Theorem domentr 9027

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8993	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9021	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5119   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-f1o 6538  df-en 8960  df-dom 8961

This theorem is referenced by:  domdifsn  9068  xpdom1g  9083  domunsncan  9086  sdomdomtr  9124  domen2  9134  mapdom2  9162  phpOLD  9231  unxpdom2  9262  sucxpdom  9263  xpfir  9272  fodomfiOLD  9342  cardsdomelir  9987  infxpenlem  10027  xpct  10030  infpwfien  10076  inffien  10077  mappwen  10126  iunfictbso  10128  djuxpdom  10200  cdainflem  10202  djuinf  10203  djulepw  10207  ficardun2  10216  unctb  10218  infdjuabs  10219  infunabs  10220  infdju  10221  infdif  10222  infxpdom  10224  pwdjudom  10229  infmap2  10231  fictb  10258  cfslb  10280  fin1a2lem11  10424  fnct  10551  unirnfdomd  10581  iunctb  10588  alephreg  10596  cfpwsdom  10598  gchdomtri  10643  canthp1lem1  10666  pwfseqlem5  10677  pwxpndom  10680  gchdjuidm  10682  gchxpidm  10683  gchpwdom  10684  gchhar  10693  inttsk  10788  inar1  10789  tskcard  10795  znnen  16230  qnnen  16231  rpnnen  16245  rexpen  16246  aleph1irr  16264  cygctb  19873  1stcfb  23383  2ndcredom  23388  2ndcctbss  23393  hauspwdom  23439  tx2ndc  23589  met1stc  24460  met2ndci  24461  re2ndc  24740  opnreen  24771  ovolctb2  25445  ovolfi  25447  uniiccdif  25531  dyadmbl  25553  opnmblALT  25556  vitali  25566  mbfimaopnlem  25608  mbfsup  25617  aannenlem3  26290  dmvlsiga  34160  sigapildsys  34193  omssubadd  34332  carsgclctunlem3  34352  finminlem  36336  phpreu  37628  lindsdom  37638  mblfinlem1  37681  pellexlem4  42855  pellexlem5  42856  pr2dom  43551  tr3dom  43552  nnfoctb  45072  ioonct  45566  subsaliuncl  46387  caragenunicl  46553  eufunclem  49406  aacllem  49665