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Theorem xrge0tsms 24119
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsms.g 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
xrge0tsms.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsms.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
xrge0tsms.s 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
xrge0tsms (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   πœ‘,𝑠   𝐺,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsms
Dummy variables π‘Ÿ 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsms.s . . . . 5 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < )
2 iccssxr 13276 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
3 xrge0tsms.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
4 xrsbas 20736 . . . . . . . . . . . 12 ℝ* = (Baseβ€˜β„*𝑠)
53, 4ressbas2 17055 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
87xrge0subm 20761 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
9 xrex 12841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ* ∈ V
109difexi 5284 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V
11 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
12 ge0nemnf 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  -∞)
1311, 12jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
14 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
15 eldifsn 4746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
1613, 14, 153imtr4i 292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}))
1716ssriv 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})
18 ressabs 17065 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})) β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
1910, 17, 18mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
203, 19eqtr4i 2769 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞))
217xrs10 20759 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
2220, 21subm0 18561 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))) β†’ 0 = (0gβ€˜πΊ))
238, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜πΊ)
24 xrge0cmn 20762 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
253, 24eqeltri 2835 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ CMnd
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
27 elinel2 4155 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
2827adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
29 xrge0tsms.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
30 elfpw 9232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
3130simplbi 499 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐴)
32 fssres 6704 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞) ∧ 𝑠 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
3329, 31, 32syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
34 c0ex 11083 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 0 ∈ V)
3633, 28, 35fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) finSupp 0)
376, 23, 26, 28, 33, 36gsumcl 19621 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
382, 37sselid 3941 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ ℝ*)
3938fmpttd 7058 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)βŸΆβ„*)
4039frnd 6672 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
41 supxrcl 13163 . . . . . 6 (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
431, 42eqeltrid 2843 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
44 0ss 4355 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† 𝐴
45 0fin 9049 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ Fin
46 elfpw 9232 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ βˆ… ∈ Fin))
4744, 45, 46mpbir2an 710 . . . . . . 7 βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
48 0cn 11081 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
49 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
50 reseq2 5929 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
51 res0 5938 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
5250, 51eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = βˆ…)
5352oveq2d 7366 . . . . . . . . 9 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
5423gsum0 18474 . . . . . . . . 9 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = 0
5553, 54eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = 0)
5649, 55elrnmpt1s 5909 . . . . . . 7 ((βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5747, 48, 56mp2an 691 . . . . . 6 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
58 supxrub 13172 . . . . . 6 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))) β†’ 0 ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
5940, 57, 58sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
6059, 1breqtrrdi 5146 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
61 elxrge0 13303 . . . 4 (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑆))
6243, 60, 61sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0[,]+∞))
63 letop 22479 . . . . . 6 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
64 ovex 7383 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
65 elrest 17244 . . . . . 6 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
6663, 64, 65mp2an 691 . . . . 5 (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
67 elinel1 4154 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
68 reex 11076 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
69 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
70 elrestr 17245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
7163, 68, 69, 70mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
72 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
7372xrtgioo 24091 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
7471, 73eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
75 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
76 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
7775, 76elind 4153 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
78 tg2 22237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
7974, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
80 ioof 13293 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
81 ffn 6664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
82 ovelrn 7523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑒 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀)))
8380, 81, 82mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀))
84 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))
86 inss1 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∩ ℝ) βŠ† 𝑣
8785, 86sstrdi 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† 𝑣)
8825a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
89 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
90 elinel2 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
92 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ πœ‘)
9392, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
94 elfpw 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
9594simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
9689, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
9793, 96fssresd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(0[,]+∞))
9834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 0 ∈ V)
9997, 91, 98fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp 0)
1006, 23, 88, 91, 97, 99gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1012, 100sselid 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ*)
102 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
103102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
104 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑦)
10591, 104ssfid 9145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
106104, 96sstrd 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
10793, 106fssresd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆ(0[,]+∞))
108107, 105, 98fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp 0)
1096, 23, 88, 105, 107, 108gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1102, 109sselid 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ ℝ*)
111 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
112 xrge0tsms.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
11392, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
1143, 113, 93, 89, 104xrge0gsumle 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
115103, 110, 101, 111, 114xrltletrd 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
11692, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
117 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
118117adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
11992, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
120 ovex 7383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ V
121 reseq2 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ 𝑦))
122121oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
12349, 122elrnmpt1s 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ V) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
12489, 120, 123sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
125 supxrub 13172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
126119, 124, 125syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
127126, 1breqtrrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ 𝑆)
128 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀))
129 eliooord 13252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (π‘Ÿ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑀))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑀))
131130simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑆 < 𝑀)
132131adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑆 < 𝑀)
133101, 116, 118, 127, 132xrlelttrd 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)
134 elioo1 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)))
135103, 118, 134syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)))
136101, 115, 133, 135mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀))
13787, 136sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)
138137, 100elind 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
139138anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
140139expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
141140ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
142130simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ < 𝑆)
143142, 1breqtrdi 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
14440ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
145 supxrlub 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
146144, 102, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
147143, 146mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀)
148 ovex 7383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V
149148rgenw 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V
150 reseq2 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ 𝑧))
151150oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
152151cbvmptv 5217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
153 breq2 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ < 𝑀 ↔ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
154152, 153rexrnmptw 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
155149, 154ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
156147, 155sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
157141, 156reximddv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
158157expr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*)) β†’ ((𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
159 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 ↔ 𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀)))
160 sseq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
161159, 160anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))))
162161imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
163158, 162syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*)) β†’ (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
164163rexlimdvva 3204 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
16583, 164biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ ran (,) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
166165rexlimdv 3149 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
16779, 166mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
168 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
169 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑆 = +∞)
170 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
171169, 170eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ +∞ ∈ 𝑣)
172 pnfnei 22493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
173168, 171, 172syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
174 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
175174ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
17625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
17790ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
178 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ πœ‘)
179178, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
18095ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
181179, 180fssresd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(0[,]+∞))
18234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 0 ∈ V)
183181, 177, 182fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp 0)
1846, 23, 176, 177, 181, 183gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1852, 184sselid 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ*)
186 rexr 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
187186ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
188187ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
189 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑦)
190177, 189ssfid 9145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
191189, 180sstrd 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
192179, 191fssresd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆ(0[,]+∞))
193192, 190, 182fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp 0)
1946, 23, 176, 190, 192, 193gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1952, 194sselid 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ ℝ*)
196 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
197178, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
198 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1993, 197, 179, 198, 189xrge0gsumle 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
200188, 195, 185, 196, 199xrltletrd 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
201 pnfge 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)
202185, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)
203 pnfxr 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
204 elioc1 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)))
205188, 203, 204sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)))
206185, 200, 202, 205mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞))
207175, 206sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)
208207, 184elind 4153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
209208expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
210209ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
211 ltpnf 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ < +∞)
212211ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < +∞)
213 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 = +∞)
214212, 213breqtrrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < 𝑆)
215214, 1breqtrdi 5145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
21640ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
217216, 187, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
218215, 217mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀)
219218, 155sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
220210, 219reximddv 3167 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
221173, 220rexlimddv 3157 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
222 ge0nemnf 13021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 β‰  -∞)
22343, 60, 222syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  -∞)
22443, 223jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞))
225224adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞))
226 xrnemnf 12967 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
227225, 226sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
228167, 221, 227mpjaodan 958 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
229228expr 458 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
23067, 229syl5 34 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
231 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 ↔ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
232 eleq2 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
233232imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
234233rexralbidv 3213 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
235231, 234imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
236230, 235syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
237236rexlimdva 3151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
23866, 237biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
239238ralrimiv 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
240 xrstset 20739 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜β„*𝑠)
2413, 240resstset 17181 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜πΊ))
24264, 241ax-mp 5 . . . . 5 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜πΊ)
2436, 242topnval 17251 . . . 4 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜πΊ)
244 eqid 2738 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
24525a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
246 xrstps 22482 . . . . . . 7 ℝ*𝑠 ∈ TopSp
247 resstps 22460 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
248246, 64, 247mp2an 691 . . . . . 6 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
2493, 248eqeltri 2835 . . . . 5 𝐺 ∈ TopSp
250249a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2516, 243, 244, 245, 250, 112, 29eltsms 23406 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
25262, 239, 251mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
253 letsr 18417 . . . . 5 ≀ ∈ TosetRel
254 ordthaus 22657 . . . . 5 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus)
255253, 254mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus)
256 resthaus 22641 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
257255, 64, 256sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2586, 245, 250, 112, 29, 243, 257haustsms2 23410 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
259252, 258mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆ€wral 3063  βˆƒwrex 3072  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3906   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  π’« cpw 4559  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187   Γ— cxp 5629  ran crn 5632   β†Ύ cres 5633   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Fincfn 8817  supcsup 9310  β„‚cc 10983  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  -∞cmnf 11121  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  (,)cioo 13193  (,]cioc 13194  [,]cicc 13196  Basecbs 17018   β†Ύs cress 17047  TopSetcts 17074   β†Ύt crest 17237  topGenctg 17254  0gc0g 17256   Ξ£g cgsu 17257  ordTopcordt 17316  β„*𝑠cxrs 17317   TosetRel ctsr 18389  SubMndcsubmnd 18535  CMndccmn 19491  Topctop 22164  TopSpctps 22203  Hauscha 22581   tsums ctsu 23399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-xadd 12963  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-hash 14159  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-rest 17239  df-topn 17240  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-topgen 17260  df-ordt 17318  df-xrs 17319  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-ps 18390  df-tsr 18391  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-ntr 22293  df-nei 22371  df-cn 22500  df-haus 22588  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tsms 23400
This theorem is referenced by:  xrge0tsms2  24120  sge0tsms  44329
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