MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioo2 12769
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 12761 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
21eleq2d 2898 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}))
3 breq2 5062 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐶))
4 breq1 5061 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
53, 4anbi12d 630 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
65elrab 3679 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
7 3anass 1087 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
86, 7bitr4i 279 . 2 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
92, 8syl6bb 288 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3142   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  cr 10525  *cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12732
This theorem is referenced by:  eliooord  12786  elioopnf  12821  elioomnf  12822  difreicc  12860  xov1plusxeqvd  12874  tanhbnd  15504  bl2ioo  23329  xrtgioo  23343  zcld  23350  iccntr  23358  icccmplem2  23360  reconnlem1  23363  reconnlem2  23364  icoopnst  23472  iocopnst  23473  ivthlem3  23983  ovolicc2lem1  24047  ovolicc2lem5  24051  ioombl1lem4  24091  mbfmax  24179  itg2monolem1  24280  itg2monolem3  24282  dvferm1lem  24510  dvferm2lem  24512  dvlip2  24521  dvivthlem1  24534  lhop1lem  24539  lhop  24542  dvcnvrelem1  24543  dvcnvre  24545  itgsubst  24575  sincosq1sgn  25013  sincosq2sgn  25014  sincosq3sgn  25015  sincosq4sgn  25016  coseq00topi  25017  tanabsge  25021  sinq12gt0  25022  sinq12ge0  25023  cosq14gt0  25025  sincos6thpi  25030  sineq0  25038  cosordlem  25042  tanord1  25048  tanord  25049  argregt0  25120  argimgt0  25122  argimlt0  25123  dvloglem  25158  logf1o2  25160  efopnlem2  25167  asinsinlem  25396  acoscos  25398  atanlogsublem  25420  atantan  25428  atanbndlem  25430  atanbnd  25431  atan1  25433  scvxcvx  25491  basellem1  25586  pntibndlem1  26093  pntibnd  26097  pntlemc  26099  padicabvf  26135  padicabvcxp  26136  dfrp2  30418  cnre2csqlem  31053  ivthALT  33581  iooelexlt  34526  itg2gt0cn  34829  iblabsnclem  34837  dvasin  34860  areacirclem1  34864  areacirc  34869  cvgdvgrat  40525  radcnvrat  40526  sineq0ALT  41151  ioogtlb  41650  eliood  41653  eliooshift  41662  iooltub  41666  limciccioolb  41782  limcicciooub  41798  cncfioobdlem  42059  ditgeqiooicc  42125  dirkercncflem1  42269  dirkercncflem4  42272  fourierdlem10  42283  fourierdlem32  42305  fourierdlem62  42334  fourierdlem81  42353  fourierdlem82  42354  fourierdlem93  42365  fourierdlem104  42376  fourierdlem111  42383
  Copyright terms: Public domain W3C validator