Theorem elnn 7592

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7591	. 2 ⊢ Ord ω
2		ordtr 6207	. 2 ⊢ (Ord ω → Tr ω)
3		trel 5181	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
4	1, 2, 3	mp2b 10	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Tr wtr 5174  Ord word 6192  ωcom 7582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-om 7583

This theorem is referenced by:  nnaordi  8246  nnmordi  8259  pssnn  8738  ssnnfi  8739  unfilem1  8784  unfilem2  8785  inf3lem5  9097  cantnflt  9137  cantnfp1lem3  9145  cantnflem1d  9153  cantnflem1  9154  cnfcomlem  9164  cnfcom  9165  infpssrlem4  9730  axdc3lem2  9875  pwfseqlem3  10084  bnj1098  32057  bnj517  32159  bnj594  32186  bnj1001  32233  bnj1118  32258  bnj1128  32264  bnj1145  32267  elhf2  33638  hfelhf  33644