Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocinioc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocinioc2 32257
Description: Intersection between two open-below, closed-above intervals sharing the same upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
iocinioc2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iocinioc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 simpl3 1191 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 elioc1 13370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
6 simpl2 1190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 elioc1 13370 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
86, 3, 7syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
95, 8anbi12d 629 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶))))
10 simp31 1207 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1123adant3 1130 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1263adant3 1130 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 simp2 1135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴𝐵)
14 simp32 1208 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
1511, 12, 10, 13, 14xrlelttrd 13143 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
16 simp33 1209 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥𝐶)
1710, 15, 163jca 1126 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶))
18173expia 1119 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
1918pm4.71rd 561 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶))))
209, 19bitr4d 281 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
211, 20bitrid 282 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
2221, 8bitr4d 281 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2322eqrdv 2728 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  cin 3946   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  (,]cioc 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioc 13333
This theorem is referenced by:  iocinif  32259
  Copyright terms: Public domain W3C validator