Theorem rfcnpre4 45876

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre4.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre4.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre4.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre4.4	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
rfcnpre4.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre4

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre4.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre4.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 45867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 7054	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
8	5, 6, 7	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
9		mnfxr 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10		rfcnpre4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		elioc1 13444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
14	9, 12, 13	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
15		simpr3 1215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
16	5	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
20		mnflt 13178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹‘𝑠))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑠))
22		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
23	18, 21, 22	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
24	15, 23	impbida 813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
25	14, 24	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
26	25	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
27	8, 26	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
28		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		rfcnpre4.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
31	30, 28	nffv 6892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
32		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
33		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
34	31, 32, 33	nfbr 5156	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵
35		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq1d 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3645	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
38	27, 37	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}))
39	38	eqrdv 2760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵})
40		rfcnpre4.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
41	39, 40	eqtr4di 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = 𝐴)
42		iocmnfcld 25000	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	10, 42	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 23499	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  {crab 3414  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  -∞cmnf 11269  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  (,)cioo 13402  (,]cioc 13403  topGenctg 17528  Clsdccld 23247   Cn ccn 23455

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-topgen 17534  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-cld 23250  df-cn 23458

This theorem is used by:  stoweidlem59  46895