Theorem elioo2 12767

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 12759	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2875	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5034	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5033	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3628	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1092	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	syl6bb 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730

This theorem is referenced by:  eliooord  12784  elioopnf  12821  elioomnf  12822  difreicc  12862  xov1plusxeqvd  12876  tanhbnd  15506  bl2ioo  23397  xrtgioo  23411  zcld  23418  iccntr  23426  icccmplem2  23428  reconnlem1  23431  reconnlem2  23432  icoopnst  23544  iocopnst  23545  ivthlem3  24057  ovolicc2lem1  24121  ovolicc2lem5  24125  ioombl1lem4  24165  mbfmax  24253  itg2monolem1  24354  itg2monolem3  24356  dvferm1lem  24587  dvferm2lem  24589  dvlip2  24598  dvivthlem1  24611  lhop1lem  24616  lhop  24619  dvcnvrelem1  24620  dvcnvre  24622  itgsubst  24652  sincosq1sgn  25091  sincosq2sgn  25092  sincosq3sgn  25093  sincosq4sgn  25094  coseq00topi  25095  tanabsge  25099  sinq12gt0  25100  sinq12ge0  25101  cosq14gt0  25103  sincos6thpi  25108  sineq0  25116  cos02pilt1  25118  cosq34lt1  25119  cosordlem  25122  cos0pilt1  25124  tanord1  25129  tanord  25130  argregt0  25201  argimgt0  25203  argimlt0  25204  dvloglem  25239  logf1o2  25241  efopnlem2  25248  asinsinlem  25477  acoscos  25479  atanlogsublem  25501  atantan  25509  atanbndlem  25511  atanbnd  25512  atan1  25514  scvxcvx  25571  basellem1  25666  pntibndlem1  26173  pntibnd  26177  pntlemc  26179  padicabvf  26215  padicabvcxp  26216  dfrp2  30517  cnre2csqlem  31263  ivthALT  33796  iooelexlt  34779  itg2gt0cn  35112  iblabsnclem  35120  dvasin  35141  areacirclem1  35145  areacirc  35150  cvgdvgrat  41017  radcnvrat  41018  sineq0ALT  41643  ioogtlb  42132  eliood  42135  eliooshift  42143  iooltub  42147  limciccioolb  42263  limcicciooub  42279  cncfioobdlem  42538  ditgeqiooicc  42602  dirkercncflem1  42745  dirkercncflem4  42748  fourierdlem10  42759  fourierdlem32  42781  fourierdlem62  42810  fourierdlem81  42829  fourierdlem82  42830  fourierdlem93  42841  fourierdlem104  42852  fourierdlem111  42859