MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdiri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipdiri 30061
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
ipdiri ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)))
Proof of Theorem ipdiri
StepHypRef Expression
1 oveq1 7411 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝐺𝐡) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡))
21oveq1d 7419 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡)𝑃𝐢))
3 oveq1 7411 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝑃𝐢) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢))
43oveq1d 7419 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)))
52, 4eqeq12d 2749 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢))))
6 oveq2 7412 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
76oveq1d 7419 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃𝐢))
8 oveq1 7411 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐡𝑃𝐢) = (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢))
98oveq2d 7420 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢)))
107, 9eqeq12d 2749 . 2 (𝐡 = if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢))))
11 oveq2 7412 . . 3 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
12 oveq2 7412 . . . 4 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) = (if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
13 oveq2 7412 . . . 4 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) = (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
1412, 13oveq12d 7422 . . 3 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢)) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)))))
1511, 14eqeq12d 2749 . 2 (𝐢 = if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃𝐢) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃𝐢)) ↔ ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))))
16 ip1i.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
17 ip1i.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
18 ip1i.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
19 ip1i.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
20 ip1i.9 . . 3 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21 eqid 2733 . . . 4 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
2216, 21, 20elimph 30051 . . 3 if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ 𝑋
2316, 21, 20elimph 30051 . . 3 if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ 𝑋
2416, 21, 20elimph 30051 . . 3 if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ)) ∈ 𝑋
2516, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24ipdirilem 30060 . 2 ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝐺if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ)))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))) + (if(𝐡 ∈ 𝑋, 𝐡, (0vecβ€˜π‘ˆ))𝑃if(𝐢 ∈ 𝑋, 𝐢, (0vecβ€˜π‘ˆ))))
265, 10, 15, 25dedth3h 4587 1 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4527  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   + caddc 11109   +𝑣 cpv 29816  BaseSetcba 29817   ·𝑠OLD cns 29818  0veccn0v 29819  Β·π‘–OLDcdip 29931  CPreHilOLDccphlo 30043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-nmcv 29831  df-dip 29932  df-ph 30044
This theorem is referenced by:  ipasslem1  30062  ipasslem2  30063  ipasslem11  30071  dipdir  30073
  Copyright terms: Public domain W3C validator