Theorem elioo2 13337

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13329	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2826	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3636	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1100	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 279	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177  (,)cioo 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-ioo 13300

This theorem is referenced by:  dfrp2  13345  eliooord  13356  elioopnf  13394  elioomnf  13395  difreicc  13435  xov1plusxeqvd  13449  tanhbnd  16126  bl2ioo  24782  xrtgioo  24797  zcld  24804  iccntr  24812  icccmplem2  24814  reconnlem1  24817  reconnlem2  24818  icoopnst  24931  iocopnst  24932  ivthlem3  25445  ovolicc2lem1  25509  ovolicc2lem5  25513  ioombl1lem4  25553  mbfmax  25641  itg2monolem1  25742  itg2monolem3  25744  dvferm1lem  25976  dvferm2lem  25978  dvlip2  25987  dvivthlem1  26000  lhop1lem  26005  lhop  26008  dvcnvrelem1  26009  dvcnvre  26011  itgsubst  26041  sincosq1sgn  26487  sincosq2sgn  26488  sincosq3sgn  26489  sincosq4sgn  26490  coseq00topi  26491  tanabsge  26495  sinq12gt0  26496  sinq12ge0  26497  cosq14gt0  26499  sincos6thpi  26505  sineq0  26513  cos02pilt1  26515  cosq34lt1  26516  cosordlem  26519  cos0pilt1  26521  tanord1  26526  tanord  26527  argregt0  26599  argimgt0  26601  argimlt0  26602  dvloglem  26637  logf1o2  26639  efopnlem2  26646  asinsinlem  26880  acoscos  26882  atanlogsublem  26904  atantan  26912  atanbndlem  26914  atanbnd  26915  atan1  26917  scvxcvx  26974  basellem1  27069  pntibndlem1  27577  pntibnd  27581  pntlemc  27583  padicabvf  27619  padicabvcxp  27620  cnre2csqlem  34101  ivthALT  36564  iooelexlt  37725  itg2gt0cn  38043  iblabsnclem  38051  dvasin  38072  areacirclem1  38076  areacirc  38081  dvrelog3  42551  0nonelalab  42553  cvgdvgrat  44758  radcnvrat  44759  sineq0ALT  45381  ioogtlb  45941  eliood  45944  eliooshift  45952  iooltub  45956  limciccioolb  46067  limcicciooub  46081  cncfioobdlem  46340  ditgeqiooicc  46404  dirkercncflem1  46547  dirkercncflem4  46550  fourierdlem10  46561  fourierdlem32  46583  fourierdlem62  46612  fourierdlem81  46631  fourierdlem82  46632  fourierdlem93  46643  fourierdlem104  46654  fourierdlem111  46661  goldrapos  47347