Theorem domentr 8990

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8956	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8984	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 602	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   class class class wbr 5099   ≈ cen 8920   ≼ cdom 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-f1o 6524  df-en 8924  df-dom 8925

This theorem is referenced by:  domdifsn  9028  xpdom1g  9042  domunsncan  9045  sdomdomtr  9078  domen2  9088  mapdom2  9116  unxpdom2  9200  sucxpdom  9201  xpfir  9208  fodomfiOLD  9270  cardsdomelir  9928  infxpenlem  9966  xpct  9969  infpwfien  10015  inffien  10016  mappwen  10065  iunfictbso  10067  djuxpdom  10139  cdainflem  10141  djuinf  10142  djulepw  10146  ficardun2  10155  unctb  10157  infdjuabs  10158  infunabs  10159  infdju  10160  infdif  10161  infxpdom  10163  pwdjudom  10168  infmap2  10170  fictb  10197  cfslb  10220  fin1a2lem11  10364  fnct  10491  unirnfdomd  10522  iunctb  10529  alephreg  10537  cfpwsdom  10539  gchdomtri  10584  canthp1lem1  10607  pwfseqlem5  10618  pwxpndom  10621  gchdjuidm  10623  gchxpidm  10624  gchpwdom  10625  gchhar  10634  inttsk  10729  inar1  10730  tskcard  10736  znnen  16227  qnnen  16228  rpnnen  16242  rexpen  16243  aleph1irr  16261  cygctb  19915  1stcfb  23485  2ndcredom  23490  2ndcctbss  23495  hauspwdom  23541  tx2ndc  23691  met1stc  24561  met2ndci  24562  re2ndc  24841  opnreen  24872  ovolctb2  25534  ovolfi  25536  uniiccdif  25620  dyadmbl  25642  opnmblALT  25645  vitali  25655  mbfimaopnlem  25697  mbfsup  25706  aannenlem3  26371  dmvlsiga  34387  sigapildsys  34420  omssubadd  34558  carsgclctunlem3  34578  finminlem  36642  phpreu  38067  lindsdom  38077  mblfinlem1  38120  pellexlem4  43373  pellexlem5  43374  pr2dom  44067  tr3dom  44068  nnfoctb  45592  ioonct  46077  subsaliuncl  46896  caragenunicl  47062  eufunclem  50106  aacllem  50386