Theorem elioo2 13306

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13298	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5102	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3647	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13269

This theorem is referenced by:  dfrp2  13314  eliooord  13325  elioopnf  13363  elioomnf  13364  difreicc  13404  xov1plusxeqvd  13418  tanhbnd  16090  bl2ioo  24740  xrtgioo  24755  zcld  24762  iccntr  24770  icccmplem2  24772  reconnlem1  24775  reconnlem2  24776  icoopnst  24896  iocopnst  24897  ivthlem3  25414  ovolicc2lem1  25478  ovolicc2lem5  25482  ioombl1lem4  25522  mbfmax  25610  itg2monolem1  25711  itg2monolem3  25713  dvferm1lem  25948  dvferm2lem  25950  dvlip2  25960  dvivthlem1  25973  lhop1lem  25978  lhop  25981  dvcnvrelem1  25982  dvcnvre  25984  itgsubst  26016  sincosq1sgn  26467  sincosq2sgn  26468  sincosq3sgn  26469  sincosq4sgn  26470  coseq00topi  26471  tanabsge  26475  sinq12gt0  26476  sinq12ge0  26477  cosq14gt0  26479  sincos6thpi  26485  sineq0  26493  cos02pilt1  26495  cosq34lt1  26496  cosordlem  26499  cos0pilt1  26501  tanord1  26506  tanord  26507  argregt0  26579  argimgt0  26581  argimlt0  26582  dvloglem  26617  logf1o2  26619  efopnlem2  26626  asinsinlem  26861  acoscos  26863  atanlogsublem  26885  atantan  26893  atanbndlem  26895  atanbnd  26896  atan1  26898  scvxcvx  26956  basellem1  27051  pntibndlem1  27560  pntibnd  27564  pntlemc  27566  padicabvf  27602  padicabvcxp  27603  cnre2csqlem  34048  ivthALT  36510  iooelexlt  37538  itg2gt0cn  37847  iblabsnclem  37855  dvasin  37876  areacirclem1  37880  areacirc  37885  dvrelog3  42356  0nonelalab  42358  cvgdvgrat  44590  radcnvrat  44591  sineq0ALT  45213  ioogtlb  45777  eliood  45780  eliooshift  45788  iooltub  45792  limciccioolb  45903  limcicciooub  45917  cncfioobdlem  46176  ditgeqiooicc  46240  dirkercncflem1  46383  dirkercncflem4  46386  fourierdlem10  46397  fourierdlem32  46419  fourierdlem62  46448  fourierdlem81  46467  fourierdlem82  46468  fourierdlem93  46479  fourierdlem104  46490  fourierdlem111  46497