MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioo2 13428
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elioo2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval2 13420 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
21eleq2d 2827 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}))
3 breq2 5147 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐶))
4 breq1 5146 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵𝐶 < 𝐵))
53, 4anbi12d 632 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
65elrab 3692 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
7 3anass 1095 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
86, 7bitr4i 278 . 2 (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
92, 8bitrdi 287 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  (,)cioo 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391
This theorem is referenced by:  dfrp2  13436  eliooord  13446  elioopnf  13483  elioomnf  13484  difreicc  13524  xov1plusxeqvd  13538  tanhbnd  16197  bl2ioo  24813  xrtgioo  24828  zcld  24835  iccntr  24843  icccmplem2  24845  reconnlem1  24848  reconnlem2  24849  icoopnst  24969  iocopnst  24970  ivthlem3  25488  ovolicc2lem1  25552  ovolicc2lem5  25556  ioombl1lem4  25596  mbfmax  25684  itg2monolem1  25785  itg2monolem3  25787  dvferm1lem  26022  dvferm2lem  26024  dvlip2  26034  dvivthlem1  26047  lhop1lem  26052  lhop  26055  dvcnvrelem1  26056  dvcnvre  26058  itgsubst  26090  sincosq1sgn  26540  sincosq2sgn  26541  sincosq3sgn  26542  sincosq4sgn  26543  coseq00topi  26544  tanabsge  26548  sinq12gt0  26549  sinq12ge0  26550  cosq14gt0  26552  sincos6thpi  26558  sineq0  26566  cos02pilt1  26568  cosq34lt1  26569  cosordlem  26572  cos0pilt1  26574  tanord1  26579  tanord  26580  argregt0  26652  argimgt0  26654  argimlt0  26655  dvloglem  26690  logf1o2  26692  efopnlem2  26699  asinsinlem  26934  acoscos  26936  atanlogsublem  26958  atantan  26966  atanbndlem  26968  atanbnd  26969  atan1  26971  scvxcvx  27029  basellem1  27124  pntibndlem1  27633  pntibnd  27637  pntlemc  27639  padicabvf  27675  padicabvcxp  27676  cnre2csqlem  33909  ivthALT  36336  iooelexlt  37363  itg2gt0cn  37682  iblabsnclem  37690  dvasin  37711  areacirclem1  37715  areacirc  37720  dvrelog3  42066  0nonelalab  42068  cvgdvgrat  44332  radcnvrat  44333  sineq0ALT  44957  ioogtlb  45508  eliood  45511  eliooshift  45519  iooltub  45523  limciccioolb  45636  limcicciooub  45652  cncfioobdlem  45911  ditgeqiooicc  45975  dirkercncflem1  46118  dirkercncflem4  46121  fourierdlem10  46132  fourierdlem32  46154  fourierdlem62  46183  fourierdlem81  46202  fourierdlem82  46203  fourierdlem93  46214  fourierdlem104  46225  fourierdlem111  46232
  Copyright terms: Public domain W3C validator