Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre4 44445
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre4.1 Ⅎ𝑑𝐹
rfcnpre4.2 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
rfcnpre4.3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
rfcnpre4.4 𝐴 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡}
rfcnpre4.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐡   𝑑,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑)   𝐹(𝑑)   𝐽(𝑑)   𝐾(𝑑)

Proof of Theorem rfcnpre4
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre4.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2 rfcnpre4.3 . . . . . . . 8 𝑇 = βˆͺ 𝐽
3 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 rfcnpre4.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 44436 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
6 ffn 6727 . . . . . . 7 (𝐹:π‘‡βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝑇)
7 elpreima 7072 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡))))
9 mnfxr 11311 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
10 rfcnpre4.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1110rexrd 11304 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1211adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
13 elioc1 13408 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)))
149, 12, 13sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)))
15 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)
165ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
1716rexrd 11304 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ*)
1817adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ*)
1916adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
20 mnflt 13145 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ))
22 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)
2318, 21, 223jca 1125 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
2415, 23impbida 799 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘ ) ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
2514, 24bitrd 278 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
2625pm5.32da 577 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (-∞(,]𝐡)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)))
278, 26bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡)))
28 nfcv 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑠
29 nfcv 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
30 rfcnpre4.1 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐹
3130, 28nffv 6912 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ )
32 nfcv 2899 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 ≀
33 nfcv 2899 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝐡
3431, 32, 33nfbr 5199 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡
35 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘ ))
3635breq1d 5162 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡 ↔ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
3728, 29, 34, 36elrabf 3680 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ ) ≀ 𝐡))
3827, 37bitr4di 288 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡}))
3938eqrdv 2726 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡})
40 rfcnpre4.4 . . 3 𝐴 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ 𝐡}
4139, 40eqtr4di 2786 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) = 𝐴)
42 iocmnfcld 24713 . . . . 5 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
4310, 42syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
441fveq2i 6905 . . . 4 (Clsdβ€˜πΎ) = (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
4543, 44eleqtrrdi 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
46 cnclima 23200 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
474, 45, 46syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,]𝐡)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4841, 47eqeltrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2879  {crab 3430  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β€œ cima 5685   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147  -∞cmnf 11286  β„*cxr 11287   < clt 11288   ≀ cle 11289  (,)cioo 13366  (,]cioc 13367  topGenctg 17428  Clsdccld 22948   Cn ccn 23156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-topgen 17434  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cld 22951  df-cn 23159
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  45494
  Copyright terms: Public domain W3C validator