MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubioc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubioc1 12782
Description: The upper bound belongs to an open-below, closed-above interval. See ubicc2 12847. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubioc1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem ubioc1
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 simp3 1135 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
3 xrleid 12536 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
433ad2ant2 1131 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐵)
5 elioc1 12772 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)))
653adant3 1129 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)))
71, 2, 4, 6mpbir3and 1339 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  (,]cioc 12731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-ioc 12735
This theorem is referenced by:  xrlimcnp  25557  pnfneige0  31302  lmxrge0  31303  bj-minftyccb  34635  dvasin  35134  dvacos  35135  limcresiooub  42271  xlimpnfvlem1  42465  fourierdlem79  42814  fourierdlem93  42828  fouriersw  42860
  Copyright terms: Public domain W3C validator