Theorem elioo2 13404

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2851	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5109	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5108	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3653	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1109	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  (,)cioo 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ioo 13367

This theorem is referenced by:  dfrp2  13412  eliooord  13423  elioopnf  13461  elioomnf  13462  difreicc  13502  xov1plusxeqvd  13516  tanhbnd  16207  bl2ioo  24910  xrtgioo  24925  zcld  24932  iccntr  24940  icccmplem2  24942  reconnlem1  24945  reconnlem2  24946  icoopnst  25059  iocopnst  25060  ivthlem3  25573  ovolicc2lem1  25637  ovolicc2lem5  25641  ioombl1lem4  25681  mbfmax  25769  itg2monolem1  25870  itg2monolem3  25872  dvferm1lem  26104  dvferm2lem  26106  dvlip2  26115  dvivthlem1  26128  lhop1lem  26133  lhop  26136  dvcnvrelem1  26137  dvcnvre  26139  itgsubst  26169  sincosq1sgn  26621  sincosq2sgn  26622  sincosq3sgn  26623  sincosq4sgn  26624  coseq00topi  26625  tanabsge  26629  sinq12gt0  26630  sinq12ge0  26631  cosq14gt0  26633  sincos6thpi  26639  sineq0  26647  cos02pilt1  26649  cosq34lt1  26650  cosordlem  26653  cos0pilt1  26655  tanord1  26660  tanord  26661  argregt0  26733  argimgt0  26735  argimlt0  26736  dvloglem  26771  logf1o2  26773  efopnlem2  26780  asinsinlem  27014  acoscos  27016  atanlogsublem  27038  atantan  27046  atanbndlem  27048  atanbnd  27049  atan1  27051  scvxcvx  27108  basellem1  27203  pntibndlem1  27711  pntibnd  27715  pntlemc  27717  padicabvf  27753  padicabvcxp  27754  cnre2csqlem  34217  ivthALT  36708  iooelexlt  37868  itg2gt0cn  38186  iblabsnclem  38194  dvasin  38215  areacirclem1  38219  areacirc  38224  dvrelog3  42694  0nonelalab  42696  cvgdvgrat  44887  radcnvrat  44888  sineq0ALT  45510  ioogtlb  46069  eliood  46072  eliooshift  46080  iooltub  46084  limciccioolb  46195  limcicciooub  46209  cncfioobdlem  46468  ditgeqiooicc  46532  dirkercncflem1  46675  dirkercncflem4  46678  fourierdlem10  46689  fourierdlem32  46711  fourierdlem62  46740  fourierdlem81  46759  fourierdlem82  46760  fourierdlem93  46771  fourierdlem104  46782  fourierdlem111  46789  goldrapos  47475