Theorem xrge0tsmsd 31219

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmsd.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmsd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmsd	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsmsd

Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmsd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
2		iccssxr 13091	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrge0tsmsd.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		xrsbas 20526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5	3, 4	ressbas2 16875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8		xrge0cmn 20552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
9	3, 8	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		xrge0tsmsd.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
13		elfpw 9051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
14	13	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
15		fssres 6624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
16	12, 14, 15	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
17		elinel2 4126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
19		fvexd 6771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
20	16, 18, 19	fdmfifsupp 9068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp (0g‘𝐺))
21	6, 7, 10, 11, 16, 20	gsumcl 19431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
22	2, 21	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
23	22	fmpttd 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
24	23	frnd 6592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
25		supxrcl 12978	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27	1, 26	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
28		0ss 4327	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
29		0fin 8916	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
30		elfpw 9051	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
31	28, 29, 30	mpbir2an 707	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
32		0cn 10898	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
33		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
34		reseq2 5875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
35		res0 5884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
37	36	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
38		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
39	38	xrge0subm 20551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
40		xrex 12656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ* ∈ V
41		difexg 5246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
43		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
44		ge0nemnf 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
45	43, 44	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
46		elxrge0 13118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
47		eldifsn 4717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
48	45, 46, 47	3imtr4i 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
49	48	ssriv 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50		ressabs 16885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	42, 49, 50	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
52	3, 51	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
53	38	xrs10 20549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
54	52, 53	subm0 18369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
55	39, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
56	55	gsum0 18283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
57	37, 56	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
58	33, 57	elrnmpt1s 5855	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
59	31, 32, 58	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
60		supxrub 12987	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
61	24, 59, 60	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
62	61, 1	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
63		elxrge0 13118	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
64	27, 62, 63	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0[,]+∞))
65		letop 22265	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
66		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
67		elrest 17055	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
68	65, 66, 67	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
69		elinel1 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆 ∈ 𝑣)
70		simplrl 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
71		reex 10893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
72		elrestr 17056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
73	65, 71, 72	mp3an12 1449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
74	70, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
75		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
76	75	xrtgioo 23875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
77	74, 76	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
78		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ 𝑣)
79		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
80	78, 79	elind 4124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
81		tg2 22023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
82	77, 80, 81	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
83		ioof 13108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
84		ffn 6584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
85		ovelrn 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
86	83, 84, 85	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
87		simprrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
89		inss1 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
90	88, 89	sstrdi 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
91	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
92		simprrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
93		elinel2 4126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
95		simp-4l 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝜑)
96	95, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
97		elfpw 9051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
98	97	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
99	92, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
100	96, 99	fssresd 6625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
101	12	ffund 6588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
102	101	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → Fun 𝐹)
103	102	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → Fun 𝐹)
104		c0ex 10900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ V
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 0 ∈ V)
106	103, 94, 105	resfifsupp 9086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp 0)
107	6, 55, 91, 94, 100, 106	gsumcl 19431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
108	2, 107	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ*)
109		simprll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
111		simprll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
112		simprrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
113	112, 99	sstrd 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
114	96, 113	fssresd 6625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
115		ssfi 8918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
116	94, 112, 115	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
117		fvexd 6771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (0g‘𝐺) ∈ V)
118	114, 116, 117	fdmfifsupp 9068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
119	6, 7, 91, 111, 114, 118	gsumcl 19431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
120	2, 119	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
121		simprlr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
122		xrge0tsmsd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
123	95, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
124	3, 123, 96, 92, 112	xrge0gsumle 23902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
125	110, 120, 108, 121, 124	xrltletrd 12824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
126	95, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
127		simprlr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
129	95, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
130		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
131		reseq2 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑦))
132	131	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
133	33, 132	elrnmpt1s 5855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
134	92, 130, 133	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
135		supxrub 12987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
136	129, 134, 135	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
137	95, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
138	136, 137	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ 𝑆)
139		simprrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
140		eliooord 13067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤))
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤))
142	141	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
143	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
144	108, 126, 128, 138, 143	xrlelttrd 12823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)
145		elioo1 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)))
146	110, 128, 145	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)))
147	108, 125, 144, 146	mpbir3and 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
148	90, 147	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)
149	148, 107	elind 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
150	149	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
151	150	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
152	151	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
153	141	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
154	1	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
155	153, 154	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
156	24	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
157		supxrlub 12988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
158	156, 109, 157	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
159	155, 158	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤)
160		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V
161	160	rgenw 3075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V
162		reseq2 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑧))
163	162	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
164	163	cbvmptv 5183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
165		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝑟 < 𝑤 ↔ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
166	164, 165	rexrnmptw 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
167	161, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
168	159, 167	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
169	152, 168	reximddv 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
170	169	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
171		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
172		sseq1 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
173	171, 172	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
174	173	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
175	170, 174	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
176	175	rexlimdvva 3222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
177	86, 176	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
178	177	rexlimdv 3211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
179	82, 178	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
180		simplrl 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
181		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
182		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 ∈ 𝑣)
183	181, 182	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
184		pnfnei 22279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
185	180, 183, 184	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
186		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
187	186	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
188	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
189		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
190		simp-5l 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝜑)
191	190, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
192	98	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
193	191, 192	fssresd 6625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
194	93	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
195		fvexd 6771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
196	193, 194, 195	fdmfifsupp 9068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp (0g‘𝐺))
197	6, 7, 188, 189, 193, 196	gsumcl 19431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
198	2, 197	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ*)
199		rexr 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
200	199	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
201	200	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
202		simplrl 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
203		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
204	203, 192	sstrd 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
205	191, 204	fssresd 6625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
206	194, 203, 115	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
207	205, 206, 195	fdmfifsupp 9068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
208	6, 7, 188, 202, 205, 207	gsumcl 19431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
209	2, 208	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
210		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
211	190, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
212	3, 211, 191, 189, 203	xrge0gsumle 23902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
213	201, 209, 198, 210, 212	xrltletrd 12824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
214		pnfge 12795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)
215	198, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)
216		pnfxr 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
217		elioc1 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)))
218	201, 216, 217	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)))
219	198, 213, 215, 218	mpbir3and 1340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
220	187, 219	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)
221	220, 197	elind 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
222	221	expr 456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
223	222	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
224		ltpnf 12785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
225	224	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
226		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
227	225, 226	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
228	1	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
229	227, 228	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
230	24	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
231	230, 200, 157	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
232	229, 231	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤)
233	232, 167	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
234	223, 233	reximddv 3203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
235	185, 234	rexlimddv 3219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
236		ge0nemnf 12836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
237	27, 62, 236	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ -∞)
238	27, 237	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞))
239	238	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞))
240		xrnemnf 12782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
241	239, 240	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
242	179, 235, 241	mpjaodan 955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
243	242	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
244	69, 243	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
245		eleq2 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
246		eleq2 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
247	246	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
248	247	rexralbidv 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
249	245, 248	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
250	244, 249	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
251	250	rexlimdva 3212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
252	68, 251	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
253	252	ralrimiv 3106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
254		xrstset 20529	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
255	3, 254	resstset 16999	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
256	66, 255	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
257	6, 256	topnval 17062	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
258		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
259	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
260		xrstps 22268	. . . . . . 7 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ TopSp
261		resstps 22246	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
262	260, 66, 261	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
263	3, 262	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ TopSp
264	263	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
265	6, 257, 258, 259, 264, 122, 12	eltsms 23192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
266	64, 253, 265	mpbir2and 709	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
267		letsr 18226	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
268		ordthaus 22443	. . . . 5 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
269	267, 268	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
270		resthaus 22427	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
271	269, 66, 270	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
272	6, 259, 264, 122, 12, 257, 271	haustsms2 23196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
273	266, 272	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ran crn 5581   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  supcsup 9129  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008  (,]cioc 13009  [,]cicc 13011  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  TopSetcts 16894   ↾_t crest 17048  topGenctg 17065  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  ordTopcordt 17127  ℝ^*_𝑠cxrs 17128   TosetRel ctsr 18198  SubMndcsubmnd 18344  CMndccmn 19301  Topctop 21950  TopSpctps 21989  Hauscha 22367   tsums ctsu 23185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-ordt 17129  df-xrs 17130  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-ntr 22079  df-nei 22157  df-cn 22286  df-haus 22374  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-tsms 23186

This theorem is referenced by:  esumval  31914  esumel  31915  esumsnf  31932