Theorem domentr 9052

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9018	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9046	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-f1o 6570  df-en 8985  df-dom 8986

This theorem is referenced by:  domdifsn  9093  xpdom1g  9108  domunsncan  9111  sdomdomtr  9149  domen2  9159  mapdom2  9187  phpOLD  9257  unxpdom2  9288  sucxpdom  9289  xpfir  9298  fodomfiOLD  9368  cardsdomelir  10011  infxpenlem  10051  xpct  10054  infpwfien  10100  inffien  10101  mappwen  10150  iunfictbso  10152  djuxpdom  10224  cdainflem  10226  djuinf  10227  djulepw  10231  ficardun2  10240  unctb  10242  infdjuabs  10243  infunabs  10244  infdju  10245  infdif  10246  infxpdom  10248  pwdjudom  10253  infmap2  10255  fictb  10282  cfslb  10304  fin1a2lem11  10448  fnct  10575  unirnfdomd  10605  iunctb  10612  alephreg  10620  cfpwsdom  10622  gchdomtri  10667  canthp1lem1  10690  pwfseqlem5  10701  pwxpndom  10704  gchdjuidm  10706  gchxpidm  10707  gchpwdom  10708  gchhar  10717  inttsk  10812  inar1  10813  tskcard  10819  znnen  16245  qnnen  16246  rpnnen  16260  rexpen  16261  aleph1irr  16279  cygctb  19925  1stcfb  23469  2ndcredom  23474  2ndcctbss  23479  hauspwdom  23525  tx2ndc  23675  met1stc  24550  met2ndci  24551  re2ndc  24837  opnreen  24867  ovolctb2  25541  ovolfi  25543  uniiccdif  25627  dyadmbl  25649  opnmblALT  25652  vitali  25662  mbfimaopnlem  25704  mbfsup  25713  aannenlem3  26387  dmvlsiga  34110  sigapildsys  34143  omssubadd  34282  carsgclctunlem3  34302  finminlem  36301  phpreu  37591  lindsdom  37601  mblfinlem1  37644  pellexlem4  42820  pellexlem5  42821  pr2dom  43517  tr3dom  43518  nnfoctb  44987  ioonct  45490  subsaliuncl  46314  caragenunicl  46480  aacllem  49032