Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfelhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfelhf 34756
Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfelhf ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfelhf
StepHypRef Expression
1 rankelg 34743 . . 3 ((𝐵 ∈ Hf ∧ 𝐴𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
21ancoms 459 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Hf ) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
3 elhf2g 34751 . . . 4 (𝐵 ∈ Hf → (𝐵 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐵) ∈ ω))
43ibi 266 . . 3 (𝐵 ∈ Hf → (rank‘𝐵) ∈ ω)
5 elnn 7812 . . . . . 6 (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6 elhf2g 34751 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
75, 6syl5ibr 245 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ Hf ))
87expcomd 417 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((rank‘𝐵) ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf )))
98imp 407 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
104, 9sylan2 593 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Hf ) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
112, 10mpd 15 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  cfv 6496  ωcom 7801  rankcrnk 9698   Hf chf 34747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-reg 9527  ax-inf2 9576
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-r1 9699  df-rank 9700  df-hf 34748
This theorem is referenced by:  hftr  34757  hfext  34758
  Copyright terms: Public domain W3C validator