Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre4 44294
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre4.1 Ⅎ𝑑𝐹
rfcnpre4.2 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
rfcnpre4.3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
rfcnpre4.4 𝐴 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡}
rfcnpre4.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐡   𝑑,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑)   𝐹(𝑑)   𝐽(𝑑)   𝐾(𝑑)

Proof of Theorem rfcnpre4
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre4.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 rfcnpre4.3 . . . . . . . 8 𝑇 = βˆͺ 𝐽
3 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 rfcnpre4.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 44285 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
6 ffn 6711 . . . . . . 7 (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
7 elpreima 7053 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡))))
9 mnfxr 11275 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
10 rfcnpre4.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1110rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
13 elioc1 13372 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)))
149, 12, 13sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)))
15 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)
165ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
1716rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ*)
1817adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ*)
1916adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
20 mnflt 13109 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ))
22 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)
2318, 21, 223jca 1125 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
2415, 23impbida 798 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
2514, 24bitrd 279 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
2625pm5.32da 578 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)))
278, 26bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)))
28 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑠
29 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
30 rfcnpre4.1 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐹
3130, 28nffv 6895 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ )
32 nfcv 2897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 ≀
33 nfcv 2897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝐡
3431, 32, 33nfbr 5188 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡
35 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘ ))
3635breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡 ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
3728, 29, 34, 36elrabf 3674 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
3827, 37bitr4di 289 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡}))
3938eqrdv 2724 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡})
40 rfcnpre4.4 . . 3 𝐴 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡}
4139, 40eqtr4di 2784 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = 𝐴)
42 iocmnfcld 24640 . . . . 5 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
4310, 42syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
441fveq2i 6888 . . . 4 (Clsdβ€˜πΎ) = (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
4543, 44eleqtrrdi 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
46 cnclima 23127 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
474, 45, 46syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4841, 47eqeltrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877  {crab 3426  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13330  (,]cioc 13331  topGenctg 17392  Clsdccld 22875   Cn ccn 23083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-cn 23086
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  45347
  Copyright terms: Public domain W3C validator