Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin67 9809
 Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67 (𝐴 ∈ FinVI𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 9714 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2 2onn 8259 . . . . . 6 2o ∈ ω
3 ssid 3992 . . . . . 6 2o ⊆ 2o
4 ssnnfi 8729 . . . . . 6 ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 688 . . . . 5 2o ∈ Fin
6 sdomdom 8529 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≼ 2o)
7 domfi 8731 . . . . 5 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2o) → 𝐴 ∈ Fin)
85, 6, 7sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ≺ 2o𝐴 ∈ Fin)
9 fin17 9808 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 2o𝐴 ∈ FinVII)
11 sdomnen 8530 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12 eldifi 4106 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13 ensym 8550 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏𝑏𝐴)
14 isnumi 9367 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
1512, 13, 14syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16 vex 3502 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
17 eldif 3949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18 ordom 7580 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ω
19 eloni 6198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20 ordtri1 6221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2118, 19, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2221biimpar 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
2317, 22sylbi 218 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24 ssdomg 8547 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
2516, 23, 24mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26 domen2 8652 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
2725, 26syl5ibr 247 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
2827impcom 408 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29 infxpidm2 9435 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
3015, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31 ensym 8550 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3332rexlimiva 3285 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3411, 33nsyl 142 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
35 relsdom 8508 . . . . . 6 Rel ≺
3635brrelex1i 5606 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37 isfin7 9715 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
3934, 38mpbird 258 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
4010, 39jaoi 853 . 2 ((𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
411, 40sylbi 218 1 (𝐴 ∈ FinVI𝐴 ∈ FinVII)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3143  Vcvv 3499   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5062   × cxp 5551  dom cdm 5553  Ord word 6187  Oncon0 6188  ωcom 7571  2oc2o 8090   ≈ cen 8498   ≼ cdom 8499   ≺ csdm 8500  Fincfn 8501  cardccrd 9356  FinVIcfin6 9697  FinVIIcfin7 9698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-oi 8966  df-card 9360  df-fin6 9704  df-fin7 9705 This theorem is referenced by:  fin2so  34747
 Copyright terms: Public domain W3C validator