Theorem domentr 9073

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9039	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9067	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 592	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5166   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-f1o 6580  df-en 9004  df-dom 9005

This theorem is referenced by:  domdifsn  9120  xpdom1g  9135  domunsncan  9138  sdomdomtr  9176  domen2  9186  mapdom2  9214  phpOLD  9285  unxpdom2  9317  sucxpdom  9318  xpfir  9328  fodomfiOLD  9398  cardsdomelir  10042  infxpenlem  10082  xpct  10085  infpwfien  10131  inffien  10132  mappwen  10181  iunfictbso  10183  djuxpdom  10255  cdainflem  10257  djuinf  10258  djulepw  10262  ficardun2  10271  unctb  10273  infdjuabs  10274  infunabs  10275  infdju  10276  infdif  10277  infxpdom  10279  pwdjudom  10284  infmap2  10286  fictb  10313  cfslb  10335  fin1a2lem11  10479  fnct  10606  unirnfdomd  10636  iunctb  10643  alephreg  10651  cfpwsdom  10653  gchdomtri  10698  canthp1lem1  10721  pwfseqlem5  10732  pwxpndom  10735  gchdjuidm  10737  gchxpidm  10738  gchpwdom  10739  gchhar  10748  inttsk  10843  inar1  10844  tskcard  10850  znnen  16260  qnnen  16261  rpnnen  16275  rexpen  16276  aleph1irr  16294  cygctb  19934  1stcfb  23474  2ndcredom  23479  2ndcctbss  23484  hauspwdom  23530  tx2ndc  23680  met1stc  24555  met2ndci  24556  re2ndc  24842  opnreen  24872  ovolctb2  25546  ovolfi  25548  uniiccdif  25632  dyadmbl  25654  opnmblALT  25657  vitali  25667  mbfimaopnlem  25709  mbfsup  25718  aannenlem3  26390  dmvlsiga  34093  sigapildsys  34126  omssubadd  34265  carsgclctunlem3  34285  finminlem  36284  phpreu  37564  lindsdom  37574  mblfinlem1  37617  pellexlem4  42788  pellexlem5  42789  pr2dom  43489  tr3dom  43490  nnfoctb  44949  ioonct  45455  subsaliuncl  46279  caragenunicl  46445  aacllem  48895