Theorem fin45 9529

Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin45	⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin4-3 9452	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1o))
2		simpl 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
3		relen 8227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex1i 5393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
6		0sdomg 8358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	2, 7	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
9		0sdom1dom 8427	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
10	8, 9	sylib 210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 1o ≼ 𝐴)
11		cdadom2 9324	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 1o) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 1o) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
13		domen2 8372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → ((𝐴 +𝑐 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 +𝑐 1o) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
14	13	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ((𝐴 +𝑐 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 +𝑐 1o) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
15	12, 14	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 1o) ≼ 𝐴)
16		domnsym 8355	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +𝑐 1o) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1o))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1o))
18	17	con2i 137	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1o) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
19	1, 18	sylbi 209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
20		isfin5-2 9528	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))
21	19, 20	mpbird 249	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  Vcvv 3414  ∅c0 4144   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  1_oc1o 7819   ≈ cen 8219   ≼ cdom 8220   ≺ csdm 8221   +_𝑐 ccda 9304  Fin^IVcfin4 9417  Fin^Vcfin5 9419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-cda 9305  df-fin4 9424  df-fin5 9426

This theorem is referenced by:  fin2so  33932