Theorem fin67 10352

Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin67	⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin6 10257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2		2onn 8612	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
3		ssid 3958	. . . . . 6 ⊢ 2o ⊆ 2o
4		ssnnfi 9138	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ⊆ 2o) → 2o ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
6		sdomdom 8961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≼ 2o)
7		domfi 9157	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2o) → 𝐴 ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ Fin)
9		fin17 10351	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ∈ FinVII)
11		sdomnen 8962	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12		eldifi 4084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13		ensym 8984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → 𝑏 ≈ 𝐴)
14		isnumi 9904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15	12, 13, 14	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16		vex 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑏 ∈ V
17		eldif 3914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18		ordom 7856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ord ω
19		eloni 6356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20		ordtri1 6379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
21	18, 19, 20	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
22	21	biimpar 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
23	17, 22	sylbi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24		ssdomg 8981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
25	16, 23, 24	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26		domen2 9092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
27	25, 26	imbitrrid 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
28	27	impcom 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29		infxpidm2 9973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	15, 28, 29	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31		ensym 8984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
33	32	rexlimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
34	11, 33	nsyl 140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏)
35		relsdom 8934	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
36	35	brrelex1i 5703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37		isfin7 10258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴 ≈ 𝑏))
39	34, 38	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
40	10, 39	jaoi 868	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
41	1, 40	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI → 𝐴 ∈ FinVII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100   × cxp 5645  dom cdm 5647  Ord word 6345  Oncon0 6346  ωcom 7846  2_oc2o 8431   ≈ cen 8924   ≼ cdom 8925   ≺ csdm 8926  Fincfn 8927  cardccrd 9893  Fin^VIcfin6 10240  Fin^VIIcfin7 10241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-oi 9458  df-card 9897  df-fin6 10247  df-fin7 10248

This theorem is referenced by:  fin2so  38106