Theorem elnn 7819

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7817	. 2 ⊢ Tr ω
2		trel 5213	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Tr wtr 5205  ωcom 7808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-om 7809

This theorem is referenced by:  nnaordi  8546  nnmordi  8559  pssnn  9093  ssnnfi  9094  unfilem1  9205  unfilem2  9206  inf3lem5  9541  cantnflt  9581  cantnfp1lem3  9589  cantnflem1d  9597  cantnflem1  9598  cnfcomlem  9608  cnfcom  9609  ttrcltr  9625  ttrclselem2  9635  infpssrlem4  10216  axdc3lem2  10361  pwfseqlem3  10571  oldfi  27910  n0bday  28348  onltn0s  28354  bnj1098  34939  bnj517  35041  bnj594  35068  bnj1001  35115  bnj1118  35140  bnj1128  35146  bnj1145  35149  fineqvnttrclselem2  35278  fineqvnttrclselem3  35279  elhf2  36369  hfelhf  36375