MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sii 28048
Description: Schwarz inequality. Part of Lemma 3-2.1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is also called the Cauchy-Schwarz inequality by some authors and Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality by others. See also theorems bcseqi 28316, bcsiALT 28375, bcsiHIL 28376, csbren 23400. This is Metamath 100 proof #78. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
sii.6 𝑁 = (normCV𝑈)
sii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
sii.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
sii ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem sii
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 6818 . . 3 (𝐴 = if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵)))
2 fveq2 6333 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) → (𝑁𝐴) = (𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))))
32oveq1d 6810 . . 3 (𝐴 = if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁𝐵)))
41, 3breq12d 4800 . 2 (𝐴 = if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) → ((abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁𝐵))))
5 oveq2 6803 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → (if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵) = (if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈))))
65fveq2d 6337 . . 3 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)))))
7 fveq2 6333 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → (𝑁𝐵) = (𝑁‘if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈))))
87oveq2d 6811 . . 3 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)))))
96, 8breq12d 4800 . 2 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → ((abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈))))))
10 sii.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11 sii.6 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
12 sii.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
13 sii.9 . . 3 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14 eqid 2771 . . . 4 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
1510, 14, 13elimph 28014 . . 3 if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) ∈ 𝑋
1610, 14, 13elimph 28014 . . 3 if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) ∈ 𝑋
1710, 11, 12, 13, 15, 16siii 28047 . 2 (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈))))
184, 9, 17dedth2h 4280 1 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6795   · cmul 10146  cle 10280  abscabs 14181  BaseSetcba 27780  0veccn0v 27782  normCVcnmcv 27784  ·𝑖OLDcdip 27894  CPreHilOLDccphlo 28006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-t1 21338  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-grpo 27686  df-gid 27687  df-ginv 27688  df-gdiv 27689  df-ablo 27738  df-vc 27753  df-nv 27786  df-va 27789  df-ba 27790  df-sm 27791  df-0v 27792  df-vs 27793  df-nmcv 27794  df-ims 27795  df-dip 27895  df-ph 28007
This theorem is referenced by:  ipblnfi  28050  htthlem  28113
  Copyright terms: Public domain W3C validator