Theorem domentr 8960

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8926	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8954	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   class class class wbr 5110   ≈ cen 8887   ≼ cdom 8888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-f1o 6508  df-en 8891  df-dom 8892

This theorem is referenced by:  domdifsn  9005  xpdom1g  9020  domunsncan  9023  sdomdomtr  9061  domen2  9071  mapdom2  9099  phpOLD  9173  unxpdom2  9205  sucxpdom  9206  xpfir  9217  fodomfi  9276  cardsdomelir  9918  infxpenlem  9958  xpct  9961  infpwfien  10007  inffien  10008  mappwen  10057  iunfictbso  10059  djuxpdom  10130  cdainflem  10132  djuinf  10133  djulepw  10137  ficardun2  10147  ficardun2OLD  10148  unctb  10150  infdjuabs  10151  infunabs  10152  infdju  10153  infdif  10154  infxpdom  10156  pwdjudom  10161  infmap2  10163  fictb  10190  cfslb  10211  fin1a2lem11  10355  fnct  10482  unirnfdomd  10512  iunctb  10519  alephreg  10527  cfpwsdom  10529  gchdomtri  10574  canthp1lem1  10597  pwfseqlem5  10608  pwxpndom  10611  gchdjuidm  10613  gchxpidm  10614  gchpwdom  10615  gchhar  10624  inttsk  10719  inar1  10720  tskcard  10726  znnen  16105  qnnen  16106  rpnnen  16120  rexpen  16121  aleph1irr  16139  cygctb  19683  1stcfb  22833  2ndcredom  22838  2ndcctbss  22843  hauspwdom  22889  tx2ndc  23039  met1stc  23914  met2ndci  23915  re2ndc  24201  opnreen  24231  ovolctb2  24893  ovolfi  24895  uniiccdif  24979  dyadmbl  25001  opnmblALT  25004  vitali  25014  mbfimaopnlem  25056  mbfsup  25065  aannenlem3  25727  dmvlsiga  32817  sigapildsys  32850  omssubadd  32989  carsgclctunlem3  33009  finminlem  34866  phpreu  36135  lindsdom  36145  mblfinlem1  36188  pellexlem4  41213  pellexlem5  41214  pr2dom  41921  tr3dom  41922  nnfoctb  43377  ioonct  43895  subsaliuncl  44719  caragenunicl  44885  aacllem  47368