Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmsd 33065
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmsd.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmsd.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmsd.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmsd.s (𝜑𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsd (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsmsd
Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmsd.s . . . . 5 (𝜑𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
2 iccssxr 13470 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrge0tsmsd.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 xrsbas 21396 . . . . . . . . . . . 12 * = (Base‘ℝ*𝑠)
53, 4ressbas2 17283 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
8 xrge0cmn 21426 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
93, 8eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ CMnd
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
11 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 xrge0tsmsd.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
13 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
1413simplbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
15 fssres 6774 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
1612, 14, 15syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
17 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
19 fvexd 6921 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
2016, 18, 19fdmfifsupp 9415 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp (0g𝐺))
216, 7, 10, 11, 16, 20gsumcl 19933 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
222, 21sselid 3981 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
2322fmpttd 7135 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
2423frnd 6744 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
25 supxrcl 13357 . . . . . 6 (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
271, 26eqeltrd 2841 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
28 0ss 4400 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ 𝐴
29 0fi 9082 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
30 elfpw 9394 . . . . . . . 8 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
3128, 29, 30mpbir2an 711 . . . . . . 7 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
32 0cn 11253 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
33 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
34 reseq2 5992 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
35 res0 6001 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
3634, 35eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
3736oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
38 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
3938xrge0subm 21425 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
40 xrex 13029 . . . . . . . . . . . . . . 15 * ∈ V
41 difexg 5329 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
43 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
44 ge0nemnf 13215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
4543, 44jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
46 elxrge0 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
47 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
4845, 46, 473imtr4i 292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
4948ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50 ressabs 17294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5142, 49, 50mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
523, 51eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
5338xrs10 21423 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
5452, 53subm0 18828 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
5539, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
5655gsum0 18697 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg ∅) = 0
5737, 56eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5833, 57elrnmpt1s 5970 . . . . . . 7 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
5931, 32, 58mp2an 692 . . . . . 6 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
60 supxrub 13366 . . . . . 6 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6124, 59, 60sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6261, 1breqtrrd 5171 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
63 elxrge0 13497 . . . 4 (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
6427, 62, 63sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0[,]+∞))
65 letop 23214 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
66 ovex 7464 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
67 elrest 17472 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
6865, 66, 67mp2an 692 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
69 elinel1 4201 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆𝑣)
70 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
71 reex 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
72 elrestr 17473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7365, 71, 72mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7470, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
75 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7675xrtgioo 24828 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7774, 76eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
78 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆𝑣)
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
8078, 79elind 4200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
81 tg2 22972 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
8277, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
83 ioof 13487 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
84 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
85 ovelrn 7609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
8683, 84, 85mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
87 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
89 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
9088, 89sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
92 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
93 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
95 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝜑)
9695, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
97 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
9897simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
9992, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦𝐴)
10096, 99fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
10112ffund 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → Fun 𝐹)
102101ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → Fun 𝐹)
103102ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → Fun 𝐹)
104 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ V
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 0 ∈ V)
106103, 94, 105resfifsupp 9437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦) finSupp 0)
1076, 55, 91, 94, 100, 106gsumcl 19933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1082, 107sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
109 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
111 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
112 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
113112, 99sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝐴)
11496, 113fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
115 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
11694, 112, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
117 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (0g𝐺) ∈ V)
118114, 116, 117fdmfifsupp 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
1196, 7, 91, 111, 114, 118gsumcl 19933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1202, 119sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
121 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
122 xrge0tsmsd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐴𝑉)
12395, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐴𝑉)
1243, 123, 96, 92, 112xrge0gsumle 24855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
125110, 120, 108, 121, 124xrltletrd 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
12695, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
127 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
12995, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
130 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
131 reseq2 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑦 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑦))
132131oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
13333, 132elrnmpt1s 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
13492, 130, 133sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
135 supxrub 13366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
136129, 134, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
13795, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
138136, 137breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ 𝑆)
139 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
140 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
142141simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
144108, 126, 128, 138, 143xrlelttrd 13202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)
145 elioo1 13427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
146110, 128, 145syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
147108, 125, 144, 146mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
14890, 147sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
149148, 107elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
150149anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
151150expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
152151ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
153141simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
1541ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
155153, 154breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
15624ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
157 supxrlub 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
158156, 109, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
159155, 158mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
160 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
161160rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
162 reseq2 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 𝑧 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑧))
163162oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
164163cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
165 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) → (𝑟 < 𝑤𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
166164, 165rexrnmptw 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
167161, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
168159, 167sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
169152, 168reximddv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
170169expr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
171 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
172 sseq1 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
173171, 172anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
174173imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
175170, 174syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
176175rexlimdvva 3213 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
17786, 176biimtrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
178177rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
17982, 178mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
180 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
181 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
182 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆𝑣)
183181, 182eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
184 pnfnei 23228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
185180, 183, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
186 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
187186ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
1889a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
189 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
190 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝜑)
191190, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
19298ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦𝐴)
193191, 192fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
19493ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
195 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (0g𝐺) ∈ V)
196193, 194, 195fdmfifsupp 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦) finSupp (0g𝐺))
1976, 7, 188, 189, 193, 196gsumcl 19933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1982, 197sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
199 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
200199ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
201200ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
202 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
203 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝑦)
204203, 192sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐴)
205191, 204fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
206194, 203, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
207205, 206, 195fdmfifsupp 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
2086, 7, 188, 202, 205, 207gsumcl 19933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
2092, 208sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
210 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
211190, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐴𝑉)
2123, 211, 191, 189, 203xrge0gsumle 24855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
213201, 209, 198, 210, 212xrltletrd 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
214 pnfge 13172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
215198, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
216 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
217 elioc1 13429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
218201, 216, 217sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
219198, 213, 215, 218mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
220187, 219sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
221220, 197elind 4200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
222221expr 456 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
223222ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
224 ltpnf 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
225224ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
226 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
227225, 226breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
2281ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
229227, 228breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
23024ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
231230, 200, 157syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
232229, 231mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
233232, 167sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
234223, 233reximddv 3171 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
235185, 234rexlimddv 3161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
236 ge0nemnf 13215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
23727, 62, 236syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ≠ -∞)
23827, 237jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
239238adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
240 xrnemnf 13159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
241239, 240sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
242179, 235, 241mpjaodan 961 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
243242expr 456 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
24469, 243syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
245 eleq2 2830 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
246 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
247246imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
248247rexralbidv 3223 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
249245, 248imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
250244, 249syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
251250rexlimdva 3155 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
25268, 251biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
253252ralrimiv 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
254 xrstset 21399 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
2553, 254resstset 17409 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
25666, 255ax-mp 5 . . . . 5 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
2576, 256topnval 17479 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
258 eqid 2737 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2599a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
260 xrstps 23217 . . . . . . 7 *𝑠 ∈ TopSp
261 resstps 23195 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
262260, 66, 261mp2an 692 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
2633, 262eqeltri 2837 . . . . 5 𝐺 ∈ TopSp
264263a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2656, 257, 258, 259, 264, 122, 12eltsms 24141 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
26664, 253, 265mpbir2and 713 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
267 letsr 18638 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
268 ordthaus 23392 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
269267, 268mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
270 resthaus 23376 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
271269, 66, 270sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2726, 259, 264, 122, 12, 257, 271haustsms2 24145 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
273266, 272mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,]cicc 13390  Basecbs 17247  s cress 17274  TopSetcts 17303  t crest 17465  topGenctg 17482  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  ordTopcordt 17544  *𝑠cxrs 17545   TosetRel ctsr 18610  SubMndcsubmnd 18795  CMndccmn 19798  Topctop 22899  TopSpctps 22938  Hauscha 23316   tsums ctsu 24134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135
This theorem is referenced by:  esumval  34047  esumel  34048  esumsnf  34065
  Copyright terms: Public domain W3C validator