Theorem elioo2 13102

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5081	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3625	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1093	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 277	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3069   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993  (,)cioo 13061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-ioo 13065

This theorem is referenced by:  dfrp2  13110  eliooord  13120  elioopnf  13157  elioomnf  13158  difreicc  13198  xov1plusxeqvd  13212  tanhbnd  15851  bl2ioo  23936  xrtgioo  23950  zcld  23957  iccntr  23965  icccmplem2  23967  reconnlem1  23970  reconnlem2  23971  icoopnst  24083  iocopnst  24084  ivthlem3  24598  ovolicc2lem1  24662  ovolicc2lem5  24666  ioombl1lem4  24706  mbfmax  24794  itg2monolem1  24896  itg2monolem3  24898  dvferm1lem  25129  dvferm2lem  25131  dvlip2  25140  dvivthlem1  25153  lhop1lem  25158  lhop  25161  dvcnvrelem1  25162  dvcnvre  25164  itgsubst  25194  sincosq1sgn  25636  sincosq2sgn  25637  sincosq3sgn  25638  sincosq4sgn  25639  coseq00topi  25640  tanabsge  25644  sinq12gt0  25645  sinq12ge0  25646  cosq14gt0  25648  sincos6thpi  25653  sineq0  25661  cos02pilt1  25663  cosq34lt1  25664  cosordlem  25667  cos0pilt1  25669  tanord1  25674  tanord  25675  argregt0  25746  argimgt0  25748  argimlt0  25749  dvloglem  25784  logf1o2  25786  efopnlem2  25793  asinsinlem  26022  acoscos  26024  atanlogsublem  26046  atantan  26054  atanbndlem  26056  atanbnd  26057  atan1  26059  scvxcvx  26116  basellem1  26211  pntibndlem1  26718  pntibnd  26722  pntlemc  26724  padicabvf  26760  padicabvcxp  26761  cnre2csqlem  31839  ivthALT  34503  iooelexlt  35512  itg2gt0cn  35811  iblabsnclem  35819  dvasin  35840  areacirclem1  35844  areacirc  35849  dvrelog3  40053  0nonelalab  40055  cvgdvgrat  41884  radcnvrat  41885  sineq0ALT  42510  ioogtlb  42987  eliood  42990  eliooshift  42998  iooltub  43002  limciccioolb  43116  limcicciooub  43132  cncfioobdlem  43391  ditgeqiooicc  43455  dirkercncflem1  43598  dirkercncflem4  43601  fourierdlem10  43612  fourierdlem32  43634  fourierdlem62  43663  fourierdlem81  43682  fourierdlem82  43683  fourierdlem93  43694  fourierdlem104  43705  fourierdlem111  43712