Theorem rfcnpre4 42466

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre4.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnpre4.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre4.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnpre4.4	⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
rfcnpre4.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre4

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre4.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2		rfcnpre4.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4		rfcnpre4.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	fcnre 42457	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
6		ffn 6584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7		elpreima 6917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
9		mnfxr 10963	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10		rfcnpre4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		elioc1 13050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
14	9, 12, 13	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
15		simpr3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
16	5	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 10956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ*)
19	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
20		mnflt 12788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹‘𝑠))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑠))
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)
23	18, 21, 22	3jca 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
24	15, 23	impbida 797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹‘𝑠) ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
25	14, 24	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
26	25	pm5.32da 578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
27	8, 26	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵)))
28		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
29		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
30		rfcnpre4.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
31	30, 28	nffv 6766	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
32		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
33		nfcv 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
34	31, 32, 33	nfbr 5117	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵
35		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
36	35	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
37	28, 29, 34, 36	elrabf 3613	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) ≤ 𝐵))
38	27, 37	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}))
39	38	eqrdv 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵})
40		rfcnpre4.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝐵}
41	39, 40	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = 𝐴)
42		iocmnfcld 23838	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
43	10, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
44	1	fveq2i 6759	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
45	43, 44	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾))
46		cnclima 22327	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
47	4, 45, 46	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
48	41, 47	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  {crab 3067  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008  (,]cioc 13009  topGenctg 17065  Clsdccld 22075   Cn ccn 22283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cld 22078  df-cn 22286

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  43490