Theorem domentr 9043

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9009	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9037	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5102   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-f1o 6545  df-en 8977  df-dom 8978

This theorem is used by:  domdifsn  9082  xpdom1g  9096  domunsncan  9099  sdomdomtr  9132  domen2  9142  mapdom2  9170  unxpdom2  9254  sucxpdom  9255  xpfir  9262  cardsdomelir  10057  infxpenlem  10095  xpct  10098  infpwfien  10144  inffien  10145  mappwen  10194  iunfictbso  10196  djuxpdom  10267  cdainflem  10269  djuinf  10270  djulepw  10274  ficardun2  10283  unctb  10285  infdjuabs  10286  infunabs  10287  infdju  10288  infdif  10289  infxpdom  10291  pwdjudom  10296  infmap2  10298  fictb  10325  cfslb  10347  fin1a2lem11  10491  fnct  10623  fnctOLD  10624  unirnfdomd  10655  iunctb  10662  alephreg  10670  cfpwsdom  10672  gchdomtri  10717  canthp1lem1  10740  pwfseqlem5  10751  pwxpndom  10754  gchdjuidm  10756  gchxpidm  10757  gchpwdom  10758  gchhar  10767  inttsk  10862  inar1  10863  tskcard  10869  znnen  16385  qnnen  16386  rpnnen  16400  rexpen  16401  aleph1irr  16419  cygctb  20111  lindsdom  22161  1stcfb  23768  2ndcredom  23773  2ndcctbss  23779  hauspwdom  23825  tx2ndc  23975  met1stc  24845  met2ndci  24846  re2ndc  25125  opnreen  25156  ovolctb2  25818  ovolfi  25820  uniiccdif  25904  dyadmbl  25926  opnmblALT  25929  vitali  25939  mbfimaopnlem  25981  mbfsup  25990  aannenlem3  26662  dmvlsiga  34807  sigapildsys  34841  carsgclctunlem3  34998  dfac16  35810  weexenwe  35812  acwer1prclem  35815  karddom  35885  j0ltaleph  35947  finminlem  37198  phpreu  38620  mblfinlem1  38668  pellexlem4  43932  pellexlem5  43933  pr2dom  44621  tr3dom  44622  nnfoctb  46158  ioonct  46642  caragenunicl  47627  eufunclem  50749  aacllem  51107