Theorem domentr 9019

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8985	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9013	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5114   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-f1o 6550  df-en 8953  df-dom 8954

This theorem is used by:  domdifsn  9058  xpdom1g  9072  domunsncan  9075  sdomdomtr  9108  domen2  9118  mapdom2  9146  unxpdom2  9230  sucxpdom  9231  xpfir  9238  cardsdomelir  9978  infxpenlem  10016  xpct  10019  infpwfien  10065  inffien  10066  mappwen  10115  iunfictbso  10117  djuxpdom  10188  cdainflem  10190  djuinf  10191  djulepw  10195  ficardun2  10204  unctb  10206  infdjuabs  10207  infunabs  10208  infdju  10209  infdif  10210  infxpdom  10212  pwdjudom  10217  infmap2  10219  fictb  10246  cfslb  10268  fin1a2lem11  10412  fnct  10539  unirnfdomd  10570  iunctb  10577  alephreg  10585  cfpwsdom  10587  gchdomtri  10632  canthp1lem1  10655  pwfseqlem5  10666  pwxpndom  10669  gchdjuidm  10671  gchxpidm  10672  gchpwdom  10673  gchhar  10682  inttsk  10777  inar1  10778  tskcard  10784  znnen  16293  qnnen  16294  rpnnen  16308  rexpen  16309  aleph1irr  16327  cygctb  19993  1stcfb  23639  2ndcredom  23644  2ndcctbss  23649  hauspwdom  23695  tx2ndc  23845  met1stc  24715  met2ndci  24716  re2ndc  24995  opnreen  25026  ovolctb2  25688  ovolfi  25690  uniiccdif  25774  dyadmbl  25796  opnmblALT  25799  vitali  25809  mbfimaopnlem  25851  mbfsup  25860  aannenlem3  26530  dmvlsiga  34550  sigapildsys  34584  omssubadd  34722  carsgclctunlem3  34742  karddom  35598  finminlem  36870  phpreu  38296  lindsdom  38306  mblfinlem1  38349  pellexlem4  43600  pellexlem5  43601  pr2dom  44294  tr3dom  44295  nnfoctb  45809  ioonct  46294  subsaliuncl  47113  caragenunicl  47279  eufunclem  50340  aacllem  50662