Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocinioc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocinioc2 32784
Description: Intersection between two open-below, closed-above intervals sharing the same upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
iocinioc2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iocinioc2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3992 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 elioc1 13449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
6 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 elioc1 13449 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
86, 3, 7syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
95, 8anbi12d 631 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶))))
10 simp31 1209 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1123adant3 1132 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1263adant3 1132 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 simp2 1137 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴𝐵)
14 simp32 1210 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
1511, 12, 10, 13, 14xrlelttrd 13222 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
16 simp33 1211 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → 𝑥𝐶)
1710, 15, 163jca 1128 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶))
18173expia 1121 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶)))
1918pm4.71rd 562 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶))))
209, 19bitr4d 282 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
211, 20bitrid 283 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥𝐶)))
2221, 8bitr4d 282 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2322eqrdv 2738 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  cin 3975   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  *cxr 11323   < clt 11324  cle 11325  (,]cioc 13408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioc 13412
This theorem is referenced by:  iocinif  32786
  Copyright terms: Public domain W3C validator