Theorem elnn 7309

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7308	. 2 ⊢ Ord ω
2		ordtr 5955	. 2 ⊢ (Ord ω → Tr ω)
3		trel 4952	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
4	1, 2, 3	mp2b 10	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  Tr wtr 4945  Ord word 5940  ωcom 7299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-om 7300

This theorem is referenced by:  nnaordi  7938  nnmordi  7951  pssnn  8420  ssnnfi  8421  unfilem1  8466  unfilem2  8467  inf3lem5  8779  cantnflt  8819  cantnfp1lem3  8827  cantnflem1d  8835  cantnflem1  8836  cnfcomlem  8846  cnfcom  8847  infpssrlem4  9416  axdc3lem2  9561  pwfseqlem3  9770  bnj1098  31371  bnj517  31472  bnj594  31499  bnj1001  31545  bnj1118  31569  bnj1128  31575  bnj1145  31578  elhf2  32795  hfelhf  32801