Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocinioc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocinioc2 29881
Description: Intersection between two open-below, closed-above intervals sharing the same upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
iocinioc2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iocinioc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3947 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 simpl3 1231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 elioc1 12422 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
6 simpl2 1229 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 elioc1 12422 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
86, 3, 7syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
95, 8anbi12d 616 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶))))
10 simp31 1251 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1123adant3 1126 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1263adant3 1126 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 simp2 1131 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴𝐵)
14 simp32 1252 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
1511, 12, 10, 13, 14xrlelttrd 12196 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
16 simp33 1253 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥𝐶)
1710, 15, 163jca 1122 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶))
18173expia 1114 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
1918pm4.71rd 552 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶))))
209, 19bitr4d 271 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
211, 20syl5bb 272 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
2221, 8bitr4d 271 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2322eqrdv 2769 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  (,]cioc 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-ioc 12385
This theorem is referenced by:  iocinif  29883
  Copyright terms: Public domain W3C validator