MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domentr 8219
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 8187 . 2 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 domtr 8213 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 586 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   class class class wbr 4809  cen 8157  cdom 8158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-f1o 6075  df-en 8161  df-dom 8162
This theorem is referenced by:  domdifsn  8250  xpdom1g  8264  domunsncan  8267  sdomdomtr  8300  domen2  8310  mapdom2  8338  php  8351  unxpdom2  8375  sucxpdom  8376  xpfir  8389  fodomfi  8446  cardsdomelir  9050  infxpenlem  9087  xpct  9090  infpwfien  9136  inffien  9137  mappwen  9186  iunfictbso  9188  cdaxpdom  9264  cdainflem  9266  cdainf  9267  cdalepw  9271  ficardun2  9278  unctb  9280  infcdaabs  9281  infunabs  9282  infcda  9283  infdif  9284  infxpdom  9286  pwcdadom  9291  infmap2  9293  fictb  9320  cfslb  9341  fin1a2lem11  9485  fnct  9612  unirnfdomd  9642  iunctb  9649  alephreg  9657  cfpwsdom  9659  gchdomtri  9704  canthp1lem1  9727  pwfseqlem5  9738  pwxpndom  9741  gchcdaidm  9743  gchxpidm  9744  gchpwdom  9745  gchhar  9754  inttsk  9849  inar1  9850  tskcard  9856  znnen  15223  qnnen  15224  rpnnen  15238  rexpen  15239  aleph1irr  15257  cygctb  18559  1stcfb  21528  2ndcredom  21533  2ndcctbss  21538  hauspwdom  21584  tx1stc  21733  tx2ndc  21734  met1stc  22605  met2ndci  22606  re2ndc  22883  opnreen  22913  ovolctb2  23550  ovolfi  23552  uniiccdif  23636  dyadmbl  23658  opnmblALT  23661  vitali  23671  mbfimaopnlem  23713  mbfsup  23722  aannenlem3  24376  dmvlsiga  30639  sigapildsys  30672  omssubadd  30809  carsgclctunlem3  30829  finminlem  32756  phpreu  33817  lindsdom  33827  mblfinlem1  33870  pellexlem4  38074  pellexlem5  38075  nnfoctb  39864  ioonct  40402  subsaliuncl  41213  caragenunicl  41378  aacllem  43219
  Copyright terms: Public domain W3C validator