Theorem elioo2 13365

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 13357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2820	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3684	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1096	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  (,)cioo 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328

This theorem is referenced by:  dfrp2  13373  eliooord  13383  elioopnf  13420  elioomnf  13421  difreicc  13461  xov1plusxeqvd  13475  tanhbnd  16104  bl2ioo  24308  xrtgioo  24322  zcld  24329  iccntr  24337  icccmplem2  24339  reconnlem1  24342  reconnlem2  24343  icoopnst  24455  iocopnst  24456  ivthlem3  24970  ovolicc2lem1  25034  ovolicc2lem5  25038  ioombl1lem4  25078  mbfmax  25166  itg2monolem1  25268  itg2monolem3  25270  dvferm1lem  25501  dvferm2lem  25503  dvlip2  25512  dvivthlem1  25525  lhop1lem  25530  lhop  25533  dvcnvrelem1  25534  dvcnvre  25536  itgsubst  25566  sincosq1sgn  26008  sincosq2sgn  26009  sincosq3sgn  26010  sincosq4sgn  26011  coseq00topi  26012  tanabsge  26016  sinq12gt0  26017  sinq12ge0  26018  cosq14gt0  26020  sincos6thpi  26025  sineq0  26033  cos02pilt1  26035  cosq34lt1  26036  cosordlem  26039  cos0pilt1  26041  tanord1  26046  tanord  26047  argregt0  26118  argimgt0  26120  argimlt0  26121  dvloglem  26156  logf1o2  26158  efopnlem2  26165  asinsinlem  26396  acoscos  26398  atanlogsublem  26420  atantan  26428  atanbndlem  26430  atanbnd  26431  atan1  26433  scvxcvx  26490  basellem1  26585  pntibndlem1  27092  pntibnd  27096  pntlemc  27098  padicabvf  27134  padicabvcxp  27135  cnre2csqlem  32890  ivthALT  35220  iooelexlt  36243  itg2gt0cn  36543  iblabsnclem  36551  dvasin  36572  areacirclem1  36576  areacirc  36581  dvrelog3  40930  0nonelalab  40932  cvgdvgrat  43072  radcnvrat  43073  sineq0ALT  43698  ioogtlb  44208  eliood  44211  eliooshift  44219  iooltub  44223  limciccioolb  44337  limcicciooub  44353  cncfioobdlem  44612  ditgeqiooicc  44676  dirkercncflem1  44819  dirkercncflem4  44822  fourierdlem10  44833  fourierdlem32  44855  fourierdlem62  44884  fourierdlem81  44903  fourierdlem82  44904  fourierdlem93  44915  fourierdlem104  44926  fourierdlem111  44933