Theorem elioo2 13487

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2846	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3644	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  ℝ^*cxr 11314   < clt 11315  (,)cioo 13446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-ioo 13450

This theorem is used by:  dfrp2  13495  eliooord  13506  elioopnf  13544  elioomnf  13545  difreicc  13585  xov1plusxeqvd  13599  tanhbnd  16297  bl2ioo  25073  xrtgioo  25088  zcld  25095  iccntr  25103  icccmplem2  25105  reconnlem1  25108  reconnlem2  25109  icoopnst  25222  iocopnst  25223  ivthlem3  25736  ovolicc2lem1  25800  ovolicc2lem5  25804  ioombl1lem4  25844  mbfmax  25932  itg2monolem1  26033  itg2monolem3  26035  dvferm1lem  26266  dvferm2lem  26268  dvlip2  26277  dvivthlem1  26290  lhop1lem  26295  lhop  26298  dvcnvrelem1  26299  dvcnvre  26301  itgsubst  26331  sincosq1sgn  26791  sincosq2sgn  26792  sincosq3sgn  26793  sincosq4sgn  26794  coseq00topi  26795  tanabsge  26799  sinq12gt0  26800  sinq12ge0  26801  cosq14gt0  26803  sincos6thpi  26808  sineq0  26816  cos02pilt1  26818  cosq34lt1  26819  cosordlem  26822  cos0pilt1  26824  tanord1  26829  tanord  26830  argregt0  26902  argimgt0  26904  argimlt0  26905  dvloglem  26940  logf1o2  26942  efopnlem2  26949  asinsinlem  27183  acoscos  27185  atanlogsublem  27207  atantan  27215  atanbndlem  27217  atanbnd  27218  atan1  27220  scvxcvx  27277  basellem1  27372  pntibndlem1  27880  pntibnd  27884  pntlemc  27886  padicabvf  27922  padicabvcxp  27923  cnre2csqlem  34476  ivthALT  37045  iooelexlt  38205  itg2gt0cn  38513  iblabsnclem  38521  dvasin  38542  areacirclem1  38546  areacirc  38551  dvrelog3  43035  0nonelalab  43037  cvgdvgrat  45241  radcnvrat  45242  sineq0ALT  45863  ioogtlb  46429  eliood  46432  eliooshift  46440  iooltub  46444  limciccioolb  46555  limcicciooub  46569  cncfioobdlem  46828  ditgeqiooicc  46892  dirkercncflem1  47035  dirkercncflem4  47038  fourierdlem10  47049  fourierdlem32  47071  fourierdlem62  47100  fourierdlem81  47119  fourierdlem82  47120  fourierdlem93  47131  fourierdlem104  47142  fourierdlem111  47149  goldrapos  47852