Theorem domentr 9023

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8989	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9017	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5107   ≈ cen 8953   ≼ cdom 8954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-f1o 6544  df-en 8957  df-dom 8958

This theorem is used by:  domdifsn  9062  xpdom1g  9076  domunsncan  9079  sdomdomtr  9112  domen2  9122  mapdom2  9150  unxpdom2  9234  sucxpdom  9235  xpfir  9242  cardsdomelir  9982  infxpenlem  10020  xpct  10023  infpwfien  10069  inffien  10070  mappwen  10119  iunfictbso  10121  djuxpdom  10192  cdainflem  10194  djuinf  10195  djulepw  10199  ficardun2  10208  unctb  10210  infdjuabs  10211  infunabs  10212  infdju  10213  infdif  10214  infxpdom  10216  pwdjudom  10221  infmap2  10223  fictb  10250  cfslb  10272  fin1a2lem11  10416  fnct  10548  fnctOLD  10549  unirnfdomd  10580  iunctb  10587  alephreg  10595  cfpwsdom  10597  gchdomtri  10642  canthp1lem1  10665  pwfseqlem5  10676  pwxpndom  10679  gchdjuidm  10681  gchxpidm  10682  gchpwdom  10683  gchhar  10692  inttsk  10787  inar1  10788  tskcard  10794  znnen  16306  qnnen  16307  rpnnen  16321  rexpen  16322  aleph1irr  16340  cygctb  20025  lindsdom  22069  1stcfb  23676  2ndcredom  23681  2ndcctbss  23687  hauspwdom  23733  tx2ndc  23883  met1stc  24753  met2ndci  24754  re2ndc  25033  opnreen  25064  ovolctb2  25726  ovolfi  25728  uniiccdif  25812  dyadmbl  25834  opnmblALT  25837  vitali  25847  mbfimaopnlem  25889  mbfsup  25898  aannenlem3  26573  dmvlsiga  34647  sigapildsys  34681  omssubadd  34819  carsgclctunlem3  34839  karddom  35695  finminlem  36945  phpreu  38366  mblfinlem1  38414  pellexlem4  43681  pellexlem5  43682  pr2dom  44375  tr3dom  44376  nnfoctb  45890  ioonct  46375  caragenunicl  47360  eufunclem  50455  aacllem  50780