Theorem elioo2 13544

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13536	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2850	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5109	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3648	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370  (,)cioo 13503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-ioo 13507

This theorem is used by:  dfrp2  13552  eliooord  13563  elioopnf  13601  elioomnf  13602  difreicc  13642  xov1plusxeqvd  13656  tanhbnd  16358  bl2ioo  25141  xrtgioo  25156  zcld  25163  iccntr  25171  icccmplem2  25173  reconnlem1  25176  reconnlem2  25177  icoopnst  25290  iocopnst  25291  ivthlem3  25804  ovolicc2lem1  25868  ovolicc2lem5  25872  ioombl1lem4  25912  mbfmax  26000  itg2monolem1  26101  itg2monolem3  26103  dvferm1lem  26334  dvferm2lem  26336  dvlip2  26345  dvivthlem1  26358  lhop1lem  26363  lhop  26366  dvcnvrelem1  26367  dvcnvre  26369  itgsubst  26399  sincosq1sgn  26857  sincosq2sgn  26858  sincosq3sgn  26859  sincosq4sgn  26860  coseq00topi  26861  tanabsge  26865  sinq12gt0  26866  sinq12ge0  26867  cosq14gt0  26869  sincos6thpi  26874  sineq0  26882  cos02pilt1  26884  cosq34lt1  26885  cosordlem  26888  cos0pilt1  26890  tanord1  26895  tanord  26896  argregt0  26968  argimgt0  26970  argimlt0  26971  dvloglem  27006  logf1o2  27008  efopnlem2  27015  asinsinlem  27249  acoscos  27251  atanlogsublem  27273  atantan  27281  atanbndlem  27283  atanbnd  27284  atan1  27286  scvxcvx  27343  basellem1  27438  pntibndlem1  27946  pntibnd  27950  pntlemc  27952  padicabvf  27988  padicabvcxp  27989  cnre2csqlem  34612  ivthALT  37301  iooelexlt  38477  itg2gt0cn  38785  iblabsnclem  38793  dvasin  38814  areacirclem1  38818  areacirc  38823  dvrelog3  43307  0nonelalab  43309  cvgdvgrat  45489  radcnvrat  45490  sineq0ALT  46110  ioogtlb  46712  eliood  46715  eliooshift  46723  iooltub  46727  limciccioolb  46838  limcicciooub  46852  cncfioobdlem  47111  ditgeqiooicc  47175  dirkercncflem1  47318  dirkercncflem4  47321  fourierdlem10  47332  fourierdlem32  47354  fourierdlem62  47383  fourierdlem81  47402  fourierdlem82  47403  fourierdlem93  47414  fourierdlem104  47425  fourierdlem111  47432  goldrapos  48135