Theorem sii 31217

Description: Obsolete version of ipcau 25408 as of 22-Sep-2024. Schwarz inequality. Part of Lemma 3-2.1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is also called the Cauchy-Schwarz inequality by some authors and Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality by others. See also Theorems bcseqi 31483, bcsiALT 31542, bcsiHIL 31543, csbren 25569. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
sii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
sii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
sii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
sii	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem sii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)))
2		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))))
3	2	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)))
4	1, 3	breq12d 5121	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵))))
5		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
6	5	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))))
7		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
8	7	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))))
9	6, 8	breq12d 5121	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))))
10		sii.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		sii.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
12		sii.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
13		sii.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	10, 14, 13	elimph 31183	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
16	10, 14, 13	elimph 31183	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
17	10, 11, 12, 13, 15, 16	siii 31216	. 2 ⊢ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
18	4, 9, 17	dedth2h 4546	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ifcif 4486   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   · cmul 11111   ≤ cle 11250  abscabs 15292  BaseSetcba 30949  0_veccn0v 30951  norm_CVcnmcv 30953  ·_𝑖OLDcdip 31063  CPreHil_OLDccphlo 31175

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-t1 23482  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ginv 30858  df-gdiv 30859  df-ablo 30908  df-vc 30922  df-nv 30955  df-va 30958  df-ba 30959  df-sm 30960  df-0v 30961  df-vs 30962  df-nmcv 30963  df-ims 30964  df-dip 31064  df-ph 31176

This theorem is used by:  ipblnfi  31218  htthlem  31280