Theorem domentr 8942

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8908	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8936	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5093   ≈ cen 8872   ≼ cdom 8873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-f1o 6493  df-en 8876  df-dom 8877

This theorem is referenced by:  domdifsn  8980  xpdom1g  8994  domunsncan  8997  sdomdomtr  9030  domen2  9040  mapdom2  9068  unxpdom2  9151  sucxpdom  9152  xpfir  9159  fodomfiOLD  9221  cardsdomelir  9873  infxpenlem  9911  xpct  9914  infpwfien  9960  inffien  9961  mappwen  10010  iunfictbso  10012  djuxpdom  10084  cdainflem  10086  djuinf  10087  djulepw  10091  ficardun2  10100  unctb  10102  infdjuabs  10103  infunabs  10104  infdju  10105  infdif  10106  infxpdom  10108  pwdjudom  10113  infmap2  10115  fictb  10142  cfslb  10164  fin1a2lem11  10308  fnct  10435  unirnfdomd  10465  iunctb  10472  alephreg  10480  cfpwsdom  10482  gchdomtri  10527  canthp1lem1  10550  pwfseqlem5  10561  pwxpndom  10564  gchdjuidm  10566  gchxpidm  10567  gchpwdom  10568  gchhar  10577  inttsk  10672  inar1  10673  tskcard  10679  znnen  16123  qnnen  16124  rpnnen  16138  rexpen  16139  aleph1irr  16157  cygctb  19806  1stcfb  23361  2ndcredom  23366  2ndcctbss  23371  hauspwdom  23417  tx2ndc  23567  met1stc  24437  met2ndci  24438  re2ndc  24717  opnreen  24748  ovolctb2  25421  ovolfi  25423  uniiccdif  25507  dyadmbl  25529  opnmblALT  25532  vitali  25542  mbfimaopnlem  25584  mbfsup  25593  aannenlem3  26266  dmvlsiga  34163  sigapildsys  34196  omssubadd  34334  carsgclctunlem3  34354  finminlem  36383  phpreu  37665  lindsdom  37675  mblfinlem1  37718  pellexlem4  42950  pellexlem5  42951  pr2dom  43645  tr3dom  43646  nnfoctb  45170  ioonct  45662  subsaliuncl  46481  caragenunicl  46647  eufunclem  49647  aacllem  49927