MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfnei 23169
Description: A neighborhood of -∞ contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei ((𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
2 eqid 2725 . . . 4 ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
3 eqid 2725 . . . 4 ran (,) = ran (,)
41, 2, 3leordtval 23161 . . 3 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)))
54eleq2i 2817 . 2 (𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ 𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))))
6 tg2 22912 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))(-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴))
7 elun 4145 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑢 ∈ ran (,)))
8 elun 4145 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ↔ (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))))
9 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞))
109elrnmpt 5958 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞)))
1110elv 3467 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞))
12 nltmnf 13144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
13 pnfxr 11300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
14 elioc1 13401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
1513, 14mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
16 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 < -∞ ∧ -∞ ≤ +∞) → 𝑦 < -∞)
1715, 16biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ ∈ (𝑦(,]+∞) → 𝑦 < -∞))
1812, 17mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞))
19 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (-∞ ∈ 𝑢 ↔ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2019notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (¬ -∞ ∈ 𝑢 ↔ ¬ -∞ ∈ (𝑦(,]+∞)))
2118, 20syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ¬ -∞ ∈ 𝑢))
2221rexlimiv 3137 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ¬ -∞ ∈ 𝑢)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
2423adantrd 490 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑦(,]+∞) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
2511, 24sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
26 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))
2726elrnmpt 5958 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦)))
2827elv 3467 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦))
29 mnfxr 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ ℝ*)
31 0xr 11293 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
32 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
33 ifcl 4575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3431, 32, 33sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*)
3513a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
36 mnflt0 13140 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
37 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ 𝑢)
38 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑢 = (-∞[,)𝑦))
3937, 38eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ ∈ (-∞[,)𝑦))
40 elico1 13402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4129, 32, 40sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞ ∈ (-∞[,)𝑦) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦)))
4239, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -∞ ∧ -∞ < 𝑦))
4342simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ < 𝑦)
44 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞ < 0 ↔ -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
45 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞ < 𝑦 ↔ -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
4644, 45ifboth 4569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞ < 0 ∧ -∞ < 𝑦) → -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦))
4736, 43, 46sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → -∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦))
4831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 0 ∈ ℝ*)
49 xrmin1 13191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 0)
5031, 32, 49sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 0)
51 0re 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
52 ltpnf 13135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ → 0 < +∞)
5351, 52mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 0 < +∞)
5434, 48, 35, 50, 53xrlelttrd 13174 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)
55 xrre2 13184 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) < +∞)) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
5630, 34, 35, 47, 54, 55syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
57 xrmin2 13192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦)
5831, 32, 57sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦)
59 df-ico 13365 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
60 xrltletr 13171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦) → 𝑥 < 𝑦))
6159, 59, 60ixxss2 13378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ≤ 𝑦) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ (-∞[,)𝑦))
6232, 58, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ (-∞[,)𝑦))
63 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → 𝑢𝐴)
6438, 63eqsstrrd 4016 . . . . . . . . . . . . 13 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)𝑦) ⊆ 𝐴)
6562, 64sstrd 3987 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴)
66 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)))
6766sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) → ((-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴))
6867rspcev 3606 . . . . . . . . . . . 12 ((if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (-∞[,)if(0 ≤ 𝑦, 0, 𝑦)) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
6956, 65, 68syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑢 = (-∞[,)𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
7069rexlimdvaa 3145 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7170com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ* 𝑢 = (-∞[,)𝑦) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7228, 71sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
7325, 72jaoi 855 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∨ 𝑢 ∈ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
748, 73sylbi 216 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
75 mnfnre 11289 . . . . . . . . . 10 -∞ ∉ ℝ
7675neli 3037 . . . . . . . . 9 ¬ -∞ ∈ ℝ
77 elssuni 4941 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ran (,) → 𝑢 ran (,))
78 unirnioo 13461 . . . . . . . . . . 11 ℝ = ran (,)
7977, 78sseqtrrdi 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ran (,) → 𝑢 ⊆ ℝ)
8079sseld 3975 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran (,) → (-∞ ∈ 𝑢 → -∞ ∈ ℝ))
8176, 80mtoi 198 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ran (,) → ¬ -∞ ∈ 𝑢)
8281pm2.21d 121 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (,) → (-∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8382adantrd 490 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ran (,) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8474, 83jaoi 855 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∨ 𝑢 ∈ ran (,)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
857, 84sylbi 216 . . . 4 (𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,)) → ((-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴))
8685rexlimiv 3137 . . 3 (∃𝑢 ∈ ((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))(-∞ ∈ 𝑢𝑢𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
876, 86syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘((ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦(,]+∞)) ∪ ran (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑦))) ∪ ran (,))) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
885, 87sylanb 579 1 ((𝐴 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-∞[,)𝑥) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  Vcvv 3461  cun 3942  wss 3944  ifcif 4530   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  (,)cioo 13359  (,]cioc 13360  [,)cico 13361  topGenctg 17422  ordTopcordt 17484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-topgen 17428  df-ordt 17486  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-top 22840  df-bases 22893
This theorem is referenced by:  xlimmnfvlem2  45356
  Copyright terms: Public domain W3C validator