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Theorem bnj1145 33662
Description: Technical lemma for bnj69 33679. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1145.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj1145.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj1145.3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj1145.4 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
bnj1145.5 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
bnj1145.6 (𝜃 ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
Assertion
Ref Expression
bnj1145 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖,𝑗   𝑅,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝜒,𝑗   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑓,𝑗,𝑛)   𝜓(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝜒(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐷(𝑦,𝑓,𝑛)   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem bnj1145
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1145.1 . . 3 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
2 bnj1145.2 . . 3 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3 bnj1145.3 . . 3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4 bnj1145.4 . . 3 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
51, 2, 3, 4bnj882 33595 . 2 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖)
6 ss2iun 4973 . . . 4 (∀𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑓𝐵 𝐴)
7 bnj1145.5 . . . . . . 7 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
87, 4bnj1083 33647 . . . . . 6 (𝑓𝐵 ↔ ∃𝑛𝜒)
92bnj1095 33450 . . . . . . . . 9 (𝜓 → ∀𝑖𝜓)
109, 7bnj1096 33451 . . . . . . . 8 (𝜒 → ∀𝑖𝜒)
113bnj1098 33452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝑛𝐷) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))
127bnj1232 33472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑛𝐷)
13123anim3i 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝑛𝐷))
1411, 13bnj1101 33453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))
15 ancl 546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
1614, 15bnj101 33392 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
17 bnj1145.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
1817imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃) ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
1918exbii 1851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃) ↔ ∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
2016, 19mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃)
21 bnj213 33551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
2221bnj226 33403 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗) → 𝑖 = suc 𝑗)
2417, 23simplbiim 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖 = suc 𝑗)
25 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑖𝑛)
26123ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑛𝐷)
273bnj923 33437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝐷𝑛 ∈ ω)
28 elnn 7814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖𝑛𝑛 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
2927, 28sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖𝑛𝑛𝐷) → 𝑖 ∈ ω)
3025, 26, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑖 ∈ ω)
3117, 30bnj832 33427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖 ∈ ω)
32 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 ∈ V
3332bnj216 33401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = suc 𝑗𝑗𝑖)
34 elnn 7814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑖𝑖 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3533, 34sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 = suc 𝑗𝑖 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3624, 31, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃𝑗 ∈ ω)
3717, 25bnj832 33427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖𝑛)
3824, 37eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → suc 𝑗𝑛)
392bnj589 33578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜓 ↔ ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4039biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜓 → ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4140bnj708 33425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) → ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
42 rsp 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
447, 43sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
45443ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4617, 45bnj832 33427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4736, 38, 46mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))
48 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = suc 𝑗 → ((𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4924, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ((𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5047, 49mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜃 → (𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5122, 50bnj1262 33479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜃 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
5220, 51bnj1023 33449 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
53 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ↔ (𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)))
5453imbi1i 350 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
5554exbii 1851 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
5652, 55mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
571biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
587, 57bnj771 33433 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
59 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = ∅ → (𝑓𝑖) = (𝑓‘∅))
60 bnj213 33551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
61 sseq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → ((𝑓‘∅) ⊆ 𝐴 ↔ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴))
6260, 61mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴)
63 sseq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓𝑖) = (𝑓‘∅) → ((𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 ↔ (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴))
6463biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑖) = (𝑓‘∅) ∧ (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6559, 62, 64syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = ∅ ∧ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6658, 65sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = ∅ ∧ 𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6766adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6856, 67bnj1109 33455 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
69 19.9v 1988 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
7068, 69mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
7170expcom 415 . . . . . . . . 9 (𝜒 → (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
72 fndm 6606 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Fn 𝑛 → dom 𝑓 = 𝑛)
737, 72bnj770 33432 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → dom 𝑓 = 𝑛)
74 eleq2 2823 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑓 = 𝑛 → (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑖𝑛))
7574imbi1d 342 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑓 = 𝑛 → ((𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)))
7673, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜒 → ((𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)))
7771, 76mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜒 → (𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
7810, 77hbralrimi 3138 . . . . . . 7 (𝜒 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
7978exlimiv 1934 . . . . . 6 (∃𝑛𝜒 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
808, 79sylbi 216 . . . . 5 (𝑓𝐵 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
81 ss2iun 4973 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ dom 𝑓 𝐴)
82 bnj1143 33459 . . . . . 6 𝑖 ∈ dom 𝑓 𝐴𝐴
8381, 82sstrdi 3957 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
8480, 83syl 17 . . . 4 (𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
856, 84mprg 3067 . . 3 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑓𝐵 𝐴
864bnj1317 33490 . . . 4 (𝑤𝐵 → ∀𝑓 𝑤𝐵)
8786bnj1146 33460 . . 3 𝑓𝐵 𝐴𝐴
8885, 87sstri 3954 . 2 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴
895, 88eqsstri 3979 1 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3908  wss 3911  c0 4283  {csn 4587   ciun 4955  dom cdm 5634  suc csuc 6320   Fn wfn 6492  cfv 6497  ωcom 7803  w-bnj17 33355   predc-bnj14 33357   trClc-bnj18 33363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fn 6500  df-fv 6505  df-om 7804  df-bnj17 33356  df-bnj14 33358  df-bnj18 33364
This theorem is referenced by:  bnj1147  33663
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