Theorem iocinioc2 31968

Description: Intersection between two open-below, closed-above intervals sharing the same upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocinioc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iocinioc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3963	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		elioc1 13362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
6		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		elioc1 13362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
8	6, 3, 7	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
9	5, 8	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))))
10		simp31 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11	2	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	6	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
14		simp32 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
15	11, 12, 10, 13, 14	xrlelttrd 13135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
16		simp33 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
17	10, 15, 16	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
18	17	3expia 1122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
19	18	pm4.71rd 564	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))))
20	9, 19	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
21	1, 20	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
22	21, 8	bitr4d 282	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
23	22	eqrdv 2731	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3946   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,]cioc 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioc 13325

This theorem is referenced by:  iocinif  31970