Theorem ipdiri 31319

Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
ipdiri	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem ipdiri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (𝐴𝐺𝐵) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺𝐵))
2	1	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺𝐵)𝑃𝐶))
3		oveq1 7424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (𝐴𝑃𝐶) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶))
4	3	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))
5	2, 4	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) → (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))))
6		oveq2 7425	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺𝐵) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))))
7	6	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))𝑃𝐶))
8		oveq1 7424	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (𝐵𝑃𝐶) = (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶))
9	8	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) + (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶)))
10	7, 9	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) → (((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))𝑃𝐶) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) + (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶))))
11		oveq2 7425	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈)) → ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))𝑃𝐶) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))))
12		oveq2 7425	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈)) → (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))))
13		oveq2 7425	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈)) → (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) = (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))))
14	12, 13	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈)) → ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) + (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))) + (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈)))))
15	11, 14	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈)) → (((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))𝑃𝐶) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶) + (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃𝐶)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))) + (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))))))
16		ip1i.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
17		ip1i.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
18		ip1i.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
19		ip1i.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
20		ip1i.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
22	16, 21, 20	elimph 31309	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
23	16, 21, 20	elimph 31309	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
24	16, 21, 20	elimph 31309	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈)) ∈ 𝑋
25	16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24	ipdirilem 31318	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝐺if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈)))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))) + (if(𝐵 ∈ 𝑋, 𝐵, (0vec‘𝑈))𝑃if(𝐶 ∈ 𝑋, 𝐶, (0vec‘𝑈))))
26	5, 10, 15, 25	dedth3h 4546	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   + caddc 11131   +_𝑣 cpv 31074  BaseSetcba 31075   ·_𝑠OLD cns 31076  0_veccn0v 31077  ·_𝑖OLDcdip 31189  CPreHil_OLDccphlo 31301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-grpo 30982  df-gid 30983  df-ginv 30984  df-ablo 31034  df-vc 31048  df-nv 31081  df-va 31084  df-ba 31085  df-sm 31086  df-0v 31087  df-nmcv 31089  df-dip 31190  df-ph 31302

This theorem is used by:  ipasslem1  31320  ipasslem2  31321  ipasslem11  31329  dipdir  31331