Theorem elpadd 40633

Description: Member of a projective subspace sum. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐾   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞,𝑟   𝑆,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟, 𝑞)   𝐵(𝑟, 𝑞)   + (𝑟, 𝑞)   ∨ (𝑟, 𝑞)   ≤ (𝑟, 𝑞)   𝑋(𝑟)

Proof of Theorem elpadd

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	paddval 40632	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)}))
6	5	eleq2d 2851	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ 𝑆 ∈ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)})))
7		elun 4107	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)}) ↔ (𝑆 ∈ (𝑋 ∪ 𝑌) ∨ 𝑆 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)}))
8		elun 4107	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∪ 𝑌) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌))
9		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑆 → (𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
10	9	2rexbidv 3232	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑆 → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
11	10	elrab 3652	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)} ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))
12	8, 11	orbi12i 928	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (𝑋 ∪ 𝑌) ∨ 𝑆 ∈ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)}) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
13	7, 12	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)}) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟))))
14	6, 13	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∨ 𝑆 ∈ 𝑌) ∨ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑆 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  lecple 17341  joincjn 18391  Atomscatm 40097  +_𝑃cpadd 40629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-padd 40630

This theorem is used by:  elpaddn0  40634  elpadd0  40643  paddss1  40651  paddss2  40652  paddidm  40675  paddclN  40676  pmapjoin  40686