Theorem fin67 10398

Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin67	⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin6 10303	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2		2onn 8631	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		ssid 3953	. . . . . 6 ⊢ 2o ⊆ 2o
4		ssnnfi 9165	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
6		sdomdom 8987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≼ 2o)
7		domfi 9184	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2o) → 𝐴 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ Fin)
9		fin17 10397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ FinVII)
11		sdomnen 8988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12		eldifi 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13		ensym 9010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → 𝑏 ≈ 𝐴)
14		isnumi 9952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
17		eldif 3909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18		ordom 7873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ord ω
19		eloni 6367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20		ordtri1 6391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
21	18, 19, 20	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
22	21	biimpar 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
23	17, 22	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24		ssdomg 9007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
25	16, 23, 24	mpsyl 69	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26		domen2 9119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
27	25, 26	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
28	27	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29		infxpidm2 10021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	15, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31		ensym 9010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
33	32	rexlimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
34	11, 33	nsyl 141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏)
35		relsdom 8960	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
36	35	brrelex1i 5711	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37		isfin7 10304	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
38	36, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
39	34, 38	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
40	10, 39	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
41	1, 40	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5653  dom cdm 5655  Ord word 6356  Oncon0 6357  ωcom 7863  2_oc2o 8450   ≈ cen 8950   ≼ cdom 8951   ≺ csdm 8952  Fincfn 8953  cardccrd 9941  Fin^VIcfin6 10286  Fin^VIIcfin7 10287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-oi 9483  df-card 9945  df-fin6 10293  df-fin7 10294

This theorem is used by:  fin2so  38362