Theorem elnn 7922

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7920	. 2 ⊢ Tr ω
2		trel 5226	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Tr wtr 5218  ωcom 7911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-om 7912

This theorem is used by:  nnaordi  8665  nnmordi  8678  pssnn  9222  ssnnfi  9223  unfilem1  9335  unfilem2  9336  inf3lem5  9670  cantnflt  9710  cantnfp1lem3  9718  cantnflem1d  9726  cantnflem1  9727  cnfcomlem  9737  cnfcom  9738  ttrcltr  9754  ttrclselem2  9764  elhf2  9947  hfelhfOLD  9953  infpssrlem4  10423  axdc3lem2  10568  pwfseqlem3  10784  oldfi  28357  n0bday  28795  onltn0s  28801  bnj1098  35525  bnj517  35626  bnj594  35653  bnj1001  35700  bnj1118  35725  bnj1128  35731  bnj1145  35734  fineqvnttrclselem2  35931  fineqvnttrclselem3  35932  jltalephlem  36066  jltaleph  36067  mh-inf3f1  37544