Theorem domentr 8551

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8519	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8545	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 595	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   class class class wbr 5030   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-f1o 6331  df-en 8493  df-dom 8494

This theorem is referenced by:  domdifsn  8583  xpdom1g  8597  domunsncan  8600  sdomdomtr  8634  domen2  8644  mapdom2  8672  php  8685  unxpdom2  8710  sucxpdom  8711  xpfir  8724  fodomfi  8781  cardsdomelir  9386  infxpenlem  9424  xpct  9427  infpwfien  9473  inffien  9474  mappwen  9523  iunfictbso  9525  djuxpdom  9596  cdainflem  9598  djuinf  9599  djulepw  9603  ficardun2  9613  ficardun2OLD  9614  unctb  9616  infdjuabs  9617  infunabs  9618  infdju  9619  infdif  9620  infxpdom  9622  pwdjudom  9627  infmap2  9629  fictb  9656  cfslb  9677  fin1a2lem11  9821  fnct  9948  unirnfdomd  9978  iunctb  9985  alephreg  9993  cfpwsdom  9995  gchdomtri  10040  canthp1lem1  10063  pwfseqlem5  10074  pwxpndom  10077  gchdjuidm  10079  gchxpidm  10080  gchpwdom  10081  gchhar  10090  inttsk  10185  inar1  10186  tskcard  10192  znnen  15557  qnnen  15558  rpnnen  15572  rexpen  15573  aleph1irr  15591  cygctb  19005  1stcfb  22050  2ndcredom  22055  2ndcctbss  22060  hauspwdom  22106  tx2ndc  22256  met1stc  23128  met2ndci  23129  re2ndc  23406  opnreen  23436  ovolctb2  24096  ovolfi  24098  uniiccdif  24182  dyadmbl  24204  opnmblALT  24207  vitali  24217  mbfimaopnlem  24259  mbfsup  24268  aannenlem3  24926  dmvlsiga  31498  sigapildsys  31531  omssubadd  31668  carsgclctunlem3  31688  finminlem  33779  phpreu  35041  lindsdom  35051  mblfinlem1  35094  pellexlem4  39773  pellexlem5  39774  pr2dom  40235  tr3dom  40236  nnfoctb  41681  ioonct  42174  subsaliuncl  42998  caragenunicl  43163  aacllem  45329