MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioc2 13387
Description: Membership in an open-below, closed-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 30-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elioc2
StepHypRef Expression
1 rexr 11260 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 elioc1 13366 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
31, 2sylan2 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
4 mnfxr 11271 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
6 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 simpr1 1195 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 mnfle 13114 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
98ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ≤ 𝐴)
10 simpr2 1196 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
115, 6, 7, 9, 10xrlelttrd 13139 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
121ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 11268 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15 simpr3 1197 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
16 ltpnf 13100 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1716ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
187, 12, 14, 15, 17xrlelttrd 13139 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
19 xrrebnd 13147 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
207, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2111, 18, 20mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221, 10, 153jca 1129 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
2322ex 414 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
24 rexr 11260 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
25243anim1i 1153 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
2623, 25impbid1 224 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
273, 26bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cr 11109  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  (,]cioc 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioc 13329
This theorem is referenced by:  iocssre  13404  ef01bndlem  16127  sin01bnd  16128  cos01bnd  16129  cos1bnd  16130  sinltx  16132  sin01gt0  16133  cos01gt0  16134  sin02gt0  16135  sincos1sgn  16136  sincos2sgn  16137  icoopnst  24455  iocopnst  24456  ismbf3d  25171  aaliou3lem2  25856  aaliou3lem3  25857  pilem2  25964  sinhalfpilem  25973  sincosq1lem  26007  coseq0negpitopi  26013  tangtx  26015  sincos4thpi  26023  efif1olem1  26051  efif1olem2  26052  efif1o  26055  efifo  26056  ellogrn  26068  logimclad  26081  ellogdm  26147  logdmnrp  26149  dvloglem  26156  dvlog2lem  26160  asinneg  26391  atans2  26436  ressatans  26439  abvcxp  27118  ostth2  27140  xrge0iifcv  32914  xrge0iifiso  32915  xrge0iifhom  32917  sinccvglem  34657  bj-pinftyccb  36102  bj-pinftynminfty  36108  dvasin  36572  areacirclem4  36579  gtnelioc  44204  limcicciooub  44353  fourierdlem4  44827  fourierdlem26  44849  fourierdlem33  44856  fourierdlem37  44860  fourierdlem65  44887  fourierdlem79  44901  fouriersw  44947  eenglngeehlnmlem1  47423  eenglngeehlnmlem2  47424  io1ii  47553  sepfsepc  47560
  Copyright terms: Public domain W3C validator