Theorem elnn 7829

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7827	. 2 ⊢ Tr ω
2		trel 5215	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Tr wtr 5207  ωcom 7818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-om 7819

This theorem is referenced by:  nnaordi  8556  nnmordi  8569  pssnn  9105  ssnnfi  9106  unfilem1  9217  unfilem2  9218  inf3lem5  9553  cantnflt  9593  cantnfp1lem3  9601  cantnflem1d  9609  cantnflem1  9610  cnfcomlem  9620  cnfcom  9621  ttrcltr  9637  ttrclselem2  9647  infpssrlem4  10228  axdc3lem2  10373  pwfseqlem3  10583  oldfi  27922  n0bday  28360  onltn0s  28366  bnj1098  34959  bnj517  35060  bnj594  35087  bnj1001  35134  bnj1118  35159  bnj1128  35165  bnj1145  35168  fineqvnttrclselem2  35297  fineqvnttrclselem3  35298  elhf2  36388  hfelhf  36394