Theorem xrge0tsms 23444

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsms.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsms.s	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < )

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsms	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsms

Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsms.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < )
2		iccssxr 12822	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrge0tsms.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		xrsbas 20563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5	3, 4	ressbas2 16557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
8	7	xrge0subm 20588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
9		xrex 12389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ* ∈ V
10	9	difexi 5234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
11		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12		ge0nemnf 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
13	11, 12	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
14		elxrge0 12848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
15		eldifsn 4721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
16	13, 14, 15	3imtr4i 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
17	16	ssriv 3973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
18		ressabs 16565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
19	10, 17, 18	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
20	3, 19	eqtr4i 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
21	7	xrs10 20586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
22	20, 21	subm0 17982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
24		xrge0cmn 20589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
25	3, 24	eqeltri 2911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
27		elinel2 4175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
28	27	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
29		xrge0tsms.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
30		elfpw 8828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
31	30	simplbi 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
32		fssres 6546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
33	29, 31, 32	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
34		c0ex 10637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
36	33, 28, 35	fdmfifsupp 8845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp 0)
37	6, 23, 26, 28, 33, 36	gsumcl 19037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
38	2, 37	sseldi 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
39	38	fmpttd 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
40	39	frnd 6523	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
41		supxrcl 12711	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
43	1, 42	eqeltrid 2919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
44		0ss 4352	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
45		0fin 8748	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
46		elfpw 8828	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
47	44, 45, 46	mpbir2an 709	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
48		0cn 10635	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
49		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
50		reseq2 5850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
51		res0 5859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
52	50, 51	syl6eq 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
53	52	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
54	23	gsum0 17896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
55	53, 54	syl6eq 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
56	49, 55	elrnmpt1s 5831	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
57	47, 48, 56	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
58		supxrub 12720	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
59	40, 57, 58	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
60	59, 1	breqtrrdi 5110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
61		elxrge0 12848	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
62	43, 60, 61	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0[,]+∞))
63		letop 21816	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
64		ovex 7191	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
65		elrest 16703	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
66	63, 64, 65	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
67		elinel1 4174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆 ∈ 𝑣)
68		reex 10630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ∈ V
69		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
70		elrestr 16704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
71	63, 68, 69, 70	mp3an12i 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
72		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
73	72	xrtgioo 23416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
74	71, 73	eleqtrrdi 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
75		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ 𝑣)
76		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
77	75, 76	elind 4173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
78		tg2 21575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
79	74, 77, 78	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
80		ioof 12838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
81		ffn 6516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
82		ovelrn 7326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
83	80, 81, 82	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
84		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
85	84	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
86		inss1 4207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
87	85, 86	sstrdi 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
88	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
89		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
90		elinel2 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
92		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝜑)
93	92, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
94		elfpw 8828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
95	94	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
96	89, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
97	93, 96	fssresd 6547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
98	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 0 ∈ V)
99	97, 91, 98	fdmfifsupp 8845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp 0)
100	6, 23, 88, 91, 97, 99	gsumcl 19037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
101	2, 100	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ*)
102		simprll 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
103	102	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
104		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
105	91, 104	ssfid 8743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
106	104, 96	sstrd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
107	93, 106	fssresd 6547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
108	107, 105, 98	fdmfifsupp 8845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp 0)
109	6, 23, 88, 105, 107, 108	gsumcl 19037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
110	2, 109	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
111		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
112		xrge0tsms.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
113	92, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
114	3, 113, 93, 89, 104	xrge0gsumle 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
115	103, 110, 101, 111, 114	xrltletrd 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
116	92, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
117		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
118	117	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
119	92, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
120		ovex 7191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
121		reseq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑦))
122	121	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
123	49, 122	elrnmpt1s 5831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
124	89, 120, 123	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
125		supxrub 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
126	119, 124, 125	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
127	126, 1	breqtrrdi 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ 𝑆)
128		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
129		eliooord 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤))
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤))
131	130	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
132	131	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
133	101, 116, 118, 127, 132	xrlelttrd 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)
134		elioo1 12781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)))
135	103, 118, 134	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)))
136	101, 115, 133, 135	mpbir3and 1338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
137	87, 136	sseldd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)
138	137, 100	elind 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
139	138	anassrs 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
140	139	expr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
141	140	ralrimiva 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
142	130	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
143	142, 1	breqtrdi 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
144	40	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
145		supxrlub 12721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
146	144, 102, 145	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
147	143, 146	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤)
148		ovex 7191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V
149	148	rgenw 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V
150		reseq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑧))
151	150	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
152	151	cbvmptv 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
153		breq2 5072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝑟 < 𝑤 ↔ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
154	152, 153	rexrnmptw 6863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
155	149, 154	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
156	147, 155	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
157	141, 156	reximddv 3277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
158	157	expr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
159		eleq2 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
160		sseq1 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
161	159, 160	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
162	161	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
163	158, 162	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
164	163	rexlimdvva 3296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
165	83, 164	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
166	165	rexlimdv 3285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
167	79, 166	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
168		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
169		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
170		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 ∈ 𝑣)
171	169, 170	eqeltrrd 2916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
172		pnfnei 21830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
173	168, 171, 172	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
174		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
175	174	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
176	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
177	90	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
178		simp-5l 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝜑)
179	178, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
180	95	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
181	179, 180	fssresd 6547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
182	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 0 ∈ V)
183	181, 177, 182	fdmfifsupp 8845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp 0)
184	6, 23, 176, 177, 181, 183	gsumcl 19037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
185	2, 184	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ*)
186		rexr 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
187	186	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
188	187	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
189		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
190	177, 189	ssfid 8743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
191	189, 180	sstrd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
192	179, 191	fssresd 6547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
193	192, 190, 182	fdmfifsupp 8845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp 0)
194	6, 23, 176, 190, 192, 193	gsumcl 19037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
195	2, 194	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
196		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
197	178, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
198		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
199	3, 197, 179, 198, 189	xrge0gsumle 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
200	188, 195, 185, 196, 199	xrltletrd 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
201		pnfge 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)
202	185, 201	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)
203		pnfxr 10697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
204		elioc1 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)))
205	188, 203, 204	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)))
206	185, 200, 202, 205	mpbir3and 1338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
207	175, 206	sseldd 3970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)
208	207, 184	elind 4173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
209	208	expr 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
210	209	ralrimiva 3184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
211		ltpnf 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
212	211	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
213		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
214	212, 213	breqtrrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
215	214, 1	breqtrdi 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
216	40	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
217	216, 187, 145	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
218	215, 217	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤)
219	218, 155	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
220	210, 219	reximddv 3277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
221	173, 220	rexlimddv 3293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
222		ge0nemnf 12569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
223	43, 60, 222	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ -∞)
224	43, 223	jca 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞))
225	224	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞))
226		xrnemnf 12515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
227	225, 226	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
228	167, 221, 227	mpjaodan 955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
229	228	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
230	67, 229	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
231		eleq2 2903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
232		eleq2 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
233	232	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
234	233	rexralbidv 3303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
235	231, 234	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
236	230, 235	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
237	236	rexlimdva 3286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
238	66, 237	syl5bi 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
239	238	ralrimiv 3183	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
240		xrstset 20566	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
241	3, 240	resstset 16667	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
242	64, 241	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
243	6, 242	topnval 16710	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
244		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
245	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
246		xrstps 21819	. . . . . . 7 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ TopSp
247		resstps 21797	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
248	246, 64, 247	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
249	3, 248	eqeltri 2911	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ TopSp
250	249	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
251	6, 243, 244, 245, 250, 112, 29	eltsms 22743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
252	62, 239, 251	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
253		letsr 17839	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
254		ordthaus 21994	. . . . 5 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
255	253, 254	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
256		resthaus 21978	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
257	255, 64, 256	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
258	6, 245, 250, 112, 29, 243, 257	haustsms2 22747	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
259	252, 258	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ran crn 5558   ↾ cres 5559   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  supcsup 8906  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  (,)cioo 12741  (,]cioc 12742  [,]cicc 12744  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  TopSetcts 16573   ↾_t crest 16696  topGenctg 16713  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716  ordTopcordt 16774  ℝ^*_𝑠cxrs 16775   TosetRel ctsr 17811  SubMndcsubmnd 17957  CMndccmn 18908  Topctop 21503  TopSpctps 21542  Hauscha 21918   tsums ctsu 22736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-ordt 16776  df-xrs 16777  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-ps 17812  df-tsr 17813  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-ntr 21630  df-nei 21708  df-cn 21837  df-haus 21925  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-tsms 22737

This theorem is referenced by:  xrge0tsms2  23445  sge0tsms  42669