Theorem elioo2 12782

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 12774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2900	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5072	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5071	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3682	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1091	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 280	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	syl6bb 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  (,)cioo 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ioo 12745

This theorem is referenced by:  eliooord  12799  elioopnf  12834  elioomnf  12835  difreicc  12873  xov1plusxeqvd  12887  tanhbnd  15516  bl2ioo  23402  xrtgioo  23416  zcld  23423  iccntr  23431  icccmplem2  23433  reconnlem1  23436  reconnlem2  23437  icoopnst  23545  iocopnst  23546  ivthlem3  24056  ovolicc2lem1  24120  ovolicc2lem5  24124  ioombl1lem4  24164  mbfmax  24252  itg2monolem1  24353  itg2monolem3  24355  dvferm1lem  24583  dvferm2lem  24585  dvlip2  24594  dvivthlem1  24607  lhop1lem  24612  lhop  24615  dvcnvrelem1  24616  dvcnvre  24618  itgsubst  24648  sincosq1sgn  25086  sincosq2sgn  25087  sincosq3sgn  25088  sincosq4sgn  25089  coseq00topi  25090  tanabsge  25094  sinq12gt0  25095  sinq12ge0  25096  cosq14gt0  25098  sincos6thpi  25103  sineq0  25111  cos02pilt1  25113  cosq34lt1  25114  cosordlem  25117  tanord1  25123  tanord  25124  argregt0  25195  argimgt0  25197  argimlt0  25198  dvloglem  25233  logf1o2  25235  efopnlem2  25242  asinsinlem  25471  acoscos  25473  atanlogsublem  25495  atantan  25503  atanbndlem  25505  atanbnd  25506  atan1  25508  scvxcvx  25565  basellem1  25660  pntibndlem1  26167  pntibnd  26171  pntlemc  26173  padicabvf  26209  padicabvcxp  26210  dfrp2  30493  cnre2csqlem  31155  ivthALT  33685  iooelexlt  34645  itg2gt0cn  34949  iblabsnclem  34957  dvasin  34980  areacirclem1  34984  areacirc  34989  cvgdvgrat  40652  radcnvrat  40653  sineq0ALT  41278  ioogtlb  41777  eliood  41780  eliooshift  41789  iooltub  41793  limciccioolb  41909  limcicciooub  41925  cncfioobdlem  42186  ditgeqiooicc  42252  dirkercncflem1  42395  dirkercncflem4  42398  fourierdlem10  42409  fourierdlem32  42431  fourierdlem62  42460  fourierdlem81  42479  fourierdlem82  42480  fourierdlem93  42491  fourierdlem104  42502  fourierdlem111  42509