Theorem fin67 10432

Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin67	⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin6 10337	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2		2onn 8678	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		ssid 4017	. . . . . 6 ⊢ 2o ⊆ 2o
4		ssnnfi 9207	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
6		sdomdom 9018	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≼ 2o)
7		domfi 9226	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2o) → 𝐴 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ Fin)
9		fin17 10431	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ FinVII)
11		sdomnen 9019	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12		eldifi 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13		ensym 9041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → 𝑏 ≈ 𝐴)
14		isnumi 9983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16		vex 3481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
17		eldif 3972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18		ordom 7896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ord ω
19		eloni 6395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20		ordtri1 6418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
21	18, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
22	21	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
23	17, 22	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24		ssdomg 9038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
25	16, 23, 24	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26		domen2 9158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
27	25, 26	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
28	27	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29		infxpidm2 10054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	15, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31		ensym 9041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
33	32	rexlimiva 3144	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
34	11, 33	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏)
35		relsdom 8990	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
36	35	brrelex1i 5744	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37		isfin7 10338	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
39	34, 38	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
40	10, 39	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
41	1, 40	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  Ord word 6384  Oncon0 6385  ωcom 7886  2_oc2o 8498   ≈ cen 8980   ≼ cdom 8981   ≺ csdm 8982  Fincfn 8983  cardccrd 9972  Fin^VIcfin6 10320  Fin^VIIcfin7 10321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-oi 9547  df-card 9976  df-fin6 10327  df-fin7 10328

This theorem is referenced by:  fin2so  37593