Theorem infdif 10316

Description: The cardinality of an infinite set does not change after subtracting a strictly smaller one. Example in [Enderton] p. 164. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdif	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
2		difss 4075	. . 3 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
3		ssdomg 9058	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴))
4	1, 2, 3	mpisyl 22	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴)
5		sdomdom 9038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
7		numdom 10147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
8	1, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
9		unnum 10305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ dom card)
10	1, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ dom card)
11		ssun1 4179	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
12		ssdomg 9058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
13	10, 11, 12	mpisyl 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
14		undif1 4433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
15		ssnum 10148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card)
16	1, 2, 15	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card)
17		undjudom 10276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
18	16, 8, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
19	14, 18	eqbrtrrid 5145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
20		domtr 9065	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵)) → 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
21	13, 19, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
22		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
23		sdomdom 9038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
24		relsdom 9011	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
25	24	brrelex2i 5713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
26		djudom1 10291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
28		domtr 9065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
29	28	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)))
30	21, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)))
31		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
32		domtr 9065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)) → ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
33	32	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)))
35		djuinf 10297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ω ≼ 𝐵 ↔ ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
36	35	biimpri 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
37		domrefg 9045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → 𝐵 ≼ 𝐵)
38		infdjuabs 10313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
39	38	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐵 ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
40	39	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐵) → (ω ≼ 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵))
41	37, 40	mpdan 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (ω ≼ 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵))
42	8, 36, 41	syl2im 41	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵))
43	34, 42	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵))
44		domen2 9170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
45	44	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
46	43, 45	sylcom 31	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵))
47	30, 46	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵))
48		domnsym 9153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
49	27, 47, 48	syl56 37	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
50	22, 49	mt2d 137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵)
51		domtri2 10100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card) → (𝐵 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵))
52	8, 16, 51	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐵 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵))
53	50, 52	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
54	1	difexd 5298	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
55		djudom2 10292	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
56	53, 54, 55	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
57		domtr 9065	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵))) → 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
58	21, 56, 57	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
59		domtr 9065	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵))) → ω ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
60	31, 58, 59	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ω ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
61		djuinf 10297	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ω ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
62	60, 61	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
63		domrefg 9045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
64	16, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
65		infdjuabs 10313	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
66	16, 62, 64, 65	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
67		domentr 9071	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
68	58, 66, 67	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
69		sbth 9147	. 2 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)
70	4, 68, 69	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ωcom 7904   ≈ cen 9001   ≼ cdom 9002   ≺ csdm 9003   ⊔ cdju 10009  cardccrd 10046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050

This theorem is used by:  infdif2  10317  alephsuc3  10695  aleph1irr  16446