MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin45 9806
Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin45 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
2 relen 8506 . . . . . . . . . . 11 Rel ≈
32brrelex1i 5601 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≈ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
43adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
5 0sdomg 8638 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
71, 6mpbird 259 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
8 0sdom1dom 8708 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
97, 8sylib 220 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 1o𝐴)
10 djudom2 9601 . . . . . 6 ((1o𝐴𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
119, 4, 10syl2anc 586 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
12 domen2 8652 . . . . . 6 (𝐴 ≈ (𝐴𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴)))
1312adantl 484 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴)))
1411, 13mpbird 259 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
15 domnsym 8635 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
17 isfin4p1 9729 . . . 4 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1817biimpi 218 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1916, 18nsyl3 140 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
20 isfin5-2 9805 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
2119, 20mpbird 259 1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wcel 2107  wne 3014  Vcvv 3493  c0 4289   class class class wbr 5057  1oc1o 8087  cen 8498  cdom 8499  csdm 8500  cdju 9319  FinIVcfin4 9694  FinVcfin5 9696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-fin4 9701  df-fin5 9703
This theorem is referenced by:  fin2so  34866
  Copyright terms: Public domain W3C validator