Theorem fin45 10371

Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin45	⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
2		relen 8944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ≈
3	2	brrelex1i 5717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	1, 6	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
8		0sdom1dom 9202	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
9	7, 8	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 1o ≼ 𝐴)
10		djudom2 10163	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
11	9, 4, 10	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
12		domen2 9104	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
13	12	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
14	11, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
15		domnsym 9087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
17		isfin4p1 10294	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
18	17	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
19	16, 18	nsyl3 139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
20		isfin5-2 10370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
21	19, 20	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938   ⊔ cdju 9880  Fin^IVcfin4 10259  Fin^Vcfin5 10261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-dju 9883  df-fin4 10266  df-fin5 10268

This theorem is referenced by:  fin2so  38278