-riotaBAD 35531

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-undef 7742  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-0g 16571  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-cntz 18218  df-lsm 18522  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-drng 19227  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-lvec 19597  df-oposet 35754  df-ol 35756  df-oml 35757  df-covers 35844  df-ats 35845  df-atl 35876  df-cvlat 35900  df-hlat 35929  df-llines 36076  df-lplanes 36077  df-lvols 36078  df-lines 36079  df-psubsp 36081  df-pmap 36082  df-padd 36374  df-lhyp 36566  df-laut 36567  df-ldil 36682  df-ltrn 36683  df-trl 36737  df-tgrp 37321  df-tendo 37333  df-edring 37335  df-dveca 37581  df-disoa 37607  df-dvech 37657  df-dib 37717  df-dih 37807

This theorem is referenced by: (None)