Theorem hfelhf 34483

Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfelhf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfelhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankelg 34470	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Hf ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
2	1	ancoms 459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
3		elhf2g 34478	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Hf → (𝐵 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐵) ∈ ω))
4	3	ibi 266	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Hf → (rank‘𝐵) ∈ ω)
5		elnn 7723	. . . . . 6 ⊢ (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		elhf2g 34478	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
7	5, 6	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ Hf ))
8	7	expcomd 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rank‘𝐵) ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf )))
9	8	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
10	4, 9	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
11	2, 10	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  ωcom 7712  rankcrnk 9521   Hf chf 34474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-reg 9351  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-r1 9522  df-rank 9523  df-hf 34475

This theorem is referenced by:  hftr  34484  hfext  34485