Theorem iocinioc2 30502

Description: Intersection between two open-below, closed-above intervals sharing the same upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocinioc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iocinioc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4169	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
2		simpl1 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		simpl3 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		elioc1 12781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
6		simpl2 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		elioc1 12781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
8	6, 3, 7	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
9	5, 8	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))))
10		simp31 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11	2	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	6	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		simp2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
14		simp32 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
15	11, 12, 10, 13, 14	xrlelttrd 12554	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
16		simp33 1207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
17	10, 15, 16	3jca 1124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
18	17	3expia 1117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
19	18	pm4.71rd 565	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))))
20	9, 19	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
21	1, 20	syl5bb 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
22	21, 8	bitr4d 284	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)))
23	22	eqrdv 2819	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3935   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  (,]cioc 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-ioc 12744

This theorem is referenced by:  iocinif  30504