MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfseqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwfseqlem3 10658
Description: Lemma for pwfseq 10662. Using the construction 𝐷 from pwfseqlem1 10656, produce a function 𝐹 that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝒫 𝐴–1-1β†’βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛))
pwfseqlem4.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
pwfseqlem4.h (πœ‘ β†’ 𝐻:ω–1-1-onto→𝑋)
pwfseqlem4.ps (πœ“ ↔ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘₯))
pwfseqlem4.k ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐾:βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)–1-1β†’π‘₯)
pwfseqlem4.d 𝐷 = (πΊβ€˜{𝑀 ∈ π‘₯ ∣ ((β—‘πΎβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘πΊβ€˜(β—‘πΎβ€˜π‘€)))})
pwfseqlem4.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑛,π‘Ÿ,𝑀,π‘₯,𝑧   𝐷,𝑛,𝑧   𝑀,𝐺   𝑀,𝐾   𝐻,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ“,𝑛,𝑧   𝐴,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀)   πœ“(π‘₯,𝑀,π‘Ÿ)   𝐴(𝑀)   𝐷(π‘₯,𝑀,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑧,𝑛,π‘Ÿ)   𝐻(𝑀,𝑛)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑛,π‘Ÿ)   𝑋(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑛,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . . . 4 π‘₯ ∈ V
2 vex 3477 . . . 4 π‘Ÿ ∈ V
3 fvex 6905 . . . . 5 (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)) ∈ V
4 fvex 6905 . . . . 5 (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ V
53, 4ifex 4579 . . . 4 if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})) ∈ V
6 pwfseqlem4.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
76ovmpt4g 7558 . . . 4 ((π‘₯ ∈ V ∧ π‘Ÿ ∈ V ∧ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})) ∈ V) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) = if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
81, 2, 5, 7mp3an 1460 . . 3 (π‘₯πΉπ‘Ÿ) = if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}))
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8 (πœ“ ↔ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘₯))
109simprbi 496 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ Ο‰ β‰Ό π‘₯)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ο‰ β‰Ό π‘₯)
12 domnsym 9102 . . . . . 6 (Ο‰ β‰Ό π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ β‰Ί Ο‰)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ π‘₯ β‰Ί Ο‰)
14 isfinite 9650 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Fin ↔ π‘₯ β‰Ί Ο‰)
1513, 14sylnibr 328 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ Fin)
1615iffalsed 4540 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})) = (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}))
178, 16eqtrid 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) = (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}))
18 pwfseqlem4.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝒫 𝐴–1-1β†’βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛))
19 pwfseqlem4.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
20 pwfseqlem4.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻:ω–1-1-onto→𝑋)
21 pwfseqlem4.k . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐾:βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)–1-1β†’π‘₯)
22 pwfseqlem4.d . . . . . . 7 𝐷 = (πΊβ€˜{𝑀 ∈ π‘₯ ∣ ((β—‘πΎβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘πΊβ€˜(β—‘πΎβ€˜π‘€)))})
2318, 19, 20, 9, 21, 22pwfseqlem1 10656 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐷 ∈ (βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)))
24 eldif 3959 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)) ↔ (𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) ∧ Β¬ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)))
2523, 24sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) ∧ Β¬ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)))
2625simpld 494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛))
27 eliun 5002 . . . 4 (𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) ↔ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))
2826, 27sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))
29 elmapi 8846 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛) β†’ 𝐷:π‘›βŸΆπ΄)
3029ad2antll 726 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ 𝐷:π‘›βŸΆπ΄)
31 ssiun2 5051 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ (π‘₯ ↑m 𝑛) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛))
3231ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (π‘₯ ↑m 𝑛) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛))
3325simprd 495 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛))
3433adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛))
3532, 34ssneldd 3986 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ (π‘₯ ↑m 𝑛))
36 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
371, 36elmap 8868 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (π‘₯ ↑m 𝑛) ↔ 𝐷:π‘›βŸΆπ‘₯)
38 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (𝐷:π‘›βŸΆπ΄ β†’ 𝐷 Fn 𝑛)
39 ffnfv 7121 . . . . . . . . . 10 (𝐷:π‘›βŸΆπ‘₯ ↔ (𝐷 Fn 𝑛 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
4039baib 535 . . . . . . . . 9 (𝐷 Fn 𝑛 β†’ (𝐷:π‘›βŸΆπ‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
4130, 38, 403syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (𝐷:π‘›βŸΆπ‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
4237, 41bitrid 282 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (𝐷 ∈ (π‘₯ ↑m 𝑛) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
4335, 42mtbid 323 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
44 nnon 7864 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ 𝑛 ∈ On)
4544ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ 𝑛 ∈ On)
46 ssrab2 4078 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} βŠ† Ο‰
47 omsson 7862 . . . . . . . . . 10 Ο‰ βŠ† On
4846, 47sstri 3992 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} βŠ† On
49 ordom 7868 . . . . . . . . . . . . 13 Ord Ο‰
50 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ 𝑛 ∈ Ο‰)
51 ordelss 6381 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord Ο‰ ∧ 𝑛 ∈ Ο‰) β†’ 𝑛 βŠ† Ο‰)
5249, 50, 51sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ 𝑛 βŠ† Ο‰)
53 rexnal 3099 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑛 Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
5443, 53sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑛 Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
55 ssrexv 4052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 βŠ† Ο‰ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑛 Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
5652, 54, 55sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
57 rabn0 4386 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
5856, 57sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β‰  βˆ…)
59 onint 7781 . . . . . . . . . 10 (({𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} βŠ† On ∧ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})
6048, 58, 59sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})
6148, 60sselid 3981 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ On)
62 ontri1 6399 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ On ∧ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ On) β†’ (𝑛 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ↔ Β¬ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ 𝑛))
6345, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (𝑛 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ↔ Β¬ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ 𝑛))
64 ssintrab 4976 . . . . . . . 8 (𝑛 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ↔ βˆ€π‘§ ∈ Ο‰ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧))
65 nnon 7864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ 𝑧 ∈ On)
66 ontri1 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) β†’ (𝑛 βŠ† 𝑧 ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑛))
6744, 65, 66syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (𝑛 βŠ† 𝑧 ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑛))
6867imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧) ↔ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑛)))
69 con34b 315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ↔ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑛))
7068, 69bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
7170pm5.74da 801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))))
72 bi2.04 387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
7371, 72bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))))
74 elnn 7869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ Ο‰) β†’ 𝑧 ∈ Ο‰)
75 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯) β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯) β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
7776expcom 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯) β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
7877a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
7973, 78sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
8079ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
8180ralimdv2 3162 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ Ο‰ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
8264, 81biimtrid 241 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (𝑛 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
8363, 82sylbird 259 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (Β¬ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ 𝑛 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
8443, 83mt3d 148 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ 𝑛)
8530, 84ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ 𝐴)
86 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ (π·β€˜π‘¦) = (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}))
8786eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ ((π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯))
8887notbid 317 . . . . . . 7 (𝑦 = ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯))
89 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π·β€˜π‘§) = (π·β€˜π‘¦))
9089eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ (π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
9190notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ (π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
9291cbvrabv 3441 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯}
9388, 92elrab2 3687 . . . . . 6 (∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ↔ (∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯))
9493simprbi 496 . . . . 5 (∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ Β¬ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯)
9560, 94syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ Β¬ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯)
9685, 95eldifd 3960 . . 3 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
9728, 96rexlimddv 3160 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
9817, 97eqeltrd 2832 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βˆ© cint 4951  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   We wwe 5631   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678  Ord word 6364  Oncon0 6365   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Ο‰com 7858   ↑m cmap 8823   β‰Ό cdom 8940   β‰Ί csdm 8941  Fincfn 8942  cardccrd 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946
This theorem is referenced by:  pwfseqlem4a  10659  pwfseqlem4  10660
  Copyright terms: Public domain W3C validator