Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre4 41583
 Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre4.1 𝑡𝐹
rfcnpre4.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre4.3 𝑇 = 𝐽
rfcnpre4.4 𝐴 = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}
rfcnpre4.5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre4 (𝜑𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre4
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre4.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 rfcnpre4.3 . . . . . . . 8 𝑇 = 𝐽
3 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 rfcnpre4.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 41574 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
6 ffn 6503 . . . . . . 7 (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7 elpreima 6819 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
9 mnfxr 10696 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
10 rfcnpre4.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110rexrd 10689 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1211adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 elioc1 12777 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
149, 12, 13sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑇) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
15 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)) → (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)
165ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
1716rexrd 10689 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ*)
1817adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ*)
1916adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
20 mnflt 12515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑠) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹𝑠))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹𝑠))
22 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)
2318, 21, 223jca 1125 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2415, 23impbida 800 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑇) → (((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2514, 24bitrd 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2625pm5.32da 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
278, 26bitrd 282 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
28 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑡𝑠
29 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑡𝑇
30 rfcnpre4.1 . . . . . . . 8 𝑡𝐹
3130, 28nffv 6671 . . . . . . 7 𝑡(𝐹𝑠)
32 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑡
33 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑡𝐵
3431, 32, 33nfbr 5099 . . . . . 6 𝑡(𝐹𝑠) ≤ 𝐵
35 fveq2 6661 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑠))
3635breq1d 5062 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹𝑡) ≤ 𝐵 ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
3728, 29, 34, 36elrabf 3662 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵} ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
3827, 37syl6bbr 292 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}))
3938eqrdv 2822 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵})
40 rfcnpre4.4 . . 3 𝐴 = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}
4139, 40syl6eqr 2877 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = 𝐴)
42 iocmnfcld 23377 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
4310, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
441fveq2i 6664 . . . 4 (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
4543, 44eleqtrrdi 2927 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾))
46 cnclima 21876 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
474, 45, 46syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
4841, 47eqeltrrd 2917 1 (𝜑𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Ⅎwnfc 2962  {crab 3137  ∪ cuni 4824   class class class wbr 5052  ◡ccnv 5541  ran crn 5543   “ cima 5545   Fn wfn 6338  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  -∞cmnf 10671  ℝ*cxr 10672   < clt 10673   ≤ cle 10674  (,)cioo 12735  (,]cioc 12736  topGenctg 16711  Clsdccld 21624   Cn ccn 21832 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-topgen 16717  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cld 21627  df-cn 21835 This theorem is referenced by:  stoweidlem59  42627
 Copyright terms: Public domain W3C validator