Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | rfcnpre4.2 |
. . . . . . . 8
β’ πΎ = (topGenβran
(,)) |
2 | | rfcnpre4.3 |
. . . . . . . 8
β’ π = βͺ
π½ |
3 | | eqid 2728 |
. . . . . . . 8
β’ (π½ Cn πΎ) = (π½ Cn πΎ) |
4 | | rfcnpre4.6 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΉ β (π½ Cn πΎ)) |
5 | 1, 2, 3, 4 | fcnre 44436 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΉ:πβΆβ) |
6 | | ffn 6727 |
. . . . . . 7
β’ (πΉ:πβΆβ β πΉ Fn π) |
7 | | elpreima 7072 |
. . . . . . 7
β’ (πΉ Fn π β (π β (β‘πΉ β (-β(,]π΅)) β (π β π β§ (πΉβπ ) β (-β(,]π΅)))) |
8 | 5, 6, 7 | 3syl 18 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β (β‘πΉ β (-β(,]π΅)) β (π β π β§ (πΉβπ ) β (-β(,]π΅)))) |
9 | | mnfxr 11311 |
. . . . . . . . 9
β’ -β
β β* |
10 | | rfcnpre4.5 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΅ β β) |
11 | 10 | rexrd 11304 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΅ β
β*) |
12 | 11 | adantr 479 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β π) β π΅ β
β*) |
13 | | elioc1 13408 |
. . . . . . . . 9
β’
((-β β β* β§ π΅ β β*) β ((πΉβπ ) β (-β(,]π΅) β ((πΉβπ ) β β* β§ -β
< (πΉβπ ) β§ (πΉβπ ) β€ π΅))) |
14 | 9, 12, 13 | sylancr 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π) β ((πΉβπ ) β (-β(,]π΅) β ((πΉβπ ) β β* β§ -β
< (πΉβπ ) β§ (πΉβπ ) β€ π΅))) |
15 | | simpr3 1193 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π) β§ ((πΉβπ ) β β* β§ -β
< (πΉβπ ) β§ (πΉβπ ) β€ π΅)) β (πΉβπ ) β€ π΅) |
16 | 5 | ffvelcdmda 7099 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ ) β β) |
17 | 16 | rexrd 11304 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ ) β
β*) |
18 | 17 | adantr 479 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ (πΉβπ ) β€ π΅) β (πΉβπ ) β
β*) |
19 | 16 | adantr 479 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π) β§ (πΉβπ ) β€ π΅) β (πΉβπ ) β β) |
20 | | mnflt 13145 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉβπ ) β β β -β < (πΉβπ )) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ (πΉβπ ) β€ π΅) β -β < (πΉβπ )) |
22 | | simpr 483 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π) β§ (πΉβπ ) β€ π΅) β (πΉβπ ) β€ π΅) |
23 | 18, 21, 22 | 3jca 1125 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π) β§ (πΉβπ ) β€ π΅) β ((πΉβπ ) β β* β§ -β
< (πΉβπ ) β§ (πΉβπ ) β€ π΅)) |
24 | 15, 23 | impbida 799 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π) β (((πΉβπ ) β β* β§ -β
< (πΉβπ ) β§ (πΉβπ ) β€ π΅) β (πΉβπ ) β€ π΅)) |
25 | 14, 24 | bitrd 278 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π) β ((πΉβπ ) β (-β(,]π΅) β (πΉβπ ) β€ π΅)) |
26 | 25 | pm5.32da 577 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π β π β§ (πΉβπ ) β (-β(,]π΅)) β (π β π β§ (πΉβπ ) β€ π΅))) |
27 | 8, 26 | bitrd 278 |
. . . . 5
β’ (π β (π β (β‘πΉ β (-β(,]π΅)) β (π β π β§ (πΉβπ ) β€ π΅))) |
28 | | nfcv 2899 |
. . . . . 6
β’
β²π‘π |
29 | | nfcv 2899 |
. . . . . 6
β’
β²π‘π |
30 | | rfcnpre4.1 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘πΉ |
31 | 30, 28 | nffv 6912 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘(πΉβπ ) |
32 | | nfcv 2899 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘
β€ |
33 | | nfcv 2899 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘π΅ |
34 | 31, 32, 33 | nfbr 5199 |
. . . . . 6
β’
β²π‘(πΉβπ ) β€ π΅ |
35 | | fveq2 6902 |
. . . . . . 7
β’ (π‘ = π β (πΉβπ‘) = (πΉβπ )) |
36 | 35 | breq1d 5162 |
. . . . . 6
β’ (π‘ = π β ((πΉβπ‘) β€ π΅ β (πΉβπ ) β€ π΅)) |
37 | 28, 29, 34, 36 | elrabf 3680 |
. . . . 5
β’ (π β {π‘ β π β£ (πΉβπ‘) β€ π΅} β (π β π β§ (πΉβπ ) β€ π΅)) |
38 | 27, 37 | bitr4di 288 |
. . . 4
β’ (π β (π β (β‘πΉ β (-β(,]π΅)) β π β {π‘ β π β£ (πΉβπ‘) β€ π΅})) |
39 | 38 | eqrdv 2726 |
. . 3
β’ (π β (β‘πΉ β (-β(,]π΅)) = {π‘ β π β£ (πΉβπ‘) β€ π΅}) |
40 | | rfcnpre4.4 |
. . 3
β’ π΄ = {π‘ β π β£ (πΉβπ‘) β€ π΅} |
41 | 39, 40 | eqtr4di 2786 |
. 2
β’ (π β (β‘πΉ β (-β(,]π΅)) = π΄) |
42 | | iocmnfcld 24713 |
. . . . 5
β’ (π΅ β β β
(-β(,]π΅) β
(Clsdβ(topGenβran (,)))) |
43 | 10, 42 | syl 17 |
. . . 4
β’ (π β (-β(,]π΅) β
(Clsdβ(topGenβran (,)))) |
44 | 1 | fveq2i 6905 |
. . . 4
β’
(ClsdβπΎ) =
(Clsdβ(topGenβran (,))) |
45 | 43, 44 | eleqtrrdi 2840 |
. . 3
β’ (π β (-β(,]π΅) β (ClsdβπΎ)) |
46 | | cnclima 23200 |
. . 3
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ (-β(,]π΅) β (ClsdβπΎ)) β (β‘πΉ β (-β(,]π΅)) β (Clsdβπ½)) |
47 | 4, 45, 46 | syl2anc 582 |
. 2
β’ (π β (β‘πΉ β (-β(,]π΅)) β (Clsdβπ½)) |
48 | 41, 47 | eqeltrrd 2830 |
1
β’ (π β π΄ β (Clsdβπ½)) |