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Theorem bnj1145 31509
Description: Technical lemma for bnj69 31526. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1145.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj1145.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj1145.3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj1145.4 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
bnj1145.5 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
bnj1145.6 (𝜃 ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
Assertion
Ref Expression
bnj1145 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖,𝑗   𝑅,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝜒,𝑗   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑓,𝑗,𝑛)   𝜓(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝜒(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐷(𝑦,𝑓,𝑛)   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem bnj1145
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1145.1 . . 3 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
2 bnj1145.2 . . 3 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3 bnj1145.3 . . 3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4 bnj1145.4 . . 3 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
51, 2, 3, 4bnj882 31444 . 2 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖)
6 ss2iun 4692 . . . 4 (∀𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑓𝐵 𝐴)
7 bnj1145.5 . . . . . . 7 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
87, 4bnj1083 31494 . . . . . 6 (𝑓𝐵 ↔ ∃𝑛𝜒)
92bnj1095 31300 . . . . . . . . 9 (𝜓 → ∀𝑖𝜓)
109, 7bnj1096 31301 . . . . . . . 8 (𝜒 → ∀𝑖𝜒)
113bnj1098 31302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝑛𝐷) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))
127bnj1232 31322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑛𝐷)
13123anim3i 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝑛𝐷))
1411, 13bnj1101 31303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))
15 ancl 540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
1614, 15bnj101 31240 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
17 bnj1145.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
1817imbi2i 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃) ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
1918exbii 1943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃) ↔ ∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
2016, 19mpbir 222 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃)
21 bnj213 31400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
2221bnj226 31251 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
23 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗) → 𝑖 = suc 𝑗)
2417, 23simplbiim 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖 = suc 𝑗)
25 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑖𝑛)
26123ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑛𝐷)
273bnj923 31286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝐷𝑛 ∈ ω)
28 elnn 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖𝑛𝑛 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
2927, 28sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖𝑛𝑛𝐷) → 𝑖 ∈ ω)
3025, 26, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑖 ∈ ω)
3117, 30bnj832 31276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖 ∈ ω)
32 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 ∈ V
3332bnj216 31249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = suc 𝑗𝑗𝑖)
34 elnn 7273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑖𝑖 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3533, 34sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 = suc 𝑗𝑖 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3624, 31, 35syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃𝑗 ∈ ω)
3717, 25bnj832 31276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖𝑛)
3824, 37eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → suc 𝑗𝑛)
392bnj589 31427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜓 ↔ ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4039biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜓 → ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4140bnj708 31274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) → ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
42 rsp 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
447, 43sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
45443ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4617, 45bnj832 31276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4736, 38, 46mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))
48 fveqeq2 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = suc 𝑗 → ((𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4924, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ((𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5047, 49mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜃 → (𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5122, 50bnj1262 31329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜃 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
5220, 51bnj1023 31299 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
53 3anass 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ↔ (𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)))
5453imbi1i 340 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
5554exbii 1943 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
5652, 55mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
571biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
587, 57bnj771 31282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
59 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = ∅ → (𝑓𝑖) = (𝑓‘∅))
60 bnj213 31400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
61 sseq1 3786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → ((𝑓‘∅) ⊆ 𝐴 ↔ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴))
6260, 61mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴)
63 sseq1 3786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓𝑖) = (𝑓‘∅) → ((𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 ↔ (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴))
6463biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑖) = (𝑓‘∅) ∧ (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6559, 62, 64syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = ∅ ∧ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6658, 65sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = ∅ ∧ 𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6766adantrl 707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6856, 67bnj1109 31305 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
69 19.9v 2078 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
7068, 69mpbi 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
7170expcom 402 . . . . . . . . 9 (𝜒 → (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
72 fndm 6168 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Fn 𝑛 → dom 𝑓 = 𝑛)
737, 72bnj770 31281 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → dom 𝑓 = 𝑛)
74 eleq2 2833 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑓 = 𝑛 → (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑖𝑛))
7574imbi1d 332 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑓 = 𝑛 → ((𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)))
7673, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜒 → ((𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)))
7771, 76mpbird 248 . . . . . . . 8 (𝜒 → (𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
7810, 77hbralrimi 3101 . . . . . . 7 (𝜒 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
7978exlimiv 2025 . . . . . 6 (∃𝑛𝜒 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
808, 79sylbi 208 . . . . 5 (𝑓𝐵 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
81 ss2iun 4692 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ dom 𝑓 𝐴)
82 bnj1143 31309 . . . . . 6 𝑖 ∈ dom 𝑓 𝐴𝐴
8381, 82syl6ss 3773 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
8480, 83syl 17 . . . 4 (𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
856, 84mprg 3073 . . 3 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑓𝐵 𝐴
864bnj1317 31340 . . . 4 (𝑤𝐵 → ∀𝑓 𝑤𝐵)
8786bnj1146 31310 . . 3 𝑓𝐵 𝐴𝐴
8885, 87sstri 3770 . 2 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴
895, 88eqsstri 3795 1 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cdif 3729  wss 3732  c0 4079  {csn 4334   ciun 4676  dom cdm 5277  suc csuc 5910   Fn wfn 6063  cfv 6068  ωcom 7263  w-bnj17 31203   predc-bnj14 31205   trClc-bnj18 31211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-tr 4912  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fn 6071  df-fv 6076  df-om 7264  df-bnj17 31204  df-bnj14 31206  df-bnj18 31212
This theorem is referenced by:  bnj1147  31510
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