Theorem hfelhf 36174

Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfelhf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfelhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankelg 36161	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Hf ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))
3		elhf2g 36169	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Hf → (𝐵 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐵) ∈ ω))
4	3	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Hf → (rank‘𝐵) ∈ ω)
5		elnn 7817	. . . . . 6 ⊢ (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → (rank‘𝐴) ∈ ω)
6		elhf2g 36169	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
7	5, 6	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ Hf ))
8	7	expcomd 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((rank‘𝐵) ∈ ω → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf )))
9	8	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (rank‘𝐵) ∈ ω) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
10	4, 9	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵) → 𝐴 ∈ Hf ))
11	2, 10	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Hf ) → 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  ωcom 7806  rankcrnk 9678   Hf chf 36165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-r1 9679  df-rank 9680  df-hf 36166

This theorem is referenced by:  hftr  36175  hfext  36176