MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin67 9470
Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67 (𝐴 ∈ FinVI𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 9375 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2 2onn 7925 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
3 ssid 3783 . . . . . 6 2𝑜 ⊆ 2𝑜
4 ssnnfi 8386 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ⊆ 2𝑜) → 2𝑜 ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 683 . . . . 5 2𝑜 ∈ Fin
6 sdomdom 8188 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≼ 2𝑜)
7 domfi 8388 . . . . 5 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2𝑜) → 𝐴 ∈ Fin)
85, 6, 7sylancr 581 . . . 4 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ∈ Fin)
9 fin17 9469 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ∈ FinVII)
11 sdomnen 8189 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12 eldifi 3894 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13 ensym 8209 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏𝑏𝐴)
14 isnumi 9023 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
1512, 13, 14syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16 vex 3353 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
17 eldif 3742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18 ordom 7272 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ω
19 eloni 5918 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20 ordtri1 5941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2118, 19, 20sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2221biimpar 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
2317, 22sylbi 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24 ssdomg 8206 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
2516, 23, 24mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26 domen2 8310 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
2725, 26syl5ibr 237 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
2827impcom 396 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29 infxpidm2 9091 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
3015, 28, 29syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31 ensym 8209 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3332rexlimiva 3175 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3411, 33nsyl 137 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
35 relsdom 8167 . . . . . 6 Rel ≺
3635brrelex1i 5328 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37 isfin7 9376 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
3934, 38mpbird 248 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
4010, 39jaoi 883 . 2 ((𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
411, 40sylbi 208 1 (𝐴 ∈ FinVI𝐴 ∈ FinVII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  wcel 2155  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732   class class class wbr 4809   × cxp 5275  dom cdm 5277  Ord word 5907  Oncon0 5908  ωcom 7263  2𝑜c2o 7758  cen 8157  cdom 8158  csdm 8159  Fincfn 8160  cardccrd 9012  FinVIcfin6 9358  FinVIIcfin7 9359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-oi 8622  df-card 9016  df-fin6 9365  df-fin7 9366
This theorem is referenced by:  fin2so  33752
  Copyright terms: Public domain W3C validator