Theorem domentr 8945

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8911	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8939	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5095   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-f1o 6493  df-en 8880  df-dom 8881

This theorem is referenced by:  domdifsn  8984  xpdom1g  8998  domunsncan  9001  sdomdomtr  9034  domen2  9044  mapdom2  9072  unxpdom2  9159  sucxpdom  9160  xpfir  9169  fodomfiOLD  9239  cardsdomelir  9888  infxpenlem  9926  xpct  9929  infpwfien  9975  inffien  9976  mappwen  10025  iunfictbso  10027  djuxpdom  10099  cdainflem  10101  djuinf  10102  djulepw  10106  ficardun2  10115  unctb  10117  infdjuabs  10118  infunabs  10119  infdju  10120  infdif  10121  infxpdom  10123  pwdjudom  10128  infmap2  10130  fictb  10157  cfslb  10179  fin1a2lem11  10323  fnct  10450  unirnfdomd  10480  iunctb  10487  alephreg  10495  cfpwsdom  10497  gchdomtri  10542  canthp1lem1  10565  pwfseqlem5  10576  pwxpndom  10579  gchdjuidm  10581  gchxpidm  10582  gchpwdom  10583  gchhar  10592  inttsk  10687  inar1  10688  tskcard  10694  znnen  16139  qnnen  16140  rpnnen  16154  rexpen  16155  aleph1irr  16173  cygctb  19789  1stcfb  23348  2ndcredom  23353  2ndcctbss  23358  hauspwdom  23404  tx2ndc  23554  met1stc  24425  met2ndci  24426  re2ndc  24705  opnreen  24736  ovolctb2  25409  ovolfi  25411  uniiccdif  25495  dyadmbl  25517  opnmblALT  25520  vitali  25530  mbfimaopnlem  25572  mbfsup  25581  aannenlem3  26254  dmvlsiga  34098  sigapildsys  34131  omssubadd  34270  carsgclctunlem3  34290  finminlem  36294  phpreu  37586  lindsdom  37596  mblfinlem1  37639  pellexlem4  42808  pellexlem5  42809  pr2dom  43503  tr3dom  43504  nnfoctb  45029  ioonct  45522  subsaliuncl  46343  caragenunicl  46509  eufunclem  49510  aacllem  49790