Theorem domentr 9071

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9037	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9065	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5106   ≈ cen 9001   ≼ cdom 9002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-f1o 6568  df-en 9005  df-dom 9006

This theorem is used by:  domdifsn  9110  xpdom1g  9124  domunsncan  9127  sdomdomtr  9160  domen2  9170  mapdom2  9198  unxpdom2  9282  sucxpdom  9283  xpfir  9290  cardsdomelir  10084  infxpenlem  10122  xpct  10125  infpwfien  10171  inffien  10172  mappwen  10221  iunfictbso  10223  djuxpdom  10294  cdainflem  10296  djuinf  10297  djulepw  10301  ficardun2  10310  unctb  10312  infdjuabs  10313  infunabs  10314  infdju  10315  infdif  10316  infxpdom  10318  pwdjudom  10323  infmap2  10325  fictb  10352  cfslb  10374  fin1a2lem11  10518  fnct  10650  fnctOLD  10651  unirnfdomd  10682  iunctb  10689  alephreg  10697  cfpwsdom  10699  gchdomtri  10744  canthp1lem1  10767  pwfseqlem5  10778  pwxpndom  10781  gchdjuidm  10783  gchxpidm  10784  gchpwdom  10785  gchhar  10794  inttsk  10889  inar1  10890  tskcard  10896  znnen  16412  qnnen  16413  rpnnen  16427  rexpen  16428  aleph1irr  16446  cygctb  20139  lindsdom  22189  1stcfb  23796  2ndcredom  23801  2ndcctbss  23807  hauspwdom  23853  tx2ndc  24003  met1stc  24873  met2ndci  24874  re2ndc  25153  opnreen  25184  ovolctb2  25846  ovolfi  25848  uniiccdif  25932  dyadmbl  25954  opnmblALT  25957  vitali  25967  mbfimaopnlem  26009  mbfsup  26018  aannenlem3  26690  dmvlsiga  34844  sigapildsys  34878  carsgclctunlem3  35035  dfac16  35859  weexenwe  35861  acwer1prclem  35864  karddom  35942  j0ltaleph  36021  jltalephlem  36038  finminlem  37297  phpreu  38732  mblfinlem1  38780  pellexlem4  44043  pellexlem5  44044  pr2dom  44731  tr3dom  44732  nnfoctb  46281  ioonct  46764  caragenunicl  47749  eufunclem  50871  aacllem  51251