Theorem dih2dimbALTN 39814

Description: Extend dia2dim 39646 to isomorphism H. (This version combines dib2dim 39812 and dih2dimb 39813 for shorter overall proof, but may be less easy to understand. TODO: decide which to use.) (Contributed by NM, 22-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih2dimb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih2dimb.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dih2dimb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dih2dimb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih2dimb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih2dimb.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dih2dimb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih2dimb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih2dimb.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
dih2dimb.q	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dih2dimbALTN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dih2dimbALTN

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih2dimb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dih2dimb.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	dibvalrel 39732	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
6		dih2dimb.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		dih2dimb.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dih2dimb.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
12		dih2dimb.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dih2dimb.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
14	6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 1, 12, 13	dia2dim 39646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
15	14	sseld 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))))
16	15	anim1d 611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
17	1	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
18	12	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
19	13	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 7, 8	hlatjcl 37935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑊)
24	13	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑊)
25		hllat 37931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26	17, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
27	20, 8	atbase 37857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
28	18, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29	20, 8	atbase 37857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
30	19, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
31	1	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
32	20, 2	lhpbase 38567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
34	20, 6, 7	latjle12 18368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
35	26, 28, 30, 33, 34	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
36	23, 24, 35	mpbi2and 710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)
37		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
38		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
39	20, 6, 2, 37, 38, 11, 3	dibopelval2 39714	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
40	1, 22, 36, 39	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
41		dih2dimb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
42		dih2dimb.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
43	28, 23	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
44	30, 24	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
45	20, 6, 2, 37, 38, 9, 41, 10, 42, 11, 3, 1, 43, 44	diblsmopel 39740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
46	16, 40, 45	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))))
47	5, 46	relssdv 5764	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
48		dih2dimb.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
49	20, 6, 2, 48, 3	dihvalb 39806	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
50	1, 22, 36, 49	syl12anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
51	20, 6, 2, 48, 3	dihvalb 39806	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
52	1, 28, 23, 51	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
53	20, 6, 2, 48, 3	dihvalb 39806	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
54	1, 30, 24, 53	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
55	52, 54	oveq12d 7395	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) = ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
56	47, 50, 55	3sstr4d 4009	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3928  ⟨cop 4612   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208   I cid 5550   ↾ cres 5655  Rel wrel 5658  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  lecple 17169  joincjn 18229  Latclat 18349  LSSumclsm 19445  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670  DVecAcdveca 39571  DIsoAcdia 39597  DVecHcdvh 39647  DIsoBcdib 39707  DIsoHcdih 39797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 37521

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-undef 8224  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-0g 17352  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-p1 18344  df-lat 18350  df-clat 18417  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-cntz 19126  df-lsm 19447  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-dvr 20141  df-drng 20242  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-lsp 20505  df-lvec 20636  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-llines 38067  df-lplanes 38068  df-lvols 38069  df-lines 38070  df-psubsp 38072  df-pmap 38073  df-padd 38365  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674  df-trl 38728  df-tgrp 39312  df-tendo 39324  df-edring 39326  df-dveca 39572  df-disoa 39598  df-dvech 39648  df-dib 39708  df-dih 39798

This theorem is referenced by: (None)