MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioo2 13361
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 13353 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
21eleq2d 2819 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}))
3 breq2 5151 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐶))
4 breq1 5150 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
53, 4anbi12d 631 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
65elrab 3682 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
7 3anass 1095 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
86, 7bitr4i 277 . 2 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
92, 8bitrdi 286 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  cr 11105  *cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324
This theorem is referenced by:  dfrp2  13369  eliooord  13379  elioopnf  13416  elioomnf  13417  difreicc  13457  xov1plusxeqvd  13471  tanhbnd  16100  bl2ioo  24299  xrtgioo  24313  zcld  24320  iccntr  24328  icccmplem2  24330  reconnlem1  24333  reconnlem2  24334  icoopnst  24446  iocopnst  24447  ivthlem3  24961  ovolicc2lem1  25025  ovolicc2lem5  25029  ioombl1lem4  25069  mbfmax  25157  itg2monolem1  25259  itg2monolem3  25261  dvferm1lem  25492  dvferm2lem  25494  dvlip2  25503  dvivthlem1  25516  lhop1lem  25521  lhop  25524  dvcnvrelem1  25525  dvcnvre  25527  itgsubst  25557  sincosq1sgn  25999  sincosq2sgn  26000  sincosq3sgn  26001  sincosq4sgn  26002  coseq00topi  26003  tanabsge  26007  sinq12gt0  26008  sinq12ge0  26009  cosq14gt0  26011  sincos6thpi  26016  sineq0  26024  cos02pilt1  26026  cosq34lt1  26027  cosordlem  26030  cos0pilt1  26032  tanord1  26037  tanord  26038  argregt0  26109  argimgt0  26111  argimlt0  26112  dvloglem  26147  logf1o2  26149  efopnlem2  26156  asinsinlem  26385  acoscos  26387  atanlogsublem  26409  atantan  26417  atanbndlem  26419  atanbnd  26420  atan1  26422  scvxcvx  26479  basellem1  26574  pntibndlem1  27081  pntibnd  27085  pntlemc  27087  padicabvf  27123  padicabvcxp  27124  cnre2csqlem  32878  ivthALT  35208  iooelexlt  36231  itg2gt0cn  36531  iblabsnclem  36539  dvasin  36560  areacirclem1  36564  areacirc  36569  dvrelog3  40918  0nonelalab  40920  cvgdvgrat  43057  radcnvrat  43058  sineq0ALT  43683  ioogtlb  44194  eliood  44197  eliooshift  44205  iooltub  44209  limciccioolb  44323  limcicciooub  44339  cncfioobdlem  44598  ditgeqiooicc  44662  dirkercncflem1  44805  dirkercncflem4  44808  fourierdlem10  44819  fourierdlem32  44841  fourierdlem62  44870  fourierdlem81  44889  fourierdlem82  44890  fourierdlem93  44901  fourierdlem104  44912  fourierdlem111  44919
  Copyright terms: Public domain W3C validator