MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfseqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwfseqlem3 10603
Description: Lemma for pwfseq 10607. Using the construction 𝐷 from pwfseqlem1 10601, produce a function 𝐹 that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝒫 𝐴–1-1β†’βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛))
pwfseqlem4.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
pwfseqlem4.h (πœ‘ β†’ 𝐻:ω–1-1-onto→𝑋)
pwfseqlem4.ps (πœ“ ↔ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘₯))
pwfseqlem4.k ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐾:βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)–1-1β†’π‘₯)
pwfseqlem4.d 𝐷 = (πΊβ€˜{𝑀 ∈ π‘₯ ∣ ((β—‘πΎβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘πΊβ€˜(β—‘πΎβ€˜π‘€)))})
pwfseqlem4.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑛,π‘Ÿ,𝑀,π‘₯,𝑧   𝐷,𝑛,𝑧   𝑀,𝐺   𝑀,𝐾   𝐻,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ“,𝑛,𝑧   𝐴,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀)   πœ“(π‘₯,𝑀,π‘Ÿ)   𝐴(𝑀)   𝐷(π‘₯,𝑀,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑧,𝑛,π‘Ÿ)   𝐻(𝑀,𝑛)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑛,π‘Ÿ)   𝑋(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑛,π‘Ÿ)

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3452 . . . 4 π‘₯ ∈ V
2 vex 3452 . . . 4 π‘Ÿ ∈ V
3 fvex 6860 . . . . 5 (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)) ∈ V
4 fvex 6860 . . . . 5 (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ V
53, 4ifex 4541 . . . 4 if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})) ∈ V
6 pwfseqlem4.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
76ovmpt4g 7507 . . . 4 ((π‘₯ ∈ V ∧ π‘Ÿ ∈ V ∧ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})) ∈ V) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) = if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
81, 2, 5, 7mp3an 1462 . . 3 (π‘₯πΉπ‘Ÿ) = if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}))
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8 (πœ“ ↔ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘₯))
109simprbi 498 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ Ο‰ β‰Ό π‘₯)
1110adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ο‰ β‰Ό π‘₯)
12 domnsym 9050 . . . . . 6 (Ο‰ β‰Ό π‘₯ β†’ Β¬ π‘₯ β‰Ί Ο‰)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ π‘₯ β‰Ί Ο‰)
14 isfinite 9595 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Fin ↔ π‘₯ β‰Ί Ο‰)
1513, 14sylnibr 329 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ Fin)
1615iffalsed 4502 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})) = (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}))
178, 16eqtrid 2789 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) = (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}))
18 pwfseqlem4.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝒫 𝐴–1-1β†’βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛))
19 pwfseqlem4.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
20 pwfseqlem4.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻:ω–1-1-onto→𝑋)
21 pwfseqlem4.k . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐾:βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)–1-1β†’π‘₯)
22 pwfseqlem4.d . . . . . . 7 𝐷 = (πΊβ€˜{𝑀 ∈ π‘₯ ∣ ((β—‘πΎβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘πΊβ€˜(β—‘πΎβ€˜π‘€)))})
2318, 19, 20, 9, 21, 22pwfseqlem1 10601 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐷 ∈ (βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)))
24 eldif 3925 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)) ↔ (𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) ∧ Β¬ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)))
2523, 24sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) ∧ Β¬ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)))
2625simpld 496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛))
27 eliun 4963 . . . 4 (𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛) ↔ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))
2826, 27sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))
29 elmapi 8794 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛) β†’ 𝐷:π‘›βŸΆπ΄)
3029ad2antll 728 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ 𝐷:π‘›βŸΆπ΄)
31 ssiun2 5012 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ (π‘₯ ↑m 𝑛) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛))
3231ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (π‘₯ ↑m 𝑛) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛))
3325simprd 497 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛))
3433adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛))
3532, 34ssneldd 3952 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ (π‘₯ ↑m 𝑛))
36 vex 3452 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
371, 36elmap 8816 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (π‘₯ ↑m 𝑛) ↔ 𝐷:π‘›βŸΆπ‘₯)
38 ffn 6673 . . . . . . . . 9 (𝐷:π‘›βŸΆπ΄ β†’ 𝐷 Fn 𝑛)
39 ffnfv 7071 . . . . . . . . . 10 (𝐷:π‘›βŸΆπ‘₯ ↔ (𝐷 Fn 𝑛 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
4039baib 537 . . . . . . . . 9 (𝐷 Fn 𝑛 β†’ (𝐷:π‘›βŸΆπ‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
4130, 38, 403syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (𝐷:π‘›βŸΆπ‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
4237, 41bitrid 283 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (𝐷 ∈ (π‘₯ ↑m 𝑛) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
4335, 42mtbid 324 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
44 nnon 7813 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ 𝑛 ∈ On)
4544ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ 𝑛 ∈ On)
46 ssrab2 4042 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} βŠ† Ο‰
47 omsson 7811 . . . . . . . . . 10 Ο‰ βŠ† On
4846, 47sstri 3958 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} βŠ† On
49 ordom 7817 . . . . . . . . . . . . 13 Ord Ο‰
50 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ 𝑛 ∈ Ο‰)
51 ordelss 6338 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord Ο‰ ∧ 𝑛 ∈ Ο‰) β†’ 𝑛 βŠ† Ο‰)
5249, 50, 51sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ 𝑛 βŠ† Ο‰)
53 rexnal 3104 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑛 Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
5443, 53sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑛 Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
55 ssrexv 4016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 βŠ† Ο‰ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑛 Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
5652, 54, 55sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
57 rabn0 4350 . . . . . . . . . . 11 ({𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ ∈ Ο‰ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)
5856, 57sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β‰  βˆ…)
59 onint 7730 . . . . . . . . . 10 (({𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} βŠ† On ∧ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})
6048, 58, 59sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})
6148, 60sselid 3947 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ On)
62 ontri1 6356 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ On ∧ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ On) β†’ (𝑛 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ↔ Β¬ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ 𝑛))
6345, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (𝑛 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ↔ Β¬ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ 𝑛))
64 ssintrab 4937 . . . . . . . 8 (𝑛 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ↔ βˆ€π‘§ ∈ Ο‰ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧))
65 nnon 7813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ 𝑧 ∈ On)
66 ontri1 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) β†’ (𝑛 βŠ† 𝑧 ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑛))
6744, 65, 66syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (𝑛 βŠ† 𝑧 ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑛))
6867imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧) ↔ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑛)))
69 con34b 316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ↔ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑛))
7068, 69bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
7170pm5.74da 803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))))
72 bi2.04 389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
7371, 72bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))))
74 elnn 7818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ Ο‰) β†’ 𝑧 ∈ Ο‰)
75 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯) β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯) β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
7776expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯) β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
7877a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
7973, 78sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
8079ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ ((𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
8180ralimdv2 3161 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ Ο‰ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ β†’ 𝑛 βŠ† 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
8264, 81biimtrid 241 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (𝑛 βŠ† ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
8363, 82sylbird 260 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (Β¬ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ 𝑛 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑛 (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯))
8443, 83mt3d 148 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ 𝑛)
8530, 84ffvelcdmd 7041 . . . 4 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ 𝐴)
86 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ (π·β€˜π‘¦) = (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}))
8786eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ ((π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯))
8887notbid 318 . . . . . . 7 (𝑦 = ∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯))
89 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π·β€˜π‘§) = (π·β€˜π‘¦))
9089eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ (π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
9190notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 β†’ (Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ Β¬ (π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
9291cbvrabv 3420 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} = {𝑦 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘¦) ∈ π‘₯}
9388, 92elrab2 3653 . . . . . 6 (∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ↔ (∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯))
9493simprbi 498 . . . . 5 (∩ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} ∈ {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯} β†’ Β¬ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯)
9560, 94syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ Β¬ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ π‘₯)
9685, 95eldifd 3926 . . 3 (((πœ‘ ∧ πœ“) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ∧ 𝐷 ∈ (𝐴 ↑m 𝑛))) β†’ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
9728, 96rexlimddv 3159 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯}) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
9817, 97eqeltrd 2838 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565  βˆ© cint 4912  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   We wwe 5592   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639  Ord word 6321  Oncon0 6322   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Ο‰com 7807   ↑m cmap 8772   β‰Ό cdom 8888   β‰Ί csdm 8889  Fincfn 8890  cardccrd 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  pwfseqlem4a  10604  pwfseqlem4  10605
  Copyright terms: Public domain W3C validator