Theorem elioo2 13347

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13339	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3659	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  (,)cioo 13306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ioo 13310

This theorem is referenced by:  dfrp2  13355  eliooord  13366  elioopnf  13404  elioomnf  13405  difreicc  13445  xov1plusxeqvd  13459  tanhbnd  16129  bl2ioo  24680  xrtgioo  24695  zcld  24702  iccntr  24710  icccmplem2  24712  reconnlem1  24715  reconnlem2  24716  icoopnst  24836  iocopnst  24837  ivthlem3  25354  ovolicc2lem1  25418  ovolicc2lem5  25422  ioombl1lem4  25462  mbfmax  25550  itg2monolem1  25651  itg2monolem3  25653  dvferm1lem  25888  dvferm2lem  25890  dvlip2  25900  dvivthlem1  25913  lhop1lem  25918  lhop  25921  dvcnvrelem1  25922  dvcnvre  25924  itgsubst  25956  sincosq1sgn  26407  sincosq2sgn  26408  sincosq3sgn  26409  sincosq4sgn  26410  coseq00topi  26411  tanabsge  26415  sinq12gt0  26416  sinq12ge0  26417  cosq14gt0  26419  sincos6thpi  26425  sineq0  26433  cos02pilt1  26435  cosq34lt1  26436  cosordlem  26439  cos0pilt1  26441  tanord1  26446  tanord  26447  argregt0  26519  argimgt0  26521  argimlt0  26522  dvloglem  26557  logf1o2  26559  efopnlem2  26566  asinsinlem  26801  acoscos  26803  atanlogsublem  26825  atantan  26833  atanbndlem  26835  atanbnd  26836  atan1  26838  scvxcvx  26896  basellem1  26991  pntibndlem1  27500  pntibnd  27504  pntlemc  27506  padicabvf  27542  padicabvcxp  27543  cnre2csqlem  33900  ivthALT  36323  iooelexlt  37350  itg2gt0cn  37669  iblabsnclem  37677  dvasin  37698  areacirclem1  37702  areacirc  37707  dvrelog3  42053  0nonelalab  42055  cvgdvgrat  44302  radcnvrat  44303  sineq0ALT  44926  ioogtlb  45493  eliood  45496  eliooshift  45504  iooltub  45508  limciccioolb  45619  limcicciooub  45635  cncfioobdlem  45894  ditgeqiooicc  45958  dirkercncflem1  46101  dirkercncflem4  46104  fourierdlem10  46115  fourierdlem32  46137  fourierdlem62  46166  fourierdlem81  46185  fourierdlem82  46186  fourierdlem93  46197  fourierdlem104  46208  fourierdlem111  46215