MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin45 9894
Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin45 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
2 relen 8562 . . . . . . . . . . 11 Rel ≈
32brrelex1i 5579 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≈ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
43adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
5 0sdomg 8698 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
71, 6mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
8 0sdom1dom 8797 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
97, 8sylib 221 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 1o𝐴)
10 djudom2 9685 . . . . . 6 ((1o𝐴𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
119, 4, 10syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
12 domen2 8712 . . . . . 6 (𝐴 ≈ (𝐴𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴)))
1312adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴)))
1411, 13mpbird 260 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
15 domnsym 8695 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
17 isfin4p1 9817 . . . 4 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1817biimpi 219 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1916, 18nsyl3 140 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
20 isfin5-2 9893 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
2119, 20mpbird 260 1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2114  wne 2934  Vcvv 3398  c0 4211   class class class wbr 5030  1oc1o 8126  cen 8554  cdom 8555  csdm 8556  cdju 9402  FinIVcfin4 9782  FinVcfin5 9784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-dju 9405  df-fin4 9789  df-fin5 9791
This theorem is referenced by:  fin2so  35409
  Copyright terms: Public domain W3C validator