Theorem dprdffsupp 19936

Description: A finitely supported function in 𝑆 is a finitely supported function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdff.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
dprdff.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dprdffsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐼   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdffsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdff.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
2		dprdff.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		dprdff.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		dprdff.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdw 19932	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
6	1, 5	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
7	6	simp3d 1144	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {crab 3396   class class class wbr 5095  dom cdm 5621   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  Xcixp 8831   finSupp cfsupp 9256   DProd cdprd 19915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-ixp 8832  df-dprd 19917

This theorem is referenced by:  dprdssv  19938  dprdfinv  19941  dprdfadd  19942  dprdfeq0  19944  dprdlub  19948  dmdprdsplitlem  19959  dpjidcl  19980