Theorem hfelhf 36382

Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfelhf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfelhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankelg 36369	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Hf ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
3		elhf2g 36377	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Hf → (𝐵 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐵) ∈ ω))
4	3	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Hf → (rank‘𝐵) ∈ ω)
5		elnn 7822	. . . . . 6 ⊢ (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		elhf2g 36377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
7	5, 6	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ Hf ))
8	7	expcomd 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rank‘𝐵) ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf )))
9	8	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
10	4, 9	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
11	2, 10	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  ωcom 7811  rankcrnk 9681   Hf chf 36373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-reg 9501  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-r1 9682  df-rank 9683  df-hf 36374

This theorem is referenced by:  hftr  36383  hfext  36384