Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfelhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfelhf 34819
Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfelhf ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ Hf ) β†’ 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfelhf
StepHypRef Expression
1 rankelg 34806 . . 3 ((𝐡 ∈ Hf ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (rankβ€˜π΅))
21ancoms 460 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ Hf ) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (rankβ€˜π΅))
3 elhf2g 34814 . . . 4 (𝐡 ∈ Hf β†’ (𝐡 ∈ Hf ↔ (rankβ€˜π΅) ∈ Ο‰))
43ibi 267 . . 3 (𝐡 ∈ Hf β†’ (rankβ€˜π΅) ∈ Ο‰)
5 elnn 7817 . . . . . 6 (((rankβ€˜π΄) ∈ (rankβ€˜π΅) ∧ (rankβ€˜π΅) ∈ Ο‰) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ Ο‰)
6 elhf2g 34814 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 ∈ Hf ↔ (rankβ€˜π΄) ∈ Ο‰))
75, 6syl5ibr 246 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (((rankβ€˜π΄) ∈ (rankβ€˜π΅) ∧ (rankβ€˜π΅) ∈ Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ Hf ))
87expcomd 418 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ ((rankβ€˜π΅) ∈ Ο‰ β†’ ((rankβ€˜π΄) ∈ (rankβ€˜π΅) β†’ 𝐴 ∈ Hf )))
98imp 408 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ (rankβ€˜π΅) ∈ Ο‰) β†’ ((rankβ€˜π΄) ∈ (rankβ€˜π΅) β†’ 𝐴 ∈ Hf ))
104, 9sylan2 594 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ Hf ) β†’ ((rankβ€˜π΄) ∈ (rankβ€˜π΅) β†’ 𝐴 ∈ Hf ))
112, 10mpd 15 1 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ Hf ) β†’ 𝐴 ∈ Hf )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806  rankcrnk 9707   Hf chf 34810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-r1 9708  df-rank 9709  df-hf 34811
This theorem is referenced by:  hftr  34820  hfext  34821
  Copyright terms: Public domain W3C validator