Theorem elnn 7570

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7569	. 2 ⊢ Ord ω
2		ordtr 6173	. 2 ⊢ (Ord ω → Tr ω)
3		trel 5143	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
4	1, 2, 3	mp2b 10	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Tr wtr 5136  Ord word 6158  ωcom 7560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-om 7561

This theorem is referenced by:  nnaordi  8227  nnmordi  8240  pssnn  8720  ssnnfi  8721  unfilem1  8766  unfilem2  8767  inf3lem5  9079  cantnflt  9119  cantnfp1lem3  9127  cantnflem1d  9135  cantnflem1  9136  cnfcomlem  9146  cnfcom  9147  infpssrlem4  9717  axdc3lem2  9862  pwfseqlem3  10071  bnj1098  32165  bnj517  32267  bnj594  32294  bnj1001  32341  bnj1118  32366  bnj1128  32372  bnj1145  32375  elhf2  33749  hfelhf  33755