Theorem fin45 10391

Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin45	⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
2		relen 8948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	1, 6	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
8		0sdom1dom 9242	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
9	7, 8	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 1o ≼ 𝐴)
10		djudom2 10182	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
11	9, 4, 10	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
12		domen2 9124	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
13	12	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
14	11, 13	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
15		domnsym 9103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
17		isfin4p1 10314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
18	17	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
19	16, 18	nsyl3 138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
20		isfin5-2 10390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
21	19, 20	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  1_oc1o 8463   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941   ≺ csdm 8942   ⊔ cdju 9897  Fin^IVcfin4 10279  Fin^Vcfin5 10281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-dju 9900  df-fin4 10286  df-fin5 10288

This theorem is referenced by:  fin2so  36780