MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioo2 12772
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 12764 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
21eleq2d 2902 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}))
3 breq2 5066 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐶))
4 breq1 5065 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
53, 4anbi12d 630 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
65elrab 3683 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
7 3anass 1089 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
86, 7bitr4i 279 . 2 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
92, 8syl6bb 288 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3146   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528  *cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12735
This theorem is referenced by:  eliooord  12789  elioopnf  12824  elioomnf  12825  difreicc  12863  xov1plusxeqvd  12877  tanhbnd  15507  bl2ioo  23318  xrtgioo  23332  zcld  23339  iccntr  23347  icccmplem2  23349  reconnlem1  23352  reconnlem2  23353  icoopnst  23461  iocopnst  23462  ivthlem3  23972  ovolicc2lem1  24036  ovolicc2lem5  24040  ioombl1lem4  24080  mbfmax  24168  itg2monolem1  24269  itg2monolem3  24271  dvferm1lem  24499  dvferm2lem  24501  dvlip2  24510  dvivthlem1  24523  lhop1lem  24528  lhop  24531  dvcnvrelem1  24532  dvcnvre  24534  itgsubst  24564  sincosq1sgn  25002  sincosq2sgn  25003  sincosq3sgn  25004  sincosq4sgn  25005  coseq00topi  25006  tanabsge  25010  sinq12gt0  25011  sinq12ge0  25012  cosq14gt0  25014  sincos6thpi  25019  sineq0  25027  cosordlem  25031  tanord1  25037  tanord  25038  argregt0  25109  argimgt0  25111  argimlt0  25112  dvloglem  25147  logf1o2  25149  efopnlem2  25156  asinsinlem  25385  acoscos  25387  atanlogsublem  25409  atantan  25417  atanbndlem  25419  atanbnd  25420  atan1  25422  scvxcvx  25480  basellem1  25575  pntibndlem1  26082  pntibnd  26086  pntlemc  26088  padicabvf  26124  padicabvcxp  26125  dfrp2  30407  cnre2csqlem  31042  ivthALT  33570  iooelexlt  34515  itg2gt0cn  34817  iblabsnclem  34825  dvasin  34848  areacirclem1  34852  areacirc  34857  cvgdvgrat  40513  radcnvrat  40514  sineq0ALT  41139  ioogtlb  41638  eliood  41641  eliooshift  41650  iooltub  41654  limciccioolb  41770  limcicciooub  41786  cncfioobdlem  42047  ditgeqiooicc  42113  dirkercncflem1  42257  dirkercncflem4  42260  fourierdlem10  42271  fourierdlem32  42293  fourierdlem62  42322  fourierdlem81  42341  fourierdlem82  42342  fourierdlem93  42353  fourierdlem104  42364  fourierdlem111  42371
  Copyright terms: Public domain W3C validator