Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfelhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfelhf 34054
 Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfelhf ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfelhf
StepHypRef Expression
1 rankelg 34041 . . 3 ((𝐵 ∈ Hf ∧ 𝐴𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
21ancoms 462 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Hf ) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
3 elhf2g 34049 . . . 4 (𝐵 ∈ Hf → (𝐵 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐵) ∈ ω))
43ibi 270 . . 3 (𝐵 ∈ Hf → (rank‘𝐵) ∈ ω)
5 elnn 7589 . . . . . 6 (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6 elhf2g 34049 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
75, 6syl5ibr 249 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ Hf ))
87expcomd 420 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((rank‘𝐵) ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf )))
98imp 410 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
104, 9sylan2 595 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Hf ) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
112, 10mpd 15 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  ωcom 7579  rankcrnk 9225   Hf chf 34045 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-reg 9089  ax-inf2 9137 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-r1 9226  df-rank 9227  df-hf 34046 This theorem is referenced by:  hftr  34055  hfext  34056
 Copyright terms: Public domain W3C validator