Theorem hfelhf 36761

Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfelhf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfelhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankelg 36748	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Hf ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
2	1	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
3		elhf2g 36756	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Hf → (𝐵 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐵) ∈ ω))
4	3	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Hf → (rank‘𝐵) ∈ ω)
5		elnn 7873	. . . . . 6 ⊢ (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		elhf2g 36756	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
7	5, 6	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ Hf ))
8	7	expcomd 422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rank‘𝐵) ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf )))
9	8	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
10	4, 9	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
11	2, 10	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  ωcom 7862  rankcrnk 9745   Hf chf 36752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-reg 9564  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-r1 9746  df-rank 9747  df-hf 36753

This theorem is used by:  hftr  36762  hfext  36763