Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocinico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocinico 38291
Description: The intersection of two sets that meet at a point is that point. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
iocinico (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝐵})

Proof of Theorem iocinico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-in 3770 . . . . . 6 ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))}
2 elioc1 12429 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
323adant3 1155 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
4 3simpb 1173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵))
53, 4syl6bi 244 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵)))
6 elico1 12430 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
763adant1 1153 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
8 3simpa 1171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥))
97, 8syl6bi 244 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)))
105, 9anim12d 598 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥))))
11 simpll 774 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12 simprr 780 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)) → 𝐵𝑥)
13 simplr 776 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)) → 𝑥𝐵)
1411, 12, 133jca 1151 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵))
1510, 14syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵)))
16 elicc1 12431 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵)))
1716anidms 558 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵)))
18173ad2ant2 1157 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵)))
1915, 18sylibrd 250 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)))
2019ss2abdv 3866 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))} ⊆ {𝑥𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)})
211, 20syl5eqss 3840 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ {𝑥𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)})
22 abid2 2925 . . . . 5 {𝑥𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)} = (𝐵[,]𝐵)
2321, 22syl6sseq 3842 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐵))
2423adantr 468 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐵))
25 iccid 12432 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
26253ad2ant2 1157 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
2726adantr 468 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
2824, 27sseqtrd 3832 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ {𝐵})
29 simpl2 1237 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30 simprl 778 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
3129xrleidd 12195 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵𝐵)
32 elioc1 12429 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)))
33323adant3 1155 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)))
3433adantr 468 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)))
3529, 30, 31, 34mpbir3and 1435 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
36 simprr 780 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
37 elico1 12430 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵𝐵 < 𝐶)))
38373adant1 1153 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵𝐵 < 𝐶)))
3938adantr 468 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵𝐵 < 𝐶)))
4029, 31, 36, 39mpbir3and 1435 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
4135, 40elind 3991 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)))
4241snssd 4524 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → {𝐵} ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)))
4328, 42eqssd 3809 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2155  {cab 2788  cin 3762  wss 3763  {csn 4364   class class class wbr 4837  (class class class)co 6868  *cxr 10352   < clt 10353  cle 10354  (,]cioc 12388  [,)cico 12389  [,]cicc 12390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-po 5226  df-so 5227  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-ioc 12392  df-ico 12393  df-icc 12394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator