Theorem sii 31338

Description: Obsolete version of ipcau 25469 as of 22-Sep-2024. Schwarz inequality. Part of Lemma 3-2.1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is also called the Cauchy-Schwarz inequality by some authors and Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality by others. See also Theorems bcseqi 31604, bcsiALT 31663, bcsiHIL 31664, csbren 25630. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
sii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
sii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
sii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
sii	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem sii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7437	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)))
2		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))))
3	2	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)))
4	1, 3	breq12d 5116	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵))))
5		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
6	5	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))))
7		fveq2 6879	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
8	7	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))))
9	6, 8	breq12d 5116	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))))
10		sii.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		sii.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
12		sii.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
13		sii.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	10, 14, 13	elimph 31304	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
16	10, 14, 13	elimph 31304	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
17	10, 11, 12, 13, 15, 16	siii 31337	. 2 ⊢ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
18	4, 9, 17	dedth2h 4542	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   · cmul 11132   ≤ cle 11271  abscabs 15324  BaseSetcba 31070  0_veccn0v 31072  norm_CVcnmcv 31074  ·_𝑖OLDcdip 31184  CPreHil_OLDccphlo 31296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-sum 15777  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-t1 23542  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ginv 30979  df-gdiv 30980  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-vs 31083  df-nmcv 31084  df-ims 31085  df-dip 31185  df-ph 31297

This theorem is used by:  ipblnfi  31339  htthlem  31401