Theorem rfcnpre4 45578

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre4.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre4.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre4.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre4.4	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
rfcnpre4.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre4

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre4.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre4.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 45569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 7035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
9		mnfxr 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10		rfcnpre4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		elioc1 13388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
14	9, 12, 13	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
15		simpr3 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
16	5	ffvelcdmda 7061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19	16	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
20		mnflt 13122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹‘𝑠))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑠))
22		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
23	18, 21, 22	3jca 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
24	15, 23	impbida 810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
25	14, 24	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
26	25	pm5.32da 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
27	8, 26	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
28		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		rfcnpre4.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
31	30, 28	nffv 6873	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
32		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
33		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
34	31, 32, 33	nfbr 5146	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵
35		fveq2 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq1d 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3647	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
38	27, 37	bitr4di 291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}))
39	38	eqrdv 2759	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵})
40		rfcnpre4.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
41	39, 40	eqtr4di 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = 𝐴)
42		iocmnfcld 24808	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	10, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6866	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 23308	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  {crab 3413  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5644  ran crn 5646   “ cima 5648   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214  (,)cioo 13346  (,]cioc 13347  topGenctg 17449  Clsdccld 23056   Cn ccn 23264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-topgen 17455  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cld 23059  df-cn 23267

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  46597