Theorem fin45 10470

Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin45	⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
2		relen 8978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	1, 6	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
8		0sdom1dom 9237	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
9	7, 8	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 1o ≼ 𝐴)
10		djudom2 10262	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
11	9, 4, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
12		domen2 9139	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
14	11, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
15		domnsym 9122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
17		isfin4p1 10393	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
18	17	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
19	16, 18	nsyl3 139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
20		isfin5-2 10469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
21	19, 20	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  1_oc1o 8469   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972   ⊔ cdju 9979  Fin^IVcfin4 10358  Fin^Vcfin5 10360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-dju 9982  df-fin4 10365  df-fin5 10367

This theorem is used by:  infinfnum  35757  fin2so  38530