Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre4 40130
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre4.1 𝑡𝐹
rfcnpre4.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre4.3 𝑇 = 𝐽
rfcnpre4.4 𝐴 = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}
rfcnpre4.5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre4 (𝜑𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre4
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre4.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 rfcnpre4.3 . . . . . . . 8 𝑇 = 𝐽
3 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 rfcnpre4.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 40121 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
6 ffn 6291 . . . . . . 7 (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7 elpreima 6600 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
9 mnfxr 10434 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
10 rfcnpre4.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110rexrd 10426 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1211adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 elioc1 12529 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
149, 12, 13sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑇) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
15 simpr3 1209 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)) → (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)
165ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
1716rexrd 10426 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ*)
1817adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ*)
1916adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
20 mnflt 12268 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑠) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹𝑠))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹𝑠))
22 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)
2318, 21, 223jca 1119 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2415, 23impbida 791 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑇) → (((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2514, 24bitrd 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2625pm5.32da 574 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
278, 26bitrd 271 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
28 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑡𝑠
29 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑡𝑇
30 rfcnpre4.1 . . . . . . . 8 𝑡𝐹
3130, 28nffv 6456 . . . . . . 7 𝑡(𝐹𝑠)
32 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑡
33 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑡𝐵
3431, 32, 33nfbr 4933 . . . . . 6 𝑡(𝐹𝑠) ≤ 𝐵
35 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑠))
3635breq1d 4896 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹𝑡) ≤ 𝐵 ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
3728, 29, 34, 36elrabf 3568 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵} ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
3827, 37syl6bbr 281 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}))
3938eqrdv 2776 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵})
40 rfcnpre4.4 . . 3 𝐴 = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}
4139, 40syl6eqr 2832 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = 𝐴)
42 iocmnfcld 22980 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
4310, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
441fveq2i 6449 . . . 4 (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
4543, 44syl6eleqr 2870 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾))
46 cnclima 21480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
474, 45, 46syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
4841, 47eqeltrrd 2860 1 (𝜑𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wnfc 2919  {crab 3094   cuni 4671   class class class wbr 4886  ccnv 5354  ran crn 5356  cima 5358   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  -∞cmnf 10409  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  (,)cioo 12487  (,]cioc 12488  topGenctg 16484  Clsdccld 21228   Cn ccn 21436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-topgen 16490  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  41207
  Copyright terms: Public domain W3C validator