Theorem domentr 8984

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8950	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8978	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5107   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-f1o 6518  df-en 8919  df-dom 8920

This theorem is referenced by:  domdifsn  9024  xpdom1g  9038  domunsncan  9041  sdomdomtr  9074  domen2  9084  mapdom2  9112  unxpdom2  9201  sucxpdom  9202  xpfir  9211  fodomfiOLD  9281  cardsdomelir  9926  infxpenlem  9966  xpct  9969  infpwfien  10015  inffien  10016  mappwen  10065  iunfictbso  10067  djuxpdom  10139  cdainflem  10141  djuinf  10142  djulepw  10146  ficardun2  10155  unctb  10157  infdjuabs  10158  infunabs  10159  infdju  10160  infdif  10161  infxpdom  10163  pwdjudom  10168  infmap2  10170  fictb  10197  cfslb  10219  fin1a2lem11  10363  fnct  10490  unirnfdomd  10520  iunctb  10527  alephreg  10535  cfpwsdom  10537  gchdomtri  10582  canthp1lem1  10605  pwfseqlem5  10616  pwxpndom  10619  gchdjuidm  10621  gchxpidm  10622  gchpwdom  10623  gchhar  10632  inttsk  10727  inar1  10728  tskcard  10734  znnen  16180  qnnen  16181  rpnnen  16195  rexpen  16196  aleph1irr  16214  cygctb  19822  1stcfb  23332  2ndcredom  23337  2ndcctbss  23342  hauspwdom  23388  tx2ndc  23538  met1stc  24409  met2ndci  24410  re2ndc  24689  opnreen  24720  ovolctb2  25393  ovolfi  25395  uniiccdif  25479  dyadmbl  25501  opnmblALT  25504  vitali  25514  mbfimaopnlem  25556  mbfsup  25565  aannenlem3  26238  dmvlsiga  34119  sigapildsys  34152  omssubadd  34291  carsgclctunlem3  34311  finminlem  36306  phpreu  37598  lindsdom  37608  mblfinlem1  37651  pellexlem4  42820  pellexlem5  42821  pr2dom  43516  tr3dom  43517  nnfoctb  45042  ioonct  45535  subsaliuncl  46356  caragenunicl  46522  eufunclem  49510  aacllem  49790