Theorem domentr 9011

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8977	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9005	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 591	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   class class class wbr 5147   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-f1o 6549  df-en 8942  df-dom 8943

This theorem is referenced by:  domdifsn  9056  xpdom1g  9071  domunsncan  9074  sdomdomtr  9112  domen2  9122  mapdom2  9150  phpOLD  9224  unxpdom2  9256  sucxpdom  9257  xpfir  9268  fodomfi  9327  cardsdomelir  9970  infxpenlem  10010  xpct  10013  infpwfien  10059  inffien  10060  mappwen  10109  iunfictbso  10111  djuxpdom  10182  cdainflem  10184  djuinf  10185  djulepw  10189  ficardun2  10199  ficardun2OLD  10200  unctb  10202  infdjuabs  10203  infunabs  10204  infdju  10205  infdif  10206  infxpdom  10208  pwdjudom  10213  infmap2  10215  fictb  10242  cfslb  10263  fin1a2lem11  10407  fnct  10534  unirnfdomd  10564  iunctb  10571  alephreg  10579  cfpwsdom  10581  gchdomtri  10626  canthp1lem1  10649  pwfseqlem5  10660  pwxpndom  10663  gchdjuidm  10665  gchxpidm  10666  gchpwdom  10667  gchhar  10676  inttsk  10771  inar1  10772  tskcard  10778  znnen  16159  qnnen  16160  rpnnen  16174  rexpen  16175  aleph1irr  16193  cygctb  19801  1stcfb  23169  2ndcredom  23174  2ndcctbss  23179  hauspwdom  23225  tx2ndc  23375  met1stc  24250  met2ndci  24251  re2ndc  24537  opnreen  24567  ovolctb2  25241  ovolfi  25243  uniiccdif  25327  dyadmbl  25349  opnmblALT  25352  vitali  25362  mbfimaopnlem  25404  mbfsup  25413  aannenlem3  26079  dmvlsiga  33425  sigapildsys  33458  omssubadd  33597  carsgclctunlem3  33617  finminlem  35506  phpreu  36775  lindsdom  36785  mblfinlem1  36828  pellexlem4  41872  pellexlem5  41873  pr2dom  42580  tr3dom  42581  nnfoctb  44035  ioonct  44548  subsaliuncl  45372  caragenunicl  45538  aacllem  47935