Theorem elioo2 13380

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13372	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2842	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5097	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 640	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1103	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 280	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {crab 3408   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  ℝ^*cxr 11205   < clt 11206  (,)cioo 13339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-ioo 13343

This theorem is referenced by:  dfrp2  13388  eliooord  13399  elioopnf  13437  elioomnf  13438  difreicc  13478  xov1plusxeqvd  13492  tanhbnd  16169  bl2ioo  24825  xrtgioo  24840  zcld  24847  iccntr  24855  icccmplem2  24857  reconnlem1  24860  reconnlem2  24861  icoopnst  24974  iocopnst  24975  ivthlem3  25488  ovolicc2lem1  25552  ovolicc2lem5  25556  ioombl1lem4  25596  mbfmax  25684  itg2monolem1  25785  itg2monolem3  25787  dvferm1lem  26019  dvferm2lem  26021  dvlip2  26030  dvivthlem1  26043  lhop1lem  26048  lhop  26051  dvcnvrelem1  26052  dvcnvre  26054  itgsubst  26084  sincosq1sgn  26533  sincosq2sgn  26534  sincosq3sgn  26535  sincosq4sgn  26536  coseq00topi  26537  tanabsge  26541  sinq12gt0  26542  sinq12ge0  26543  cosq14gt0  26545  sincos6thpi  26551  sineq0  26559  cos02pilt1  26561  cosq34lt1  26562  cosordlem  26565  cos0pilt1  26567  tanord1  26572  tanord  26573  argregt0  26645  argimgt0  26647  argimlt0  26648  dvloglem  26683  logf1o2  26685  efopnlem2  26692  asinsinlem  26926  acoscos  26928  atanlogsublem  26950  atantan  26958  atanbndlem  26960  atanbnd  26961  atan1  26963  scvxcvx  27020  basellem1  27115  pntibndlem1  27623  pntibnd  27627  pntlemc  27629  padicabvf  27665  padicabvcxp  27666  cnre2csqlem  34161  ivthALT  36643  iooelexlt  37804  itg2gt0cn  38122  iblabsnclem  38130  dvasin  38151  areacirclem1  38155  areacirc  38160  dvrelog3  42630  0nonelalab  42632  cvgdvgrat  44837  radcnvrat  44838  sineq0ALT  45460  ioogtlb  46019  eliood  46022  eliooshift  46030  iooltub  46034  limciccioolb  46145  limcicciooub  46159  cncfioobdlem  46418  ditgeqiooicc  46482  dirkercncflem1  46625  dirkercncflem4  46628  fourierdlem10  46639  fourierdlem32  46661  fourierdlem62  46690  fourierdlem81  46709  fourierdlem82  46710  fourierdlem93  46721  fourierdlem104  46732  fourierdlem111  46739  goldrapos  47425