Theorem hfelhf 9951

Description: Any member of a hereditarily finite set is itself a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.) Avoid ax-reg 9623, ax-inf2 9679. (Revised by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfelhf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ HF ) → 𝐴 ∈ HF )

Proof of Theorem hfelhf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhf4 9949	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HF ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ HF ))
2	1	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HF → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ HF )
3		eleq1 2852	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ HF ↔ 𝐴 ∈ HF ))
4	3	rspcva 3578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ HF ) → 𝐴 ∈ HF )
5	2, 4	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ HF ) → 𝐴 ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Fincfn 9011   HF chf 9941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015  df-r1 9805  df-rank 9806  df-hf 9942

This theorem is used by:  elhf3OLD  9960  hfuni  9961  hftr  37148  hfext  37149