Theorem rfcnpre4 45155

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre4.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre4.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre4.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre4.4	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
rfcnpre4.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre4

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre4.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre4.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 45146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 6997	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
9		mnfxr 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10		rfcnpre4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		elioc1 13289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
14	9, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
15		simpr3 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
16	5	ffvelcdmda 7023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
20		mnflt 13024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹‘𝑠))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑠))
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
23	18, 21, 22	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
24	15, 23	impbida 800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
25	14, 24	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
26	25	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
27	8, 26	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
28		nfcv 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		rfcnpre4.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
31	30, 28	nffv 6838	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
32		nfcv 2895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
33		nfcv 2895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
34	31, 32, 33	nfbr 5140	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵
35		fveq2 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq1d 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3640	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
38	27, 37	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}))
39	38	eqrdv 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵})
40		rfcnpre4.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
41	39, 40	eqtr4di 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = 𝐴)
42		iocmnfcld 24684	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	10, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6831	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 23184	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2880  {crab 3396  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5093  ^◡ccnv 5618  ran crn 5620   “ cima 5622   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  -∞cmnf 11151  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  (,)cioo 13247  (,]cioc 13248  topGenctg 17343  Clsdccld 22932   Cn ccn 23140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-topgen 17349  df-top 22810  df-topon 22827  df-bases 22862  df-cld 22935  df-cn 23143

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  46181