Theorem elioo2 13339

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13331	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3635	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   class class class wbr 5086  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  (,)cioo 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ioo 13302

This theorem is referenced by:  dfrp2  13347  eliooord  13358  elioopnf  13396  elioomnf  13397  difreicc  13437  xov1plusxeqvd  13451  tanhbnd  16128  bl2ioo  24757  xrtgioo  24772  zcld  24779  iccntr  24787  icccmplem2  24789  reconnlem1  24792  reconnlem2  24793  icoopnst  24906  iocopnst  24907  ivthlem3  25420  ovolicc2lem1  25484  ovolicc2lem5  25488  ioombl1lem4  25528  mbfmax  25616  itg2monolem1  25717  itg2monolem3  25719  dvferm1lem  25951  dvferm2lem  25953  dvlip2  25962  dvivthlem1  25975  lhop1lem  25980  lhop  25983  dvcnvrelem1  25984  dvcnvre  25986  itgsubst  26016  sincosq1sgn  26462  sincosq2sgn  26463  sincosq3sgn  26464  sincosq4sgn  26465  coseq00topi  26466  tanabsge  26470  sinq12gt0  26471  sinq12ge0  26472  cosq14gt0  26474  sincos6thpi  26480  sineq0  26488  cos02pilt1  26490  cosq34lt1  26491  cosordlem  26494  cos0pilt1  26496  tanord1  26501  tanord  26502  argregt0  26574  argimgt0  26576  argimlt0  26577  dvloglem  26612  logf1o2  26614  efopnlem2  26621  asinsinlem  26855  acoscos  26857  atanlogsublem  26879  atantan  26887  atanbndlem  26889  atanbnd  26890  atan1  26892  scvxcvx  26949  basellem1  27044  pntibndlem1  27552  pntibnd  27556  pntlemc  27558  padicabvf  27594  padicabvcxp  27595  cnre2csqlem  34054  ivthALT  36517  iooelexlt  37678  itg2gt0cn  37996  iblabsnclem  38004  dvasin  38025  areacirclem1  38029  areacirc  38034  dvrelog3  42504  0nonelalab  42506  cvgdvgrat  44740  radcnvrat  44741  sineq0ALT  45363  ioogtlb  45925  eliood  45928  eliooshift  45936  iooltub  45940  limciccioolb  46051  limcicciooub  46065  cncfioobdlem  46324  ditgeqiooicc  46388  dirkercncflem1  46531  dirkercncflem4  46534  fourierdlem10  46545  fourierdlem32  46567  fourierdlem62  46596  fourierdlem81  46615  fourierdlem82  46616  fourierdlem93  46627  fourierdlem104  46638  fourierdlem111  46645  goldrapos  47327