Theorem iocinioc2 30261

Description: Intersection between two open-below, closed-above intervals sharing the same upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocinioc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iocinioc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4057	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2		simpl1 1171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		simpl3 1173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		elioc1 12596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
5	2, 3, 4	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
6		simpl2 1172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		elioc1 12596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
8	6, 3, 7	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
9	5, 8	anbi12d 621	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))))
10		simp31 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11	2	3adant3 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	6	3adant3 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		simp2 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
14		simp32 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
15	11, 12, 10, 13, 14	xrlelttrd 12370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
16		simp33 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
17	10, 15, 16	3jca 1108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
18	17	3expia 1101	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
19	18	pm4.71rd 555	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))))
20	9, 19	bitr4d 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
21	1, 20	syl5bb 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
22	21, 8	bitr4d 274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
23	22	eqrdv 2776	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∩ cin 3828   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  ℝ^*cxr 10473   < clt 10474   ≤ cle 10475  (,]cioc 12555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-ioc 12559

This theorem is referenced by:  iocinif  30263