Theorem rfcnpre4 44294

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre4.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre4.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre4.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre4.4	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
rfcnpre4.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre4

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre4.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre4.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 44285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 7053	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
9		mnfxr 11275	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10		rfcnpre4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		elioc1 13372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
14	9, 12, 13	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
15		simpr3 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
16	5	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
20		mnflt 13109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹‘𝑠))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑠))
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
23	18, 21, 22	3jca 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
24	15, 23	impbida 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
25	14, 24	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
26	25	pm5.32da 578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
27	8, 26	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
28		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		rfcnpre4.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
31	30, 28	nffv 6895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
32		nfcv 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
33		nfcv 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
34	31, 32, 33	nfbr 5188	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵
35		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq1d 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3674	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
38	27, 37	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}))
39	38	eqrdv 2724	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵})
40		rfcnpre4.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
41	39, 40	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = 𝐴)
42		iocmnfcld 24640	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	10, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 23127	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877  {crab 3426  ∪ cuni 4902   class class class wbr 5141  ^◡ccnv 5668  ran crn 5670   “ cima 5672   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  (,)cioo 13330  (,]cioc 13331  topGenctg 17392  Clsdccld 22875   Cn ccn 23083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-cn 23086

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  45347