MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdiri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipdiri 30517
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
ipdiri ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)))
Proof of Theorem ipdiri
StepHypRef Expression
1 oveq1 7419 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝐺𝐡) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡))
21oveq1d 7427 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡)𝑃𝐢))
3 oveq1 7419 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝑃𝐢) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢))
43oveq1d 7427 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)))
52, 4eqeq12d 2747 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢))))
6 oveq2 7420 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
76oveq1d 7427 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃𝐢))
8 oveq1 7419 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐡𝑃𝐢) = (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢))
98oveq2d 7428 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢)))
107, 9eqeq12d 2747 . 2 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢))))
11 oveq2 7420 . . 3 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
12 oveq2 7420 . . . 4 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
13 oveq2 7420 . . . 4 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) = (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
1412, 13oveq12d 7430 . . 3 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)))))
1511, 14eqeq12d 2747 . 2 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))))
16 ip1i.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
17 ip1i.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
18 ip1i.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
19 ip1i.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
20 ip1i.9 . . 3 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21 eqid 2731 . . . 4 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
2216, 21, 20elimph 30507 . . 3 if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ 𝑋
2316, 21, 20elimph 30507 . . 3 if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ 𝑋
2416, 21, 20elimph 30507 . . 3 if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ 𝑋
2516, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24ipdirilem 30516 . 2 ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
265, 10, 15, 25dedth3h 4588 1 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4528  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   + caddc 11119   +𝑣 cpv 30272  BaseSetcba 30273   ·𝑠OLD cns 30274  0veccn0v 30275  Β·π‘–OLDcdip 30387  CPreHilOLDccphlo 30499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-grpo 30180  df-gid 30181  df-ginv 30182  df-ablo 30232  df-vc 30246  df-nv 30279  df-va 30282  df-ba 30283  df-sm 30284  df-0v 30285  df-nmcv 30287  df-dip 30388  df-ph 30500
This theorem is referenced by:  ipasslem1  30518  ipasslem2  30519  ipasslem11  30527  dipdir  30529
  Copyright terms: Public domain W3C validator