MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfnei 23229
Description: A neighborhood of -∞ contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei ((𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
2 eqid 2737 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
3 eqid 2737 . . . 4 ran (,) = ran (,)
41, 2, 3leordtval 23221 . . 3 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)))
54eleq2i 2833 . 2 (𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ 𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))))
6 tg2 22972 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))(-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴))
7 elun 4153 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑢 ∈ ran (,)))
8 elun 4153 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ↔ (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))))
9 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
109elrnmpt 5969 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞)))
1110elv 3485 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞))
12 nltmnf 13171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
13 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
14 elioc1 13429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
1513, 14mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
16 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞) → 𝑦 < -∞)
1715, 16biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) → 𝑦 < -∞))
1812, 17mtod 198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞))
19 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (-∞ ∈ 𝑢 ↔ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2019notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (¬ -∞ ∈ 𝑢 ↔ ¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2118, 20syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ¬ -∞ ∈ 𝑢))
2221rexlimiv 3148 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ¬ -∞ ∈ 𝑢)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
2423adantrd 491 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
2511, 24sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
26 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
2726elrnmpt 5969 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦)))
2827elv 3485 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦))
29 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ ℝ*)
31 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
32 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
33 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3431, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3513a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
36 mnflt0 13167 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
37 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ 𝑢)
38 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑢 = (-∞[,)𝑦))
3937, 38eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ (-∞[,)𝑦))
40 elico1 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4129, 32, 40sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4239, 41mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦))
4342simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ < 𝑦)
44 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞ < 0 ↔ -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
45 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞ < 𝑦 ↔ -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
4644, 45ifboth 4565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 0 ∧ -∞ < 𝑦) → -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦))
4736, 43, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦))
4831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 0 ∈ ℝ*)
49 xrmin1 13219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 0)
5031, 32, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 0)
51 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
52 ltpnf 13162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ → 0 < +∞)
5351, 52mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 0 < +∞)
5434, 48, 35, 50, 53xrlelttrd 13202 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)
55 xrre2 13212 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
5630, 34, 35, 47, 54, 55syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
57 xrmin2 13220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦)
5831, 32, 57sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦)
59 df-ico 13393 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
60 xrltletr 13199 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦) → 𝑥 < 𝑦))
6159, 59, 60ixxss2 13406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ (-∞[,)𝑦))
6232, 58, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ (-∞[,)𝑦))
63 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑢𝐴)
6438, 63eqsstrrd 4019 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)𝑦) ⊆ 𝐴)
6562, 64sstrd 3994 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴)
66 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
6766sseq1d 4015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → ((-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴))
6867rspcev 3622 . . . . . . . . . . . 12 ((if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
6956, 65, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
7069rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7170com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7228, 71sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7325, 72jaoi 858 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
748, 73sylbi 217 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
75 mnfnre 11304 . . . . . . . . . 10 -∞ ∉ ℝ
7675neli 3048 . . . . . . . . 9 ¬ -∞ ∈ ℝ
77 elssuni 4937 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ran (,) → 𝑢 ran (,))
78 unirnioo 13489 . . . . . . . . . . 11 ℝ = ran (,)
7977, 78sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ran (,) → 𝑢 ⊆ ℝ)
8079sseld 3982 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (,) → (-∞ ∈ 𝑢 → -∞ ∈ ℝ))
8176, 80mtoi 199 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (,) → ¬ -∞ ∈ 𝑢)
8281pm2.21d 121 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (,) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8382adantrd 491 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ran (,) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8474, 83jaoi 858 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑢 ∈ ran (,)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
857, 84sylbi 217 . . . 4 (𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8685rexlimiv 3148 . . 3 (∃𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))(-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
876, 86syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
885, 87sylanb 581 1 ((𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  ifcif 4525   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,)cico 13389  topGenctg 17482  ordTopcordt 17544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  xlimmnfvlem2  45848
  Copyright terms: Public domain W3C validator