Theorem domentr 8950

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8916	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8944	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5098   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-f1o 6499  df-en 8884  df-dom 8885

This theorem is referenced by:  domdifsn  8988  xpdom1g  9002  domunsncan  9005  sdomdomtr  9038  domen2  9048  mapdom2  9076  unxpdom2  9160  sucxpdom  9161  xpfir  9168  fodomfiOLD  9230  cardsdomelir  9885  infxpenlem  9923  xpct  9926  infpwfien  9972  inffien  9973  mappwen  10022  iunfictbso  10024  djuxpdom  10096  cdainflem  10098  djuinf  10099  djulepw  10103  ficardun2  10112  unctb  10114  infdjuabs  10115  infunabs  10116  infdju  10117  infdif  10118  infxpdom  10120  pwdjudom  10125  infmap2  10127  fictb  10154  cfslb  10176  fin1a2lem11  10320  fnct  10447  unirnfdomd  10478  iunctb  10485  alephreg  10493  cfpwsdom  10495  gchdomtri  10540  canthp1lem1  10563  pwfseqlem5  10574  pwxpndom  10577  gchdjuidm  10579  gchxpidm  10580  gchpwdom  10581  gchhar  10590  inttsk  10685  inar1  10686  tskcard  10692  znnen  16137  qnnen  16138  rpnnen  16152  rexpen  16153  aleph1irr  16171  cygctb  19821  1stcfb  23389  2ndcredom  23394  2ndcctbss  23399  hauspwdom  23445  tx2ndc  23595  met1stc  24465  met2ndci  24466  re2ndc  24745  opnreen  24776  ovolctb2  25449  ovolfi  25451  uniiccdif  25535  dyadmbl  25557  opnmblALT  25560  vitali  25570  mbfimaopnlem  25612  mbfsup  25621  aannenlem3  26294  dmvlsiga  34286  sigapildsys  34319  omssubadd  34457  carsgclctunlem3  34477  finminlem  36512  phpreu  37801  lindsdom  37811  mblfinlem1  37854  pellexlem4  43070  pellexlem5  43071  pr2dom  43764  tr3dom  43765  nnfoctb  45289  ioonct  45779  subsaliuncl  46598  caragenunicl  46764  eufunclem  49762  aacllem  50042