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Theorem xrge0tsmsd 31693
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmsd.g 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
xrge0tsmsd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmsd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
xrge0tsmsd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsd (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   πœ‘,𝑠   𝐺,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsmsd
Dummy variables π‘Ÿ 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmsd.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
2 iccssxr 13275 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
3 xrge0tsmsd.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
4 xrsbas 20736 . . . . . . . . . . . 12 ℝ* = (Baseβ€˜β„*𝑠)
53, 4ressbas2 17054 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
8 xrge0cmn 20762 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
93, 8eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ CMnd
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
11 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 xrge0tsmsd.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
13 elfpw 9231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
1413simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐴)
15 fssres 6703 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞) ∧ 𝑠 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
1612, 14, 15syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
17 elinel2 4154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
19 fvexd 6852 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
2016, 18, 19fdmfifsupp 9248 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) finSupp (0gβ€˜πΊ))
216, 7, 10, 11, 16, 20gsumcl 19621 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
222, 21sselid 3940 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ ℝ*)
2322fmpttd 7057 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)βŸΆβ„*)
2423frnd 6671 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
25 supxrcl 13162 . . . . . 6 (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
271, 26eqeltrd 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
28 0ss 4354 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† 𝐴
29 0fin 9048 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ Fin
30 elfpw 9231 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ βˆ… ∈ Fin))
3128, 29, 30mpbir2an 709 . . . . . . 7 βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
32 0cn 11080 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
33 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
34 reseq2 5928 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
35 res0 5937 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
3634, 35eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = βˆ…)
3736oveq2d 7365 . . . . . . . . 9 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
38 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
3938xrge0subm 20761 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
40 xrex 12840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ* ∈ V
41 difexg 5282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ* ∈ V β†’ (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V
43 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
44 ge0nemnf 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  -∞)
4543, 44jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
46 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
47 eldifsn 4745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
4845, 46, 473imtr4i 291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}))
4948ssriv 3946 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})
50 ressabs 17064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})) β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
5142, 49, 50mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
523, 51eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞))
5338xrs10 20759 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
5452, 53subm0 18560 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))) β†’ 0 = (0gβ€˜πΊ))
5539, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜πΊ)
5655gsum0 18473 . . . . . . . . 9 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = 0
5737, 56eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = 0)
5833, 57elrnmpt1s 5908 . . . . . . 7 ((βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5931, 32, 58mp2an 690 . . . . . 6 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
60 supxrub 13171 . . . . . 6 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))) β†’ 0 ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
6124, 59, 60sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
6261, 1breqtrrd 5131 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
63 elxrge0 13302 . . . 4 (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑆))
6427, 62, 63sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0[,]+∞))
65 letop 22479 . . . . . 6 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
66 ovex 7382 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
67 elrest 17243 . . . . . 6 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
6865, 66, 67mp2an 690 . . . . 5 (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
69 elinel1 4153 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
70 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
71 reex 11075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
72 elrestr 17244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
7365, 71, 72mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
7470, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
75 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
7675xrtgioo 24091 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
7774, 76eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
78 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
79 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
8078, 79elind 4152 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
81 tg2 22237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
8277, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
83 ioof 13292 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
84 ffn 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
85 ovelrn 7522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑒 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀)))
8683, 84, 85mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀))
87 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))
89 inss1 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∩ ℝ) βŠ† 𝑣
9088, 89sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† 𝑣)
919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
92 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
93 elinel2 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
95 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ πœ‘)
9695, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
97 elfpw 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
9897simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
9992, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
10096, 99fssresd 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(0[,]+∞))
10112ffund 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
102101ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ Fun 𝐹)
103102ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ Fun 𝐹)
104 c0ex 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ V
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 0 ∈ V)
106103, 94, 105resfifsupp 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp 0)
1076, 55, 91, 94, 100, 106gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1082, 107sselid 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ*)
109 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
111 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
112 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑦)
113112, 99sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
11496, 113fssresd 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆ(0[,]+∞))
115 ssfi 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
11694, 112, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
117 fvexd 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
118114, 116, 117fdmfifsupp 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1196, 7, 91, 111, 114, 118gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1202, 119sselid 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ ℝ*)
121 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
122 xrge0tsmsd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
12395, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
1243, 123, 96, 92, 112xrge0gsumle 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
125110, 120, 108, 121, 124xrltletrd 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
12695, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
127 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
12995, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
130 ovex 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ V
131 reseq2 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ 𝑦))
132131oveq2d 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
13333, 132elrnmpt1s 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ V) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
13492, 130, 133sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
135 supxrub 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
136129, 134, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
13795, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
138136, 137breqtrrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ 𝑆)
139 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀))
140 eliooord 13251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (π‘Ÿ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑀))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑀))
142141simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑆 < 𝑀)
143142adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑆 < 𝑀)
144108, 126, 128, 138, 143xrlelttrd 13007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)
145 elioo1 13232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)))
146110, 128, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)))
147108, 125, 144, 146mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀))
14890, 147sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)
149148, 107elind 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
150149anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
151150expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
152151ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
153141simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ < 𝑆)
1541ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
155153, 154breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
15624ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
157 supxrlub 13172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
158156, 109, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
159155, 158mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀)
160 ovex 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V
161160rgenw 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V
162 reseq2 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ 𝑧))
163162oveq2d 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
164163cbvmptv 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
165 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ < 𝑀 ↔ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
166164, 165rexrnmptw 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
167161, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
168159, 167sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
169152, 168reximddv 3166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
170169expr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*)) β†’ ((𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
171 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 ↔ 𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀)))
172 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
173171, 172anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))))
174173imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
175170, 174syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*)) β†’ (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
176175rexlimdvva 3203 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
17786, 176biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ ran (,) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
178177rexlimdv 3148 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
17982, 178mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
180 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
181 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑆 = +∞)
182 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
183181, 182eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ +∞ ∈ 𝑣)
184 pnfnei 22493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
185180, 183, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
186 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
187186ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
1889a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
189 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
190 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ πœ‘)
191190, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
19298ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
193191, 192fssresd 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(0[,]+∞))
19493ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
195 fvexd 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
196193, 194, 195fdmfifsupp 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1976, 7, 188, 189, 193, 196gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1982, 197sselid 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ*)
199 rexr 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
200199ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
201200ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
202 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
203 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑦)
204203, 192sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
205191, 204fssresd 6704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆ(0[,]+∞))
206194, 203, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
207205, 206, 195fdmfifsupp 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
2086, 7, 188, 202, 205, 207gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
2092, 208sselid 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ ℝ*)
210 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
211190, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2123, 211, 191, 189, 203xrge0gsumle 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
213201, 209, 198, 210, 212xrltletrd 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
214 pnfge 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)
215198, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)
216 pnfxr 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
217 elioc1 13234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)))
218201, 216, 217sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)))
219198, 213, 215, 218mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞))
220187, 219sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)
221220, 197elind 4152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
222221expr 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
223222ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
224 ltpnf 12969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ < +∞)
225224ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < +∞)
226 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 = +∞)
227225, 226breqtrrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < 𝑆)
2281ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
229227, 228breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
23024ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
231230, 200, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
232229, 231mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀)
233232, 167sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
234223, 233reximddv 3166 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
235185, 234rexlimddv 3156 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
236 ge0nemnf 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 β‰  -∞)
23727, 62, 236syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  -∞)
23827, 237jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞))
239238adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞))
240 xrnemnf 12966 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
241239, 240sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
242179, 235, 241mpjaodan 957 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
243242expr 457 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
24469, 243syl5 34 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
245 eleq2 2826 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 ↔ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
246 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
247246imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
248247rexralbidv 3212 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
249245, 248imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
250244, 249syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
251250rexlimdva 3150 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
25268, 251biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
253252ralrimiv 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
254 xrstset 20739 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜β„*𝑠)
2553, 254resstset 17180 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜πΊ))
25666, 255ax-mp 5 . . . . 5 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜πΊ)
2576, 256topnval 17250 . . . 4 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜πΊ)
258 eqid 2737 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2599a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
260 xrstps 22482 . . . . . . 7 ℝ*𝑠 ∈ TopSp
261 resstps 22460 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
262260, 66, 261mp2an 690 . . . . . 6 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
2633, 262eqeltri 2834 . . . . 5 𝐺 ∈ TopSp
264263a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2656, 257, 258, 259, 264, 122, 12eltsms 23406 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
26664, 253, 265mpbir2and 711 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
267 letsr 18416 . . . . 5 ≀ ∈ TosetRel
268 ordthaus 22657 . . . . 5 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus)
269267, 268mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus)
270 resthaus 22641 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
271269, 66, 270sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2726, 259, 264, 122, 12, 257, 271haustsms2 23410 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
273266, 272mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3443   βˆ– cdif 3905   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  π’« cpw 4558  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5628  ran crn 5631   β†Ύ cres 5632  Fun wfun 6485   Fn wfn 6486  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Fincfn 8816  supcsup 9309  β„‚cc 10982  β„cr 10983  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  -∞cmnf 11120  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123  (,)cioo 13192  (,]cioc 13193  [,]cicc 13195  Basecbs 17017   β†Ύs cress 17046  TopSetcts 17073   β†Ύt crest 17236  topGenctg 17253  0gc0g 17255   Ξ£g cgsu 17256  ordTopcordt 17315  β„*𝑠cxrs 17316   TosetRel ctsr 18388  SubMndcsubmnd 18534  CMndccmn 19491  Topctop 22164  TopSpctps 22203  Hauscha 22581   tsums ctsu 23399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-xadd 12962  df-ioo 13196  df-ioc 13197  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-hash 14158  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-rest 17238  df-topn 17239  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-topgen 17259  df-ordt 17317  df-xrs 17318  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-ps 18389  df-tsr 18390  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-submnd 18536  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-ntr 22293  df-nei 22371  df-cn 22500  df-haus 22588  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tsms 23400
This theorem is referenced by:  esumval  32418  esumel  32419  esumsnf  32436
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