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Theorem xrge0tsmsd 31681
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmsd.g 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
xrge0tsmsd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmsd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
xrge0tsmsd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsd (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   πœ‘,𝑠   𝐺,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsmsd
Dummy variables π‘Ÿ 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmsd.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
2 iccssxr 13276 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
3 xrge0tsmsd.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
4 xrsbas 20736 . . . . . . . . . . . 12 ℝ* = (Baseβ€˜β„*𝑠)
53, 4ressbas2 17055 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
8 xrge0cmn 20762 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
93, 8eqeltri 2835 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ CMnd
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
11 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 xrge0tsmsd.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
13 elfpw 9232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
1413simplbi 499 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐴)
15 fssres 6704 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞) ∧ 𝑠 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
1612, 14, 15syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠):π‘ βŸΆ(0[,]+∞))
17 elinel2 4155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
1817adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
19 fvexd 6853 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
2016, 18, 19fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) finSupp (0gβ€˜πΊ))
216, 7, 10, 11, 16, 20gsumcl 19621 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
222, 21sselid 3941 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) ∈ ℝ*)
2322fmpttd 7058 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)βŸΆβ„*)
2423frnd 6672 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
25 supxrcl 13163 . . . . . 6 (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
271, 26eqeltrd 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
28 0ss 4355 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† 𝐴
29 0fin 9049 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ Fin
30 elfpw 9232 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ βˆ… ∈ Fin))
3128, 29, 30mpbir2an 710 . . . . . . 7 βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
32 0cn 11081 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
33 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
34 reseq2 5929 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ βˆ…))
35 res0 5938 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
3634, 35eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = βˆ…)
3736oveq2d 7366 . . . . . . . . 9 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
38 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
3938xrge0subm 20761 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
40 xrex 12841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ* ∈ V
41 difexg 5283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ* ∈ V β†’ (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V
43 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
44 ge0nemnf 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  -∞)
4543, 44jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
46 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
47 eldifsn 4746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
4845, 46, 473imtr4i 292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}))
4948ssriv 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})
50 ressabs 17065 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})) β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
5142, 49, 50mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
523, 51eqtr4i 2769 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})) β†Ύs (0[,]+∞))
5338xrs10 20759 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞})))
5452, 53subm0 18561 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))) β†’ 0 = (0gβ€˜πΊ))
5539, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜πΊ)
5655gsum0 18474 . . . . . . . . 9 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = 0
5737, 56eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 (𝑠 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = 0)
5833, 57elrnmpt1s 5909 . . . . . . 7 ((βˆ… ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
5931, 32, 58mp2an 691 . . . . . 6 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))
60 supxrub 13172 . . . . . 6 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))) β†’ 0 ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
6124, 59, 60sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
6261, 1breqtrrd 5132 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
63 elxrge0 13303 . . . 4 (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑆))
6427, 62, 63sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0[,]+∞))
65 letop 22479 . . . . . 6 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
66 ovex 7383 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
67 elrest 17244 . . . . . 6 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
6865, 66, 67mp2an 691 . . . . 5 (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
69 elinel1 4154 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
70 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
71 reex 11076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
72 elrestr 17245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
7365, 71, 72mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
7470, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
75 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
7675xrtgioo 24091 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
7774, 76eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
78 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
79 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
8078, 79elind 4153 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
81 tg2 22237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
8277, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
83 ioof 13293 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
84 ffn 6664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
85 ovelrn 7523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑒 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀)))
8683, 84, 85mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀))
87 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))
8887adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))
89 inss1 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∩ ℝ) βŠ† 𝑣
9088, 89sstrdi 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† 𝑣)
919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
92 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
93 elinel2 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
95 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ πœ‘)
9695, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
97 elfpw 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
9897simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
9992, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
10096, 99fssresd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(0[,]+∞))
10112ffund 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ Fun 𝐹)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ Fun 𝐹)
104 c0ex 11083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ V
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 0 ∈ V)
106103, 94, 105resfifsupp 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp 0)
1076, 55, 91, 94, 100, 106gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1082, 107sselid 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ*)
109 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
111 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
112 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑦)
113112, 99sstrd 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
11496, 113fssresd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆ(0[,]+∞))
115 ssfi 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
11694, 112, 115syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
117 fvexd 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
118114, 116, 117fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1196, 7, 91, 111, 114, 118gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1202, 119sselid 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ ℝ*)
121 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
122 xrge0tsmsd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
12395, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
1243, 123, 96, 92, 112xrge0gsumle 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
125110, 120, 108, 121, 124xrltletrd 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
12695, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
127 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
12995, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
130 ovex 7383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ V
131 reseq2 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ 𝑦))
132131oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
13333, 132elrnmpt1s 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ V) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
13492, 130, 133sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))))
135 supxrub 13172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
136129, 134, 135syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
13795, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
138136, 137breqtrrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ 𝑆)
139 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀))
140 eliooord 13252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (π‘Ÿ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑀))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑀))
142141simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑆 < 𝑀)
143142adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ 𝑆 < 𝑀)
144108, 126, 128, 138, 143xrlelttrd 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)
145 elioo1 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)))
146110, 128, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) < 𝑀)))
147108, 125, 144, 146mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀))
14890, 147sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)
149148, 107elind 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
150149anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
151150expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
152151ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
153141simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ < 𝑆)
1541ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
155153, 154breqtrd 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
15624ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
157 supxrlub 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
158156, 109, 157syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
159155, 158mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀)
160 ovex 7383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V
161160rgenw 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V
162 reseq2 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑠) = (𝐹 β†Ύ 𝑧))
163162oveq2d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
164163cbvmptv 5217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
165 breq2 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ < 𝑀 ↔ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
166164, 165rexrnmptw 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))
167161, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
168159, 167sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
169152, 168reximddv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
170169expr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*)) β†’ ((𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
171 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 ↔ 𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀)))
172 sseq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)))
173171, 172anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ))))
174173imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (π‘Ÿ(,)𝑀) ∧ (π‘Ÿ(,)𝑀) βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
175170, 174syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*)) β†’ (𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
176175rexlimdvva 3204 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* βˆƒπ‘€ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ÿ(,)𝑀) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
17786, 176biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ ran (,) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
178177rexlimdv 3149 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† (𝑣 ∩ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
17982, 178mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
180 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
181 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑆 = +∞)
182 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ 𝑆 ∈ 𝑣)
183181, 182eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ +∞ ∈ 𝑣)
184 pnfnei 22493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
185180, 183, 184syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
186 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
187186ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)
1889a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
189 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
190 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ πœ‘)
191190, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐹:𝐴⟢(0[,]+∞))
19298ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
193191, 192fssresd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(0[,]+∞))
19493ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
195 fvexd 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
196193, 194, 195fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1976, 7, 188, 189, 193, 196gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1982, 197sselid 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ*)
199 rexr 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
200199ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
201200ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
202 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
203 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑦)
204203, 192sstrd 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐴)
205191, 204fssresd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧):π‘§βŸΆ(0[,]+∞))
206194, 203, 115syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
207205, 206, 195fdmfifsupp 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑧) finSupp (0gβ€˜πΊ))
2086, 7, 188, 202, 205, 207gsumcl 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
2092, 208sselid 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ ℝ*)
210 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
211190, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2123, 211, 191, 189, 203xrge0gsumle 24118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ≀ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
213201, 209, 198, 210, 212xrltletrd 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)))
214 pnfge 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)
215198, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)
216 pnfxr 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
217 elioc1 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)))
218201, 216, 217sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞) ↔ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ≀ +∞)))
219198, 213, 215, 218mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (π‘Ÿ(,]+∞))
220187, 219sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑣)
221220, 197elind 4153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
222221expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
223222ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
224 ltpnf 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ < +∞)
225224ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < +∞)
226 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 = +∞)
227225, 226breqtrrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < 𝑆)
2281ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
229227, 228breqtrd 5130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ))
23024ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))) βŠ† ℝ*)
231230, 200, 157syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ (π‘Ÿ < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀))
232229, 231mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑠)))π‘Ÿ < 𝑀)
233232, 167sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)π‘Ÿ < (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))
234223, 233reximddv 3167 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ(,]+∞) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
235185, 234rexlimddv 3157 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
236 ge0nemnf 13021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑆) β†’ 𝑆 β‰  -∞)
23727, 62, 236syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  -∞)
23827, 237jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞))
239238adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞))
240 xrnemnf 12967 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 β‰  -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
241239, 240sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
242179, 235, 241mpjaodan 958 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
243242expr 458 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑆 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
24469, 243syl5 34 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
245 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 ↔ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
246 eleq2 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
247246imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
248247rexralbidv 3213 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
249245, 248imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
250244, 249syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
251250rexlimdva 3151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )𝑒 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
25268, 251biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
253252ralrimiv 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
254 xrstset 20739 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜β„*𝑠)
2553, 254resstset 17181 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜πΊ))
25666, 255ax-mp 5 . . . . 5 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopSetβ€˜πΊ)
2576, 256topnval 17251 . . . 4 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜πΊ)
258 eqid 2738 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2599a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
260 xrstps 22482 . . . . . . 7 ℝ*𝑠 ∈ TopSp
261 resstps 22460 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
262260, 66, 261mp2an 691 . . . . . 6 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
2633, 262eqeltri 2835 . . . . 5 𝐺 ∈ TopSp
264263a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
2656, 257, 258, 259, 264, 122, 12eltsms 23406 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
26664, 253, 265mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
267 letsr 18417 . . . . 5 ≀ ∈ TosetRel
268 ordthaus 22657 . . . . 5 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus)
269267, 268mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus)
270 resthaus 22641 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
271269, 66, 270sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2726, 259, 264, 122, 12, 257, 271haustsms2 23410 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
273266, 272mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆ€wral 3063  βˆƒwrex 3072  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3906   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  π’« cpw 4559  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187   Γ— cxp 5629  ran crn 5632   β†Ύ cres 5633  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Fincfn 8817  supcsup 9310  β„‚cc 10983  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  -∞cmnf 11121  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  (,)cioo 13193  (,]cioc 13194  [,]cicc 13196  Basecbs 17018   β†Ύs cress 17047  TopSetcts 17074   β†Ύt crest 17237  topGenctg 17254  0gc0g 17256   Ξ£g cgsu 17257  ordTopcordt 17316  β„*𝑠cxrs 17317   TosetRel ctsr 18389  SubMndcsubmnd 18535  CMndccmn 19491  Topctop 22164  TopSpctps 22203  Hauscha 22581   tsums ctsu 23399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-xadd 12963  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-hash 14159  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-rest 17239  df-topn 17240  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-topgen 17260  df-ordt 17318  df-xrs 17319  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-ps 18390  df-tsr 18391  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-ntr 22293  df-nei 22371  df-cn 22500  df-haus 22588  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tsms 23400
This theorem is referenced by:  esumval  32406  esumel  32407  esumsnf  32424
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