Theorem numdom 9725

Description: A set dominated by a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numdom	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9633	. 2 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		cardid2 9642	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
3		domen2 8856	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 → (𝐵 ≼ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐵 ≼ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
5	4	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ (card‘𝐴))
6		ondomen 9724	. 2 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ≼ (card‘𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
7	1, 5, 6	sylancr 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  Oncon0 6251  ‘cfv 6418   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-card 9628

This theorem is referenced by:  ssnum  9726  indcardi  9728  fonum  9745  infpwfien  9749  inffien  9750  unnum  9883  infdif  9896  infxpabs  9899  infunsdom1  9900  infunsdom  9901  infmap2  9905  gchac  10368  grothac  10517  mbfimaopnlem  24724  ttac  40774  isnumbasgrplem2  40845