Theorem paddss2 40876

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss2 4185 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem paddss2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝 ∈ 𝑌))
2	1	orim2d 982	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌)))
3		ssrexv 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
4	3	reximdv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
5	4	anim2d 624	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
6	2, 5	orim12d 979	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐵)
9		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
10		sstr 3916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11	10	3ad2antr2 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	11	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15		padd0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16		padd0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
17	13, 14, 15, 16	elpadd 40857	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
18	8, 9, 12, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
20	13, 14, 15, 16	elpadd 40857	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
21	8, 9, 19, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
22	7, 18, 21	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) → 𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌)))
23	22	ssrdv 3914	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌))
24	23	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  lecple 17435  joincjn 18485  Atomscatm 40321  +_𝑃cpadd 40853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-padd 40854

This theorem is used by:  paddss12  40877  pmod1i  40906