MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0tsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsms 24857
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsms.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsms.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsms.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsms.s 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
xrge0tsms (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsms
Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsms.s . . . . 5 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < )
2 iccssxr 13471 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrge0tsms.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 xrsbas 21397 . . . . . . . . . . . 12 * = (Base‘ℝ*𝑠)
53, 4ressbas2 17284 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
87xrge0subm 21426 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
9 xrex 13030 . . . . . . . . . . . . . . 15 * ∈ V
109difexi 5329 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
11 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12 ge0nemnf 13216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
1311, 12jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
14 elxrge0 13498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
15 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
1613, 14, 153imtr4i 292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1716ssriv 3986 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
18 ressabs 17295 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
1910, 17, 18mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
203, 19eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
217xrs10 21424 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
2220, 21subm0 18829 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
238, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
24 xrge0cmn 21427 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
253, 24eqeltri 2836 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ CMnd
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
27 elinel2 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2827adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
29 xrge0tsms.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
30 elfpw 9395 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
3130simplbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
32 fssres 6773 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
3329, 31, 32syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
34 c0ex 11256 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
3633, 28, 35fdmfifsupp 9416 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp 0)
376, 23, 26, 28, 33, 36gsumcl 19934 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
382, 37sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
3938fmpttd 7134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
4039frnd 6743 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
41 supxrcl 13358 . . . . . 6 (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
431, 42eqeltrid 2844 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
44 0ss 4399 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ 𝐴
45 0fi 9083 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
46 elfpw 9395 . . . . . . . 8 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
4744, 45, 46mpbir2an 711 . . . . . . 7 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
48 0cn 11254 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
49 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
50 reseq2 5991 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
51 res0 6000 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
5250, 51eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
5352oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
5423gsum0 18698 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg ∅) = 0
5553, 54eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5649, 55elrnmpt1s 5969 . . . . . . 7 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5747, 48, 56mp2an 692 . . . . . 6 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
58 supxrub 13367 . . . . . 6 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
5940, 57, 58sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6059, 1breqtrrdi 5184 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
61 elxrge0 13498 . . . 4 (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
6243, 60, 61sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0[,]+∞))
63 letop 23215 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
64 ovex 7465 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
65 elrest 17473 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
6663, 64, 65mp2an 692 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
67 elinel1 4200 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆𝑣)
68 reex 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
69 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
70 elrestr 17474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7163, 68, 69, 70mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
72 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7372xrtgioo 24829 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7471, 73eleqtrrdi 2851 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
75 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆𝑣)
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
7775, 76elind 4199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
78 tg2 22973 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
7974, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
80 ioof 13488 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
81 ffn 6735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
82 ovelrn 7610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
8380, 81, 82mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
84 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
86 inss1 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
8785, 86sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
8825a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
89 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
90 elinel2 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
92 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝜑)
9392, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
94 elfpw 9395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
9594simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
9689, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦𝐴)
9793, 96fssresd 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
9834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 0 ∈ V)
9997, 91, 98fdmfifsupp 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦) finSupp 0)
1006, 23, 88, 91, 97, 99gsumcl 19934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1012, 100sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
102 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
104 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
10591, 104ssfid 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
106104, 96sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝐴)
10793, 106fssresd 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
108107, 105, 98fdmfifsupp 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧) finSupp 0)
1096, 23, 88, 105, 107, 108gsumcl 19934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1102, 109sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
111 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
112 xrge0tsms.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐴𝑉)
11392, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐴𝑉)
1143, 113, 93, 89, 104xrge0gsumle 24856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
115103, 110, 101, 111, 114xrltletrd 13204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
11692, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
117 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
11992, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
120 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
121 reseq2 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑦 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑦))
122121oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
12349, 122elrnmpt1s 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
12489, 120, 123sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
125 supxrub 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
126119, 124, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
127126, 1breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ 𝑆)
128 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
129 eliooord 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
131130simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
133101, 116, 118, 127, 132xrlelttrd 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)
134 elioo1 13428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
135103, 118, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
136101, 115, 133, 135mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
13787, 136sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
138137, 100elind 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
139138anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
140139expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
141140ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
142130simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
143142, 1breqtrdi 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
14440ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
145 supxrlub 13368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
146144, 102, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
147143, 146mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
148 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
149148rgenw 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
150 reseq2 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 𝑧 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑧))
151150oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
152151cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
153 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) → (𝑟 < 𝑤𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
154152, 153rexrnmptw 7114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
155149, 154ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
156147, 155sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
157141, 156reximddv 3170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
158157expr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
159 eleq2 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
160 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
161159, 160anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
162161imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
163158, 162syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
164163rexlimdvva 3212 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
16583, 164biimtrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
166165rexlimdv 3152 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
16779, 166mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
168 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
169 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
170 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆𝑣)
171169, 170eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
172 pnfnei 23229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
173168, 171, 172syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
174 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
175174ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
17625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
17790ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
178 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝜑)
179178, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
18095ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦𝐴)
181179, 180fssresd 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
18234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 0 ∈ V)
183181, 177, 182fdmfifsupp 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦) finSupp 0)
1846, 23, 176, 177, 181, 183gsumcl 19934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1852, 184sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
186 rexr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
187186ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
188187ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
189 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝑦)
190177, 189ssfid 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
191189, 180sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐴)
192179, 191fssresd 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
193192, 190, 182fdmfifsupp 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧) finSupp 0)
1946, 23, 176, 190, 192, 193gsumcl 19934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1952, 194sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
196 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
197178, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐴𝑉)
198 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1993, 197, 179, 198, 189xrge0gsumle 24856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
200188, 195, 185, 196, 199xrltletrd 13204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
201 pnfge 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
202185, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
203 pnfxr 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
204 elioc1 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
205188, 203, 204sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
206185, 200, 202, 205mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
207175, 206sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
208207, 184elind 4199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
209208expr 456 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
210209ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
211 ltpnf 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
212211ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
213 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
214212, 213breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
215214, 1breqtrdi 5183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
21640ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
217216, 187, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
218215, 217mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
219218, 155sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
220210, 219reximddv 3170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
221173, 220rexlimddv 3160 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
222 ge0nemnf 13216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
22343, 60, 222syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ≠ -∞)
22443, 223jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
225224adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
226 xrnemnf 13160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
227225, 226sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
228167, 221, 227mpjaodan 960 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
229228expr 456 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
23067, 229syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
231 eleq2 2829 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
232 eleq2 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
233232imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
234233rexralbidv 3222 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
235231, 234imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
236230, 235syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
237236rexlimdva 3154 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
23866, 237biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
239238ralrimiv 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
240 xrstset 21400 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
2413, 240resstset 17410 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
24264, 241ax-mp 5 . . . . 5 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
2436, 242topnval 17480 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
244 eqid 2736 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
24525a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
246 xrstps 23218 . . . . . . 7 *𝑠 ∈ TopSp
247 resstps 23196 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
248246, 64, 247mp2an 692 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
2493, 248eqeltri 2836 . . . . 5 𝐺 ∈ TopSp
250249a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2516, 243, 244, 245, 250, 112, 29eltsms 24142 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
25262, 239, 251mpbir2and 713 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
253 letsr 18639 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
254 ordthaus 23393 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
255253, 254mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
256 resthaus 23377 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
257255, 64, 256sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2586, 245, 250, 112, 29, 243, 257haustsms2 24146 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
259252, 258mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  cdif 3947  cin 3949  wss 3950  c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224   × cxp 5682  ran crn 5685  cres 5686   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  supcsup 9481  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  (,)cioo 13388  (,]cioc 13389  [,]cicc 13391  Basecbs 17248  s cress 17275  TopSetcts 17304  t crest 17466  topGenctg 17483  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  ordTopcordt 17545  *𝑠cxrs 17546   TosetRel ctsr 18611  SubMndcsubmnd 18796  CMndccmn 19799  Topctop 22900  TopSpctps 22939  Hauscha 23317   tsums ctsu 24135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-ntr 23029  df-nei 23107  df-cn 23236  df-haus 23324  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-tsms 24136
This theorem is referenced by:  xrge0tsms2  24858  sge0tsms  46400
  Copyright terms: Public domain W3C validator