MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin45 10393
Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin45 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
2 relen 8950 . . . . . . . . . . 11 Rel ≈
32brrelex1i 5732 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≈ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
43adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
5 0sdomg 9110 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
71, 6mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
8 0sdom1dom 9244 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
97, 8sylib 217 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → 1o𝐴)
10 djudom2 10184 . . . . . 6 ((1o𝐴𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
119, 4, 10syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
12 domen2 9126 . . . . . 6 (𝐴 ≈ (𝐴𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴)))
1312adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴)))
1411, 13mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
15 domnsym 9105 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
17 isfin4p1 10316 . . . 4 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1817biimpi 215 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
1916, 18nsyl3 138 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
20 isfin5-2 10392 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
2119, 20mpbird 257 1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473  c0 4322   class class class wbr 5148  1oc1o 8465  cen 8942  cdom 8943  csdm 8944  cdju 9899  FinIVcfin4 10281  FinVcfin5 10283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-dju 9902  df-fin4 10288  df-fin5 10290
This theorem is referenced by:  fin2so  36942
  Copyright terms: Public domain W3C validator