Theorem elioo2 13424

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5150	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3694	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  (,)cioo 13383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ioo 13387

This theorem is referenced by:  dfrp2  13432  eliooord  13442  elioopnf  13479  elioomnf  13480  difreicc  13520  xov1plusxeqvd  13534  tanhbnd  16193  bl2ioo  24827  xrtgioo  24841  zcld  24848  iccntr  24856  icccmplem2  24858  reconnlem1  24861  reconnlem2  24862  icoopnst  24982  iocopnst  24983  ivthlem3  25501  ovolicc2lem1  25565  ovolicc2lem5  25569  ioombl1lem4  25609  mbfmax  25697  itg2monolem1  25799  itg2monolem3  25801  dvferm1lem  26036  dvferm2lem  26038  dvlip2  26048  dvivthlem1  26061  lhop1lem  26066  lhop  26069  dvcnvrelem1  26070  dvcnvre  26072  itgsubst  26104  sincosq1sgn  26554  sincosq2sgn  26555  sincosq3sgn  26556  sincosq4sgn  26557  coseq00topi  26558  tanabsge  26562  sinq12gt0  26563  sinq12ge0  26564  cosq14gt0  26566  sincos6thpi  26572  sineq0  26580  cos02pilt1  26582  cosq34lt1  26583  cosordlem  26586  cos0pilt1  26588  tanord1  26593  tanord  26594  argregt0  26666  argimgt0  26668  argimlt0  26669  dvloglem  26704  logf1o2  26706  efopnlem2  26713  asinsinlem  26948  acoscos  26950  atanlogsublem  26972  atantan  26980  atanbndlem  26982  atanbnd  26983  atan1  26985  scvxcvx  27043  basellem1  27138  pntibndlem1  27647  pntibnd  27651  pntlemc  27653  padicabvf  27689  padicabvcxp  27690  cnre2csqlem  33870  ivthALT  36317  iooelexlt  37344  itg2gt0cn  37661  iblabsnclem  37669  dvasin  37690  areacirclem1  37694  areacirc  37699  dvrelog3  42046  0nonelalab  42048  cvgdvgrat  44308  radcnvrat  44309  sineq0ALT  44934  ioogtlb  45447  eliood  45450  eliooshift  45458  iooltub  45462  limciccioolb  45576  limcicciooub  45592  cncfioobdlem  45851  ditgeqiooicc  45915  dirkercncflem1  46058  dirkercncflem4  46061  fourierdlem10  46072  fourierdlem32  46094  fourierdlem62  46123  fourierdlem81  46142  fourierdlem82  46143  fourierdlem93  46154  fourierdlem104  46165  fourierdlem111  46172