MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domentr 8949
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 8915 . 2 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 domtr 8943 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 593 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   class class class wbr 5103  cen 8876  cdom 8877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-f1o 6500  df-en 8880  df-dom 8881
This theorem is referenced by:  domdifsn  8994  xpdom1g  9009  domunsncan  9012  sdomdomtr  9050  domen2  9060  mapdom2  9088  phpOLD  9162  unxpdom2  9194  sucxpdom  9195  xpfir  9206  fodomfi  9265  cardsdomelir  9905  infxpenlem  9945  xpct  9948  infpwfien  9994  inffien  9995  mappwen  10044  iunfictbso  10046  djuxpdom  10117  cdainflem  10119  djuinf  10120  djulepw  10124  ficardun2  10134  ficardun2OLD  10135  unctb  10137  infdjuabs  10138  infunabs  10139  infdju  10140  infdif  10141  infxpdom  10143  pwdjudom  10148  infmap2  10150  fictb  10177  cfslb  10198  fin1a2lem11  10342  fnct  10469  unirnfdomd  10499  iunctb  10506  alephreg  10514  cfpwsdom  10516  gchdomtri  10561  canthp1lem1  10584  pwfseqlem5  10595  pwxpndom  10598  gchdjuidm  10600  gchxpidm  10601  gchpwdom  10602  gchhar  10611  inttsk  10706  inar1  10707  tskcard  10713  znnen  16086  qnnen  16087  rpnnen  16101  rexpen  16102  aleph1irr  16120  cygctb  19660  1stcfb  22780  2ndcredom  22785  2ndcctbss  22790  hauspwdom  22836  tx2ndc  22986  met1stc  23861  met2ndci  23862  re2ndc  24148  opnreen  24178  ovolctb2  24840  ovolfi  24842  uniiccdif  24926  dyadmbl  24948  opnmblALT  24951  vitali  24961  mbfimaopnlem  25003  mbfsup  25012  aannenlem3  25674  dmvlsiga  32597  sigapildsys  32630  omssubadd  32769  carsgclctunlem3  32789  finminlem  34757  phpreu  36029  lindsdom  36039  mblfinlem1  36082  pellexlem4  41093  pellexlem5  41094  pr2dom  41741  tr3dom  41742  nnfoctb  43197  ioonct  43707  subsaliuncl  44531  caragenunicl  44697  aacllem  47180
  Copyright terms: Public domain W3C validator