Theorem fin67 10480

Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin67	⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin6 10385	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2		2onn 8659	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		ssid 3931	. . . . . 6 ⊢ 2o ⊆ 2o
4		ssnnfi 9193	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
6		sdomdom 9015	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≼ 2o)
7		domfi 9212	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2o) → 𝐴 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ Fin)
9		fin17 10479	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ FinVII)
11		sdomnen 9016	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12		eldifi 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13		ensym 9038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → 𝑏 ≈ 𝐴)
14		isnumi 10034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
17		eldif 4048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18		ordom 7891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ord ω
19		eloni 6375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20		ordtri1 6399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
21	18, 19, 20	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
22	21	biimpar 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
23	17, 22	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24		ssdomg 9035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
25	16, 23, 24	mpsyl 69	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26		domen2 9147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
27	25, 26	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
28	27	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29		infxpidm2 10103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	15, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31		ensym 9038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
33	32	rexlimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
34	11, 33	nsyl 141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏)
35		relsdom 8988	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
36	35	brrelex1i 5707	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37		isfin7 10386	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
38	36, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
39	34, 38	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
40	10, 39	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
41	1, 40	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   class class class wbr 5102   × cxp 5649  dom cdm 5651  Ord word 6364  Oncon0 6365  ωcom 7881  2_oc2o 8478   ≈ cen 8978   ≼ cdom 8979   ≺ csdm 8980  Fincfn 8981  cardccrd 10023  Fin^VIcfin6 10368  Fin^VIIcfin7 10369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-oi 9511  df-card 10027  df-fin6 10375  df-fin7 10376

This theorem is used by:  infinfnum  35825  fin2so  38667