MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnei Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mnfnei 22725
Description: A neighborhood of -∞ contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei ((𝐴 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑒 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
2 eqid 2733 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
3 eqid 2733 . . . 4 ran (,) = ran (,)
41, 2, 3leordtval 22717 . . 3 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) βˆͺ ran (,)))
54eleq2i 2826 . 2 (𝐴 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ↔ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) βˆͺ ran (,))))
6 tg2 22468 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) βˆͺ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) βˆͺ ran (,))(-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴))
7 elun 4149 . . . . 5 (𝑒 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) βˆͺ ran (,)) ↔ (𝑒 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑒 ∈ ran (,)))
8 elun 4149 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ↔ (𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
109elrnmpt 5956 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ V β†’ (𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (𝑦(,]+∞)))
1110elv 3481 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (𝑦(,]+∞))
12 nltmnf 13109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ Β¬ 𝑦 < -∞)
13 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
14 elioc1 13366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≀ +∞)))
1513, 14mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≀ +∞)))
16 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≀ +∞) β†’ 𝑦 < -∞)
1715, 16syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) β†’ 𝑦 < -∞))
1812, 17mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ Β¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞))
19 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (𝑦(,]+∞) β†’ (-∞ ∈ 𝑒 ↔ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2019notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝑦(,]+∞) β†’ (Β¬ -∞ ∈ 𝑒 ↔ Β¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2118, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (𝑒 = (𝑦(,]+∞) β†’ Β¬ -∞ ∈ 𝑒))
2221rexlimiv 3149 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (𝑦(,]+∞) β†’ Β¬ -∞ ∈ 𝑒)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (𝑦(,]+∞) β†’ (-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
2423adantrd 493 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (𝑦(,]+∞) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
2511, 24sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
2726elrnmpt 5956 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ V β†’ (𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (-∞[,)𝑦)))
2827elv 3481 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (-∞[,)𝑦))
29 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
31 0xr 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
32 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
33 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3431, 32, 33sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3513a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
36 mnflt0 13105 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
37 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ -∞ ∈ 𝑒)
38 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))
3937, 38eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ -∞ ∈ (-∞[,)𝑦))
40 elico1 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4129, 32, 40sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4239, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ -∞ ∧ -∞ < 𝑦))
4342simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ -∞ < 𝑦)
44 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) β†’ (-∞ < 0 ↔ -∞ < if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦)))
45 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) β†’ (-∞ < 𝑦 ↔ -∞ < if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦)))
4644, 45ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 0 ∧ -∞ < 𝑦) β†’ -∞ < if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦))
4736, 43, 46sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ -∞ < if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦))
4831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ 0 ∈ ℝ*)
49 xrmin1 13156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ≀ 0)
5031, 32, 49sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ≀ 0)
51 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
52 ltpnf 13100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ β†’ 0 < +∞)
5351, 52mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ 0 < +∞)
5434, 48, 35, 50, 53xrlelttrd 13139 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)
55 xrre2 13149 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
5630, 34, 35, 47, 54, 55syl32anc 1379 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
57 xrmin2 13157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ≀ 𝑦)
5831, 32, 57sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ≀ 𝑦)
59 df-ico 13330 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž ≀ 𝑐 ∧ 𝑐 < 𝑏)})
60 xrltletr 13136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ < if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ≀ 𝑦) β†’ π‘₯ < 𝑦))
6159, 59, 60ixxss2 13343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ≀ 𝑦) β†’ (-∞[,)if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦)) βŠ† (-∞[,)𝑦))
6232, 58, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ (-∞[,)if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦)) βŠ† (-∞[,)𝑦))
63 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
6438, 63eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ (-∞[,)𝑦) βŠ† 𝐴)
6562, 64sstrd 3993 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ (-∞[,)if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦)) βŠ† 𝐴)
66 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) β†’ (-∞[,)π‘₯) = (-∞[,)if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦)))
6766sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) β†’ ((-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴 ↔ (-∞[,)if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦)) βŠ† 𝐴))
6867rspcev 3613 . . . . . . . . . . . 12 ((if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (-∞[,)if(0 ≀ 𝑦, 0, 𝑦)) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴)
6956, 65, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 = (-∞[,)𝑦))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴)
7069rexlimdvaa 3157 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (-∞[,)𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
7170com12 32 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ* 𝑒 = (-∞[,)𝑦) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
7228, 71sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
7325, 72jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑒 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
748, 73sylbi 216 . . . . . 6 (𝑒 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
75 mnfnre 11257 . . . . . . . . . 10 -∞ βˆ‰ ℝ
7675neli 3049 . . . . . . . . 9 Β¬ -∞ ∈ ℝ
77 elssuni 4942 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ran (,) β†’ 𝑒 βŠ† βˆͺ ran (,))
78 unirnioo 13426 . . . . . . . . . . 11 ℝ = βˆͺ ran (,)
7977, 78sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ran (,) β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
8079sseld 3982 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ran (,) β†’ (-∞ ∈ 𝑒 β†’ -∞ ∈ ℝ))
8176, 80mtoi 198 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ran (,) β†’ Β¬ -∞ ∈ 𝑒)
8281pm2.21d 121 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ ran (,) β†’ (-∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
8382adantrd 493 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ran (,) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
8474, 83jaoi 856 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑒 ∈ ran (,)) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
857, 84sylbi 216 . . . 4 (𝑒 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) βˆͺ ran (,)) β†’ ((-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴))
8685rexlimiv 3149 . . 3 (βˆƒπ‘’ ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) βˆͺ ran (,))(-∞ ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴)
876, 86syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) βˆͺ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) βˆͺ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴)
885, 87sylanb 582 1 ((𝐴 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (-∞[,)π‘₯) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  (,]cioc 13325  [,)cico 13326  topGenctg 17383  ordTopcordt 17445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-top 22396  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  xlimmnfvlem2  44549
  Copyright terms: Public domain W3C validator