MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtvallem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtvallem1 23234
Description: Lemma for leordtval 23237. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
Assertion
Ref Expression
leordtvallem1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem leordtvallem1
StepHypRef Expression
1 leordtval.1 . 2 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2 iocssxr 13468 . . . . . 6 (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*
3 sseqin2 4231 . . . . . 6 ((𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥(,]+∞))
42, 3mpbi 230 . . . . 5 (ℝ* ∩ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥(,]+∞)
5 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 11313 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
7 elioc1 13426 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
9 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 pnfge 13170 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
119, 10jccir 521 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞))
1211biantrurd 532 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞) ∧ 𝑥 < 𝑦)))
13 3anan32 1096 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞) ↔ ((𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞) ∧ 𝑥 < 𝑦))
1412, 13bitr4di 289 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
15 xrltnle 11326 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
168, 14, 153bitr2d 307 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1716rabbi2dva 4234 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (ℝ* ∩ (𝑥(,]+∞)) = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
184, 17eqtr3id 2789 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥(,]+∞) = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
1918mpteq2ia 5251 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
2019rneqi 5951 . 2 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
211, 20eqtri 2763 1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cin 3962  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  (class class class)co 7431  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,]cioc 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioc 13389
This theorem is referenced by:  leordtval2  23236  leordtval  23237
  Copyright terms: Public domain W3C validator