Theorem infdif 10289

Description: The cardinality of an infinite set does not change after subtracting a strictly smaller one. Example in [Enderton] p. 164. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdif	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
2		difss 4072	. . 3 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
3		ssdomg 9030	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴))
4	1, 2, 3	mpisyl 22	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴)
5		sdomdom 9010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
7		numdom 10120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
8	1, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
9		unnum 10278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ dom card)
10	1, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ dom card)
11		ssun1 4176	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
12		ssdomg 9030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
13	10, 11, 12	mpisyl 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
14		undif1 4429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
15		ssnum 10121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card)
16	1, 2, 15	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card)
17		undjudom 10249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
18	16, 8, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
19	14, 18	eqbrtrrid 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
20		domtr 9037	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵)) → 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
21	13, 19, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵))
22		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
23		sdomdom 9010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
24		relsdom 8983	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
25	24	brrelex2i 5707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
26		djudom1 10264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
28		domtr 9037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
29	28	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)))
30	21, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)))
31		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
32		domtr 9037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)) → ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
33	32	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵)))
35		djuinf 10270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ω ≼ 𝐵 ↔ ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵))
36	35	biimpri 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
37		domrefg 9017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → 𝐵 ≼ 𝐵)
38		infdjuabs 10286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
39	38	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐵 ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵)
40	39	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐵) → (ω ≼ 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵))
41	37, 40	mpdan 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (ω ≼ 𝐵 → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵))
42	8, 36, 41	syl2im 41	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (ω ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵))
43	34, 42	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → (𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵))
44		domen2 9142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
45	44	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → ((𝐵 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
46	43, 45	sylcom 31	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵))
47	30, 46	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵))
48		domnsym 9125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
49	27, 47, 48	syl56 37	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
50	22, 49	mt2d 137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵)
51		domtri2 10073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card) → (𝐵 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵))
52	8, 16, 51	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐵 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≺ 𝐵))
53	50, 52	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
54	1	difexd 5292	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
55		djudom2 10265	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
56	53, 54, 55	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
57		domtr 9037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ 𝐵) ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵))) → 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
58	21, 56, 57	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
59		domtr 9037	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵))) → ω ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
60	31, 58, 59	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ω ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
61		djuinf 10270	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ω ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)))
62	60, 61	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
63		domrefg 9017	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
64	16, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
65		infdjuabs 10286	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom card ∧ ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
66	16, 62, 64, 65	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
67		domentr 9043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊔ (𝐴 ∖ 𝐵)) ≈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
68	58, 66, 67	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
69		sbth 9119	. 2 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ 𝐵)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)
70	4, 68, 69	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ωcom 7877   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974   ≺ csdm 8975   ⊔ cdju 9982  cardccrd 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023

This theorem is used by:  infdif2  10290  alephsuc3  10668  aleph1irr  16419