Theorem fin67 10409

Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin67	⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin6 10314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2		2onn 8654	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		ssid 3981	. . . . . 6 ⊢ 2o ⊆ 2o
4		ssnnfi 9183	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
6		sdomdom 8994	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≼ 2o)
7		domfi 9203	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2o) → 𝐴 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ Fin)
9		fin17 10408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ FinVII)
11		sdomnen 8995	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12		eldifi 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13		ensym 9017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → 𝑏 ≈ 𝐴)
14		isnumi 9960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
17		eldif 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18		ordom 7871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ord ω
19		eloni 6362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20		ordtri1 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
21	18, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
22	21	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
23	17, 22	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24		ssdomg 9014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
25	16, 23, 24	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26		domen2 9134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
27	25, 26	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
28	27	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29		infxpidm2 10031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	15, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31		ensym 9017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
33	32	rexlimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
34	11, 33	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏)
35		relsdom 8966	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
36	35	brrelex1i 5710	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37		isfin7 10315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
39	34, 38	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
40	10, 39	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
41	1, 40	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   × cxp 5652  dom cdm 5654  Ord word 6351  Oncon0 6352  ωcom 7861  2_oc2o 8474   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957   ≺ csdm 8958  Fincfn 8959  cardccrd 9949  Fin^VIcfin6 10297  Fin^VIIcfin7 10298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-oi 9524  df-card 9953  df-fin6 10304  df-fin7 10305

This theorem is referenced by:  fin2so  37631