Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre4 39777
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values less than or equal to a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre4.1 𝑡𝐹
rfcnpre4.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre4.3 𝑇 = 𝐽
rfcnpre4.4 𝐴 = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}
rfcnpre4.5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
rfcnpre4.6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre4 (𝜑𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑡)   𝐾(𝑡)

Proof of Theorem rfcnpre4
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre4.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 rfcnpre4.3 . . . . . . . 8 𝑇 = 𝐽
3 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
4 rfcnpre4.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
51, 2, 3, 4fcnre 39768 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
6 ffn 6223 . . . . . . 7 (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
7 elpreima 6527 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵))))
9 mnfxr 10350 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
10 rfcnpre4.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110rexrd 10343 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1211adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 elioc1 12419 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
149, 12, 13sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑇) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
15 simpr3 1252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)) → (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)
165ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
1716rexrd 10343 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ*)
1817adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ*)
1916adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
20 mnflt 12157 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑠) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹𝑠))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹𝑠))
22 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)
2318, 21, 223jca 1158 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) → ((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2415, 23impbida 835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑇) → (((𝐹𝑠) ∈ ℝ* ∧ -∞ < (𝐹𝑠) ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵) ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2514, 24bitrd 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑇) → ((𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
2625pm5.32da 574 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ∈ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
278, 26bitrd 270 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵)))
28 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑡𝑠
29 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑡𝑇
30 rfcnpre4.1 . . . . . . . 8 𝑡𝐹
3130, 28nffv 6385 . . . . . . 7 𝑡(𝐹𝑠)
32 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑡
33 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑡𝐵
3431, 32, 33nfbr 4856 . . . . . 6 𝑡(𝐹𝑠) ≤ 𝐵
35 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑠))
3635breq1d 4819 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹𝑡) ≤ 𝐵 ↔ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
3728, 29, 34, 36elrabf 3515 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵} ↔ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) ≤ 𝐵))
3827, 37syl6bbr 280 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}))
3938eqrdv 2763 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵})
40 rfcnpre4.4 . . 3 𝐴 = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ 𝐵}
4139, 40syl6eqr 2817 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = 𝐴)
42 iocmnfcld 22851 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
4310, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
441fveq2i 6378 . . . 4 (Clsd‘𝐾) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
4543, 44syl6eleqr 2855 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾))
46 cnclima 21352 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,]𝐵) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
474, 45, 46syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) ∈ (Clsd‘𝐽))
4841, 47eqeltrrd 2845 1 (𝜑𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  {crab 3059   cuni 4594   class class class wbr 4809  ccnv 5276  ran crn 5278  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  (,)cioo 12377  (,]cioc 12378  topGenctg 16366  Clsdccld 21100   Cn ccn 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-topgen 16372  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cld 21103  df-cn 21311
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  40845
  Copyright terms: Public domain W3C validator