Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eenglngeehlnmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eenglngeehlnmlem1 47733
Description: Lemma 1 for eenglngeehlnm 47735. (Contributed by AV, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
eenglngeehlnmlem1 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
Distinct variable group:   𝑖,𝑁,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑝,𝑑,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem eenglngeehlnmlem1
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑑 β†’ (1 βˆ’ π‘˜) = (1 βˆ’ 𝑑))
21oveq1d 7429 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑑 β†’ ((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
3 oveq1 7421 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑑 β†’ (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–)) = (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))
42, 3oveq12d 7432 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑑 β†’ (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
54eqeq2d 2738 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
65ralbidv 3172 . . . 4 (π‘˜ = 𝑑 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
76cbvrexvw 3230 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
8 unitssre 13500 . . . 4 (0[,]1) βŠ† ℝ
9 ssrexv 4047 . . . 4 ((0[,]1) βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
108, 9mp1i 13 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
117, 10biimtrid 241 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
12 0re 11238 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
13 1xr 11295 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
14 elico2 13412 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑙 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1)))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1))
16 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1) β†’ 𝑙 ∈ ℝ)
17 1red 11237 . . . . . . . . 9 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
1817, 16resubcld 11664 . . . . . . . 8 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1) β†’ (1 βˆ’ 𝑙) ∈ ℝ)
19 1cnd 11231 . . . . . . . . 9 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1) β†’ 1 ∈ β„‚)
2016recnd 11264 . . . . . . . . 9 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1) β†’ 𝑙 ∈ β„‚)
21 ltne 11333 . . . . . . . . . 10 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 𝑙 < 1) β†’ 1 β‰  𝑙)
22213adant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1) β†’ 1 β‰  𝑙)
2319, 20, 22subne0d 11602 . . . . . . . 8 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1) β†’ (1 βˆ’ 𝑙) β‰  0)
2416, 18, 23redivcld 12064 . . . . . . 7 ((𝑙 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑙 ∧ 𝑙 < 1) β†’ (𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) ∈ ℝ)
2515, 24sylbi 216 . . . . . 6 (𝑙 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) ∈ ℝ)
2625ad2antlr 726 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))) β†’ (𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) ∈ ℝ)
2726renegcld 11663 . . . 4 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))) β†’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) ∈ ℝ)
28 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑑 = -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))))
2928oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑑 = -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
30 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (𝑑 = -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) β†’ (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)) = (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))
3129, 30oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑑 = -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
3231eqeq2d 2738 . . . . . 6 (𝑑 = -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3332ralbidv 3172 . . . . 5 (𝑑 = -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3433adantl 481 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))) ∧ 𝑑 = -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
35 eqcom 2734 . . . . . . . 8 ((π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (π‘₯β€˜π‘–))
36 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„)
37363ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„)
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) β†’ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„)
3938ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘–) ∈ ℝ)
4039recnd 11264 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘–) ∈ β„‚)
4115, 16sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑙 ∈ ℝ)
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑙 ∈ ℝ)
4342recnd 11264 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑙 ∈ β„‚)
44 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
45 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„)
47463ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„)
4948ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ℝ)
5049recnd 11264 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ β„‚)
5143, 50mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
52 1cnd 11231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5352, 43subcld 11593 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ 𝑙) ∈ β„‚)
54 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝑝:(1...𝑁)βŸΆβ„)
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑝:(1...𝑁)βŸΆβ„)
5655ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ ℝ)
5756recnd 11264 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
5853, 57mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
5940, 51, 58subadd2d 11612 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) ↔ (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (π‘₯β€˜π‘–)))
6035, 59bitr4id 290 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ ((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–))))
61 eqcom 2734 . . . . . . . . 9 (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) ↔ ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) = ((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
6240, 51subcld 11593 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∈ β„‚)
6315, 22sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ (0[,)1) β†’ 1 β‰  𝑙)
6463ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 β‰  𝑙)
6552, 43, 64subne0d 11602 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ 𝑙) β‰  0)
6662, 53, 57, 65divmuld 12034 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (π‘β€˜π‘–) ↔ ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) = ((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
6761, 66bitr4id 290 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) ↔ (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (π‘β€˜π‘–)))
68 eqcom 2734 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (π‘β€˜π‘–) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)))
6940, 51, 53, 65divsubdird 12051 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (((π‘₯β€˜π‘–) / (1 βˆ’ 𝑙)) βˆ’ ((𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)) / (1 βˆ’ 𝑙))))
7040, 53, 65divrec2d 12016 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–) / (1 βˆ’ 𝑙)) = ((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
7143, 50, 53, 65div23d 12049 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)) / (1 βˆ’ 𝑙)) = ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))
7270, 71oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘₯β€˜π‘–) / (1 βˆ’ 𝑙)) βˆ’ ((𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)) / (1 βˆ’ 𝑙))) = (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) βˆ’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
7369, 72eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) βˆ’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
7473eqeq2d 2738 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) βˆ’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
7568, 74bitrid 283 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (π‘β€˜π‘–) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) βˆ’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
7643, 53, 65divcld 12012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) ∈ β„‚)
7776, 50mulneg1d 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) = -((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))
7877eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ -((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) = (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))
7978oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + -((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
8053, 65reccld 12005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / (1 βˆ’ 𝑙)) ∈ β„‚)
8180, 40mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
8276, 50mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
8381, 82negsubd 11599 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + -((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) βˆ’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
8452, 76subnegd 11600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) = (1 + (𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))))
85 muldivdir 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑙 ∈ β„‚ ∧ ((1 βˆ’ 𝑙) ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ 𝑙) β‰  0)) β†’ ((((1 βˆ’ 𝑙) Β· 1) + 𝑙) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (1 + (𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))))
8652, 43, 53, 65, 85syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1 βˆ’ 𝑙) Β· 1) + 𝑙) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (1 + (𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))))
8753mulridd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑙) Β· 1) = (1 βˆ’ 𝑙))
8887oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑙) Β· 1) + 𝑙) = ((1 βˆ’ 𝑙) + 𝑙))
8952, 43npcand 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑙) + 𝑙) = 1)
9088, 89eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑙) Β· 1) + 𝑙) = 1)
9190oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1 βˆ’ 𝑙) Β· 1) + 𝑙) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (1 / (1 βˆ’ 𝑙)))
9284, 86, 913eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) = (1 / (1 βˆ’ 𝑙)))
9392eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / (1 βˆ’ 𝑙)) = (1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))))
9493oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
9594oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
9679, 83, 953eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) βˆ’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
9796eqeq2d 2738 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) βˆ’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
9897biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((1 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) βˆ’ ((𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
9975, 98sylbid 239 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) / (1 βˆ’ 𝑙)) = (π‘β€˜π‘–) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
10067, 99sylbid 239 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
10160, 100sylbid 239 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
102101ralimdva 3162 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
103102imp 406 . . . 4 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ -(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙))) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (-(𝑙 / (1 βˆ’ 𝑙)) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
10427, 34, 103rspcedvd 3609 . . 3 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑙 ∈ (0[,)1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
105104rexlimdva2 3152 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
106 0xr 11283 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
107 1re 11236 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
108 elioc2 13411 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ (0(,]1) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1)))
109106, 107, 108mp2an 691 . . . . . 6 (π‘š ∈ (0(,]1) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1))
110 simp1 1134 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1) β†’ π‘š ∈ ℝ)
111 gt0ne0 11701 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š) β†’ π‘š β‰  0)
1121113adant3 1130 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1) β†’ π‘š β‰  0)
113110, 112rereccld 12063 . . . . . 6 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1) β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
114109, 113sylbi 216 . . . . 5 (π‘š ∈ (0(,]1) β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
115114ad2antlr 726 . . . 4 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))) β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
116 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (1 / π‘š) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ (1 / π‘š)))
117116oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑑 = (1 / π‘š) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
118 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (𝑑 = (1 / π‘š) β†’ (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)) = ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))
119117, 118oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑑 = (1 / π‘š) β†’ (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
120119eqeq2d 2738 . . . . . 6 (𝑑 = (1 / π‘š) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
121120ralbidv 3172 . . . . 5 (𝑑 = (1 / π‘š) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
122121adantl 481 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))) ∧ 𝑑 = (1 / π‘š)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
123 eqcom 2734 . . . . . . . 8 ((π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) = (π‘¦β€˜π‘–))
12447ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„)
125124ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ℝ)
126125recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ β„‚)
127 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ β„‚)
128109, 110sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (0(,]1) β†’ π‘š ∈ ℝ)
129128recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (0(,]1) β†’ π‘š ∈ β„‚)
130129ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
131127, 130subcld 11593 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ π‘š) ∈ β„‚)
13237ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) β†’ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„)
133132ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘–) ∈ ℝ)
134133recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘–) ∈ β„‚)
135131, 134mulcld 11256 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
136126, 135negsubd 11599 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) + -((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = ((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ ((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–))))
137131, 134mulneg1d 11689 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (-(1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = -((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
138127, 130negsubdi2d 11609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ -(1 βˆ’ π‘š) = (π‘š βˆ’ 1))
139138oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (-(1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
140137, 139eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ -((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
141140oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) + -((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = ((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))))
142136, 141eqtr3d 2769 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ ((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = ((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))))
143142eqeq1d 2729 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ ((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)) ↔ ((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))
14454ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑝:(1...𝑁)βŸΆβ„)
145144ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ ℝ)
146145recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
147130, 146mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
148126, 135, 147subaddd 11611 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ ((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)) ↔ (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) = (π‘¦β€˜π‘–)))
149 eqcom 2734 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) / π‘š) = (π‘β€˜π‘–) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) / π‘š))
150149a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) / π‘š) = (π‘β€˜π‘–) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) / π‘š)))
151130, 127subcld 11593 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘š βˆ’ 1) ∈ β„‚)
152151, 134mulcld 11256 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
153126, 152addcld 11255 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) ∈ β„‚)
154 elioc1 13390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘š ∈ (0(,]1) ↔ (π‘š ∈ ℝ* ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1)))
155106, 13, 154mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (0(,]1) ↔ (π‘š ∈ ℝ* ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1))
15612a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ ℝ* β†’ 0 ∈ ℝ)
157156anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 0 < π‘š) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
1581573adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
159 ltne 11333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š) β†’ π‘š β‰  0)
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ ℝ* ∧ 0 < π‘š ∧ π‘š ≀ 1) β†’ π‘š β‰  0)
161155, 160sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (0(,]1) β†’ π‘š β‰  0)
162161ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘š β‰  0)
163153, 146, 130, 162divmul2d 12045 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) / π‘š) = (π‘β€˜π‘–) ↔ ((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))
164126, 152, 130, 162divdird 12050 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) / π‘š) = (((π‘¦β€˜π‘–) / π‘š) + (((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) / π‘š)))
165126, 130, 162divrec2d 12016 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) / π‘š) = ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))
166151, 134, 130, 162div23d 12049 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) / π‘š) = (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
167130, 127, 130, 162divsubdird 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) = ((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)))
168167oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘š βˆ’ 1) / π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
169166, 168eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) / π‘š) = (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
170165, 169oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘¦β€˜π‘–) / π‘š) + (((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) / π‘š)) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–))))
171164, 170eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) / π‘š) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–))))
172171eqeq2d 2738 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) / π‘š) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))))
173150, 163, 1723bitr3d 309 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘¦β€˜π‘–) + ((π‘š βˆ’ 1) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))))
174143, 148, 1733bitr3d 309 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) = (π‘¦β€˜π‘–) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))))
175123, 174bitrid 283 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))))
176130, 162reccld 12005 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 / π‘š) ∈ β„‚)
177176, 126mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
178127, 176subcld 11593 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 βˆ’ (1 / π‘š)) ∈ β„‚)
179178, 134mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
180130, 162dividd 12010 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘š / π‘š) = 1)
181180oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) = (1 βˆ’ (1 / π‘š)))
182181oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
183182oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + ((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–))))
184177, 179, 183comraddd 11450 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
185184eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
186185biimpd 228 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)) + (((π‘š / π‘š) βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–))) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
187175, 186sylbid 239 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
188187ralimdva 3162 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
189188imp 406 . . . 4 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ (1 / π‘š)) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + ((1 / π‘š) Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
190115, 122, 189rspcedvd 3609 . . 3 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘š ∈ (0(,]1)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
191190rexlimdva2 3152 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
19211, 105, 1913jaod 1426 1 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  β„•cn 12234  (,]cioc 13349  [,)cico 13350  [,]cicc 13351  ...cfz 13508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355
This theorem is referenced by:  eenglngeehlnm  47735
  Copyright terms: Public domain W3C validator