Theorem elioo2 13292

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5097	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3642	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  ℝ^*cxr 11151   < clt 11152  (,)cioo 13251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-ioo 13255

This theorem is referenced by:  dfrp2  13300  eliooord  13311  elioopnf  13349  elioomnf  13350  difreicc  13390  xov1plusxeqvd  13404  tanhbnd  16076  bl2ioo  24713  xrtgioo  24728  zcld  24735  iccntr  24743  icccmplem2  24745  reconnlem1  24748  reconnlem2  24749  icoopnst  24869  iocopnst  24870  ivthlem3  25387  ovolicc2lem1  25451  ovolicc2lem5  25455  ioombl1lem4  25495  mbfmax  25583  itg2monolem1  25684  itg2monolem3  25686  dvferm1lem  25921  dvferm2lem  25923  dvlip2  25933  dvivthlem1  25946  lhop1lem  25951  lhop  25954  dvcnvrelem1  25955  dvcnvre  25957  itgsubst  25989  sincosq1sgn  26440  sincosq2sgn  26441  sincosq3sgn  26442  sincosq4sgn  26443  coseq00topi  26444  tanabsge  26448  sinq12gt0  26449  sinq12ge0  26450  cosq14gt0  26452  sincos6thpi  26458  sineq0  26466  cos02pilt1  26468  cosq34lt1  26469  cosordlem  26472  cos0pilt1  26474  tanord1  26479  tanord  26480  argregt0  26552  argimgt0  26554  argimlt0  26555  dvloglem  26590  logf1o2  26592  efopnlem2  26599  asinsinlem  26834  acoscos  26836  atanlogsublem  26858  atantan  26866  atanbndlem  26868  atanbnd  26869  atan1  26871  scvxcvx  26929  basellem1  27024  pntibndlem1  27533  pntibnd  27537  pntlemc  27539  padicabvf  27575  padicabvcxp  27576  cnre2csqlem  33930  ivthALT  36386  iooelexlt  37413  itg2gt0cn  37721  iblabsnclem  37729  dvasin  37750  areacirclem1  37754  areacirc  37759  dvrelog3  42164  0nonelalab  42166  cvgdvgrat  44411  radcnvrat  44412  sineq0ALT  45034  ioogtlb  45600  eliood  45603  eliooshift  45611  iooltub  45615  limciccioolb  45726  limcicciooub  45740  cncfioobdlem  45999  ditgeqiooicc  46063  dirkercncflem1  46206  dirkercncflem4  46209  fourierdlem10  46220  fourierdlem32  46242  fourierdlem62  46271  fourierdlem81  46290  fourierdlem82  46291  fourierdlem93  46302  fourierdlem104  46313  fourierdlem111  46320