Theorem elioo2 13170

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2822	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5085	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3629	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3303   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  ℝcr 10920  ℝ^*cxr 11058   < clt 11059  (,)cioo 13129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-ioo 13133

This theorem is referenced by:  dfrp2  13178  eliooord  13188  elioopnf  13225  elioomnf  13226  difreicc  13266  xov1plusxeqvd  13280  tanhbnd  15919  bl2ioo  24004  xrtgioo  24018  zcld  24025  iccntr  24033  icccmplem2  24035  reconnlem1  24038  reconnlem2  24039  icoopnst  24151  iocopnst  24152  ivthlem3  24666  ovolicc2lem1  24730  ovolicc2lem5  24734  ioombl1lem4  24774  mbfmax  24862  itg2monolem1  24964  itg2monolem3  24966  dvferm1lem  25197  dvferm2lem  25199  dvlip2  25208  dvivthlem1  25221  lhop1lem  25226  lhop  25229  dvcnvrelem1  25230  dvcnvre  25232  itgsubst  25262  sincosq1sgn  25704  sincosq2sgn  25705  sincosq3sgn  25706  sincosq4sgn  25707  coseq00topi  25708  tanabsge  25712  sinq12gt0  25713  sinq12ge0  25714  cosq14gt0  25716  sincos6thpi  25721  sineq0  25729  cos02pilt1  25731  cosq34lt1  25732  cosordlem  25735  cos0pilt1  25737  tanord1  25742  tanord  25743  argregt0  25814  argimgt0  25816  argimlt0  25817  dvloglem  25852  logf1o2  25854  efopnlem2  25861  asinsinlem  26090  acoscos  26092  atanlogsublem  26114  atantan  26122  atanbndlem  26124  atanbnd  26125  atan1  26127  scvxcvx  26184  basellem1  26279  pntibndlem1  26786  pntibnd  26790  pntlemc  26792  padicabvf  26828  padicabvcxp  26829  cnre2csqlem  31909  ivthALT  34573  iooelexlt  35581  itg2gt0cn  35880  iblabsnclem  35888  dvasin  35909  areacirclem1  35913  areacirc  35918  dvrelog3  40273  0nonelalab  40275  cvgdvgrat  42144  radcnvrat  42145  sineq0ALT  42770  ioogtlb  43262  eliood  43265  eliooshift  43273  iooltub  43277  limciccioolb  43391  limcicciooub  43407  cncfioobdlem  43666  ditgeqiooicc  43730  dirkercncflem1  43873  dirkercncflem4  43876  fourierdlem10  43887  fourierdlem32  43909  fourierdlem62  43938  fourierdlem81  43957  fourierdlem82  43958  fourierdlem93  43969  fourierdlem104  43980  fourierdlem111  43987