Theorem domentr 8960

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8926	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8954	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5085   ≈ cen 8890   ≼ cdom 8891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-f1o 6505  df-en 8894  df-dom 8895

This theorem is referenced by:  domdifsn  8998  xpdom1g  9012  domunsncan  9015  sdomdomtr  9048  domen2  9058  mapdom2  9086  unxpdom2  9170  sucxpdom  9171  xpfir  9178  fodomfiOLD  9240  cardsdomelir  9897  infxpenlem  9935  xpct  9938  infpwfien  9984  inffien  9985  mappwen  10034  iunfictbso  10036  djuxpdom  10108  cdainflem  10110  djuinf  10111  djulepw  10115  ficardun2  10124  unctb  10126  infdjuabs  10127  infunabs  10128  infdju  10129  infdif  10130  infxpdom  10132  pwdjudom  10137  infmap2  10139  fictb  10166  cfslb  10188  fin1a2lem11  10332  fnct  10459  unirnfdomd  10490  iunctb  10497  alephreg  10505  cfpwsdom  10507  gchdomtri  10552  canthp1lem1  10575  pwfseqlem5  10586  pwxpndom  10589  gchdjuidm  10591  gchxpidm  10592  gchpwdom  10593  gchhar  10602  inttsk  10697  inar1  10698  tskcard  10704  znnen  16179  qnnen  16180  rpnnen  16194  rexpen  16195  aleph1irr  16213  cygctb  19867  1stcfb  23410  2ndcredom  23415  2ndcctbss  23420  hauspwdom  23466  tx2ndc  23616  met1stc  24486  met2ndci  24487  re2ndc  24766  opnreen  24797  ovolctb2  25459  ovolfi  25461  uniiccdif  25545  dyadmbl  25567  opnmblALT  25570  vitali  25580  mbfimaopnlem  25622  mbfsup  25631  aannenlem3  26296  dmvlsiga  34273  sigapildsys  34306  omssubadd  34444  carsgclctunlem3  34464  finminlem  36500  phpreu  37925  lindsdom  37935  mblfinlem1  37978  pellexlem4  43260  pellexlem5  43261  pr2dom  43954  tr3dom  43955  nnfoctb  45479  ioonct  45967  subsaliuncl  46786  caragenunicl  46952  eufunclem  49996  aacllem  50276