Theorem elnn 7817

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7815	. 2 ⊢ Tr ω
2		trel 5187	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  Tr wtr 5179  ωcom 7806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-om 7807

This theorem is referenced by:  nnaordi  8544  nnmordi  8557  pssnn  9093  ssnnfi  9094  unfilem1  9205  unfilem2  9206  inf3lem5  9544  cantnflt  9584  cantnfp1lem3  9592  cantnflem1d  9600  cantnflem1  9601  cnfcomlem  9611  cnfcom  9612  ttrcltr  9628  ttrclselem2  9638  infpssrlem4  10219  axdc3lem2  10364  pwfseqlem3  10574  oldfi  27924  n0bday  28362  onltn0s  28368  bnj1098  34966  bnj517  35067  bnj594  35094  bnj1001  35141  bnj1118  35166  bnj1128  35172  bnj1145  35175  fineqvnttrclselem2  35303  fineqvnttrclselem3  35304  elhf2  36403  hfelhf  36409