Theorem elnn 7879

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7877	. 2 ⊢ Tr ω
2		trel 5228	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Tr wtr 5220  ωcom 7868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-om 7869

This theorem is used by:  nnaordi  8610  nnmordi  8623  pssnn  9160  ssnnfi  9161  unfilem1  9272  unfilem2  9273  inf3lem5  9608  cantnflt  9648  cantnfp1lem3  9656  cantnflem1d  9664  cantnflem1  9665  cnfcomlem  9675  cnfcom  9676  ttrcltr  9692  ttrclselem2  9702  infpssrlem4  10305  axdc3lem2  10450  pwfseqlem3  10660  oldfi  28158  n0bday  28596  onltn0s  28602  bnj1098  35237  bnj517  35338  bnj594  35365  bnj1001  35412  bnj1118  35437  bnj1128  35443  bnj1145  35446  fineqvnttrclselem2  35592  fineqvnttrclselem3  35593  elhf2  36704  hfelhf  36710