Theorem elnn 7873

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7871	. 2 ⊢ Tr ω
2		trel 5220	. 2 ⊢ (Tr ω → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Tr wtr 5212  ωcom 7862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-om 7863

This theorem is used by:  nnaordi  8606  nnmordi  8619  pssnn  9163  ssnnfi  9164  unfilem1  9275  unfilem2  9276  inf3lem5  9611  cantnflt  9651  cantnfp1lem3  9659  cantnflem1d  9667  cantnflem1  9668  cnfcomlem  9678  cnfcom  9679  ttrcltr  9695  ttrclselem2  9705  infpssrlem4  10308  axdc3lem2  10453  pwfseqlem3  10669  oldfi  28179  n0bday  28617  onltn0s  28623  bnj1098  35293  bnj517  35394  bnj594  35421  bnj1001  35468  bnj1118  35493  bnj1128  35499  bnj1145  35502  fineqvnttrclselem2  35648  fineqvnttrclselem3  35649  elhf2  36755  hfelhf  36761