Theorem sii 29445

Description: Obsolete version of ipcau 24500 as of 22-Sep-2024. Schwarz inequality. Part of Lemma 3-2.1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is also called the Cauchy-Schwarz inequality by some authors and Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality by others. See also Theorems bcseqi 29711, bcsiALT 29770, bcsiHIL 29771, csbren 24661. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
sii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
sii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
sii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
sii	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem sii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7352	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)))
2		fveq2 6819	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))))
3	2	oveq1d 7344	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)))
4	1, 3	breq12d 5102	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵))))
5		oveq2 7337	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
6	5	fveq2d 6823	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))))
7		fveq2 6819	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
8	7	oveq2d 7345	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))))
9	6, 8	breq12d 5102	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))))
10		sii.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		sii.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
12		sii.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
13		sii.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	10, 14, 13	elimph 29411	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
16	10, 14, 13	elimph 29411	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
17	10, 11, 12, 13, 15, 16	siii 29444	. 2 ⊢ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
18	4, 9, 17	dedth2h 4531	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4472   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329   · cmul 10969   ≤ cle 11103  abscabs 15036  BaseSetcba 29177  0_veccn0v 29179  norm_CVcnmcv 29181  ·_𝑖OLDcdip 29291  CPreHil_OLDccphlo 29403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-sum 15489  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-t1 22563  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-grpo 29084  df-gid 29085  df-ginv 29086  df-gdiv 29087  df-ablo 29136  df-vc 29150  df-nv 29183  df-va 29186  df-ba 29187  df-sm 29188  df-0v 29189  df-vs 29190  df-nmcv 29191  df-ims 29192  df-dip 29292  df-ph 29404

This theorem is referenced by:  ipblnfi  29446  htthlem  29508