Theorem domentr 9009

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8975	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9003	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   class class class wbr 5149   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-f1o 6551  df-en 8940  df-dom 8941

This theorem is referenced by:  domdifsn  9054  xpdom1g  9069  domunsncan  9072  sdomdomtr  9110  domen2  9120  mapdom2  9148  phpOLD  9222  unxpdom2  9254  sucxpdom  9255  xpfir  9266  fodomfi  9325  cardsdomelir  9968  infxpenlem  10008  xpct  10011  infpwfien  10057  inffien  10058  mappwen  10107  iunfictbso  10109  djuxpdom  10180  cdainflem  10182  djuinf  10183  djulepw  10187  ficardun2  10197  ficardun2OLD  10198  unctb  10200  infdjuabs  10201  infunabs  10202  infdju  10203  infdif  10204  infxpdom  10206  pwdjudom  10211  infmap2  10213  fictb  10240  cfslb  10261  fin1a2lem11  10405  fnct  10532  unirnfdomd  10562  iunctb  10569  alephreg  10577  cfpwsdom  10579  gchdomtri  10624  canthp1lem1  10647  pwfseqlem5  10658  pwxpndom  10661  gchdjuidm  10663  gchxpidm  10664  gchpwdom  10665  gchhar  10674  inttsk  10769  inar1  10770  tskcard  10776  znnen  16155  qnnen  16156  rpnnen  16170  rexpen  16171  aleph1irr  16189  cygctb  19760  1stcfb  22949  2ndcredom  22954  2ndcctbss  22959  hauspwdom  23005  tx2ndc  23155  met1stc  24030  met2ndci  24031  re2ndc  24317  opnreen  24347  ovolctb2  25009  ovolfi  25011  uniiccdif  25095  dyadmbl  25117  opnmblALT  25120  vitali  25130  mbfimaopnlem  25172  mbfsup  25181  aannenlem3  25843  dmvlsiga  33127  sigapildsys  33160  omssubadd  33299  carsgclctunlem3  33319  finminlem  35203  phpreu  36472  lindsdom  36482  mblfinlem1  36525  pellexlem4  41570  pellexlem5  41571  pr2dom  42278  tr3dom  42279  nnfoctb  43734  ioonct  44250  subsaliuncl  45074  caragenunicl  45240  aacllem  47848