Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elin 3882 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))) |
2 | | simpl1 1193 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
3 | | simpl3 1195 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
4 | | elioc1 12977 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
5 | 2, 3, 4 | syl2anc 587 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
6 | | simpl2 1194 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
7 | | elioc1 12977 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
8 | 6, 3, 7 | syl2anc 587 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
9 | 5, 8 | anbi12d 634 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))) |
10 | | simp31 1211 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
11 | 2 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
12 | 6 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
13 | | simp2 1139 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵) |
14 | | simp32 1212 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 < 𝑥) |
15 | 11, 12, 10, 13, 14 | xrlelttrd 12750 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 < 𝑥) |
16 | | simp33 1213 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶) |
17 | 10, 15, 16 | 3jca 1130 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) |
18 | 17 | 3expia 1123 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
19 | 18 | pm4.71rd 566 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))) |
20 | 9, 19 | bitr4d 285 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
21 | 1, 20 | syl5bb 286 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
22 | 21, 8 | bitr4d 285 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))) |
23 | 22 | eqrdv 2735 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) |