Theorem iocinico 39811

Description: The intersection of two sets that meet at a point is that point. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iocinico	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝐵})

Proof of Theorem iocinico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-in 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))}
2		elioc1 12774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
3	2	3adant3 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
4		3simpb 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
5	3, 4	syl6bi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
6		elico1 12775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶)))
7	6	3adant1 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶)))
8		3simpa 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
9	7, 8	syl6bi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
10	5, 9	anim12d 610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))))
11		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
13		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
14	11, 12, 13	3jca 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
15	10, 14	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
16		elicc1 12776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
17	16	anidms 569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
18	17	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
19	15, 18	sylibrd 261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)))
20	19	ss2abdv 4044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)})
21	1, 20	eqsstrid 4015	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)})
22		abid2 2957	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)} = (𝐵[,]𝐵)
23	21, 22	sseqtrdi 4017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐵))
24	23	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐵))
25		iccid 12777	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
26	25	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
27	26	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
28	24, 27	sseqtrd 4007	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ {𝐵})
29		simpl2 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
31	29	xrleidd 12539	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐵)
32		elioc1 12774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
33	32	3adant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
34	33	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
35	29, 30, 31, 34	mpbir3and 1338	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
36		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
37		elico1 12775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
38	37	3adant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
39	38	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
40	29, 31, 36, 39	mpbir3and 1338	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
41	35, 40	elind 4171	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)))
42	41	snssd 4736	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → {𝐵} ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)))
43	28, 42	eqssd 3984	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  {csn 4561   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,]cioc 12733  [,)cico 12734  [,]cicc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739

This theorem is referenced by: (None)