Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocinioc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocinioc2 31736
Description: Intersection between two open-below, closed-above intervals sharing the same upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
iocinioc2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iocinioc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3930 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 elioc1 13315 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
6 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 elioc1 13315 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
86, 3, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
95, 8anbi12d 632 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶))))
10 simp31 1210 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1123adant3 1133 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1263adant3 1133 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴𝐵)
14 simp32 1211 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
1511, 12, 10, 13, 14xrlelttrd 13088 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
16 simp33 1212 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥𝐶)
1710, 15, 163jca 1129 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶))
18173expia 1122 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
1918pm4.71rd 564 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶))))
209, 19bitr4d 282 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
211, 20bitrid 283 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
2221, 8bitr4d 282 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2322eqrdv 2731 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3913   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  *cxr 11196   < clt 11197  cle 11198  (,]cioc 13274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-ioc 13278
This theorem is referenced by:  iocinif  31738
  Copyright terms: Public domain W3C validator