MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numdom 9453
Description: A set dominated by a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
numdom ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numdom
StepHypRef Expression
1 cardon 9361 . 2 (card‘𝐴) ∈ On
2 cardid2 9370 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
3 domen2 8648 . . . 4 ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 → (𝐵 ≼ (card‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ dom card → (𝐵 ≼ (card‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
54biimpar 481 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ≼ (card‘𝐴))
6 ondomen 9452 . 2 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ≼ (card‘𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
71, 5, 6sylancr 590 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2112   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  Oncon0 6163  cfv 6328  cen 8493  cdom 8494  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-card 9356
This theorem is referenced by:  ssnum  9454  indcardi  9456  fonum  9473  infpwfien  9477  inffien  9478  unnum  9611  infdif  9624  infxpabs  9627  infunsdom1  9628  infunsdom  9629  infmap2  9633  gchac  10096  grothac  10245  mbfimaopnlem  24262  ttac  39964  isnumbasgrplem2  40035
  Copyright terms: Public domain W3C validator