Theorem sii 29216

Description: Obsolete version of ipcau 24402 as of 22-Sep-2024. Schwarz inequality. Part of Lemma 3-2.1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is also called the Cauchy-Schwarz inequality by some authors and Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality by others. See also Theorems bcseqi 29482, bcsiALT 29541, bcsiHIL 29542, csbren 24563. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
sii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
sii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
sii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
sii	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem sii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7298	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)))
2		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))))
3	2	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)))
4	1, 3	breq12d 5087	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵))))
5		oveq2 7283	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
6	5	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))))
7		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
8	7	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))))
9	6, 8	breq12d 5087	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))))
10		sii.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		sii.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
12		sii.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
13		sii.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	10, 14, 13	elimph 29182	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
16	10, 14, 13	elimph 29182	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
17	10, 11, 12, 13, 15, 16	siii 29215	. 2 ⊢ (abs‘(if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
18	4, 9, 17	dedth2h 4518	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   · cmul 10876   ≤ cle 11010  abscabs 14945  BaseSetcba 28948  0_veccn0v 28950  norm_CVcnmcv 28952  ·_𝑖OLDcdip 29062  CPreHil_OLDccphlo 29174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-t1 22465  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ph 29175

This theorem is referenced by:  ipblnfi  29217  htthlem  29279