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Theorem bnj1145 33605
Description: Technical lemma for bnj69 33622. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1145.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj1145.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj1145.3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj1145.4 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
bnj1145.5 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
bnj1145.6 (𝜃 ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
Assertion
Ref Expression
bnj1145 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖,𝑗   𝑅,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝜒,𝑗   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑓,𝑗,𝑛)   𝜓(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝜒(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐷(𝑦,𝑓,𝑛)   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem bnj1145
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1145.1 . . 3 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
2 bnj1145.2 . . 3 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3 bnj1145.3 . . 3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4 bnj1145.4 . . 3 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
51, 2, 3, 4bnj882 33538 . 2 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖)
6 ss2iun 4972 . . . 4 (∀𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑓𝐵 𝐴)
7 bnj1145.5 . . . . . . 7 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
87, 4bnj1083 33590 . . . . . 6 (𝑓𝐵 ↔ ∃𝑛𝜒)
92bnj1095 33393 . . . . . . . . 9 (𝜓 → ∀𝑖𝜓)
109, 7bnj1096 33394 . . . . . . . 8 (𝜒 → ∀𝑖𝜒)
113bnj1098 33395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝑛𝐷) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))
127bnj1232 33415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑛𝐷)
13123anim3i 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝑛𝐷))
1411, 13bnj1101 33396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))
15 ancl 545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
1614, 15bnj101 33335 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
17 bnj1145.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗)))
1817imbi2i 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃) ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
1918exbii 1850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃) ↔ ∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ∧ (𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗))))
2016, 19mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝜃)
21 bnj213 33494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
2221bnj226 33346 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑛𝑖 = suc 𝑗) → 𝑖 = suc 𝑗)
2417, 23simplbiim 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖 = suc 𝑗)
25 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑖𝑛)
26123ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑛𝐷)
273bnj923 33380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝐷𝑛 ∈ ω)
28 elnn 7813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖𝑛𝑛 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
2927, 28sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖𝑛𝑛𝐷) → 𝑖 ∈ ω)
3025, 26, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → 𝑖 ∈ ω)
3117, 30bnj832 33370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖 ∈ ω)
32 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 ∈ V
3332bnj216 33344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = suc 𝑗𝑗𝑖)
34 elnn 7813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑖𝑖 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3533, 34sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 = suc 𝑗𝑖 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
3624, 31, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃𝑗 ∈ ω)
3717, 25bnj832 33370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃𝑖𝑛)
3824, 37eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → suc 𝑗𝑛)
392bnj589 33521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜓 ↔ ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4039biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜓 → ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4140bnj708 33368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) → ∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
42 rsp 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑗 ∈ ω (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
447, 43sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
45443ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4617, 45bnj832 33370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → (𝑗 ∈ ω → (suc 𝑗𝑛 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
4736, 38, 46mp2d 49 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))
48 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = suc 𝑗 → ((𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4924, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ((𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑓‘suc 𝑗) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5047, 49mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜃 → (𝑓𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑗) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5122, 50bnj1262 33422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜃 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
5220, 51bnj1023 33392 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
53 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) ↔ (𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)))
5453imbi1i 349 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
5554exbii 1850 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ 𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
5652, 55mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 𝑗((𝑖 ≠ ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
571biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
587, 57bnj771 33376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
59 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = ∅ → (𝑓𝑖) = (𝑓‘∅))
60 bnj213 33494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
61 sseq1 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → ((𝑓‘∅) ⊆ 𝐴 ↔ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴))
6260, 61mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) → (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴)
63 sseq1 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓𝑖) = (𝑓‘∅) → ((𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 ↔ (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴))
6463biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑖) = (𝑓‘∅) ∧ (𝑓‘∅) ⊆ 𝐴) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6559, 62, 64syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = ∅ ∧ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6658, 65sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = ∅ ∧ 𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6766adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = ∅ ∧ (𝑖𝑛𝜒)) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
6856, 67bnj1109 33398 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
69 19.9v 1987 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
7068, 69mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑛𝜒) → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
7170expcom 414 . . . . . . . . 9 (𝜒 → (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
72 fndm 6605 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Fn 𝑛 → dom 𝑓 = 𝑛)
737, 72bnj770 33375 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → dom 𝑓 = 𝑛)
74 eleq2 2826 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑓 = 𝑛 → (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑖𝑛))
7574imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑓 = 𝑛 → ((𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)))
7673, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜒 → ((𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑖𝑛 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)))
7771, 76mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜒 → (𝑖 ∈ dom 𝑓 → (𝑓𝑖) ⊆ 𝐴))
7810, 77hbralrimi 3141 . . . . . . 7 (𝜒 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
7978exlimiv 1933 . . . . . 6 (∃𝑛𝜒 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
808, 79sylbi 216 . . . . 5 (𝑓𝐵 → ∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
81 ss2iun 4972 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑖 ∈ dom 𝑓 𝐴)
82 bnj1143 33402 . . . . . 6 𝑖 ∈ dom 𝑓 𝐴𝐴
8381, 82sstrdi 3956 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
8480, 83syl 17 . . . 4 (𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴)
856, 84mprg 3070 . . 3 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝑓𝐵 𝐴
864bnj1317 33433 . . . 4 (𝑤𝐵 → ∀𝑓 𝑤𝐵)
8786bnj1146 33403 . . 3 𝑓𝐵 𝐴𝐴
8885, 87sstri 3953 . 2 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ⊆ 𝐴
895, 88eqsstri 3978 1 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   ciun 4954  dom cdm 5633  suc csuc 6319   Fn wfn 6491  cfv 6496  ωcom 7802  w-bnj17 33298   predc-bnj14 33300   trClc-bnj18 33306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fn 6499  df-fv 6504  df-om 7803  df-bnj17 33299  df-bnj14 33301  df-bnj18 33307
This theorem is referenced by:  bnj1147  33606
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