Theorem paddss2 37759

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss2 4111 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem paddss2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝 ∈ 𝑌))
2	1	orim2d 963	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌)))
3		ssrexv 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
4	3	reximdv 3201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
5	4	anim2d 611	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
6	2, 5	orim12d 961	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8		simpl1 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐵)
9		simpl3 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
10		sstr 3925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11	10	3ad2antr2 1187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	11	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15		padd0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16		padd0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
17	13, 14, 15, 16	elpadd 37740	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
18	8, 9, 12, 17	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19		simpl2 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
20	13, 14, 15, 16	elpadd 37740	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
21	8, 9, 19, 20	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
22	7, 18, 21	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) → 𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌)))
23	22	ssrdv 3923	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌))
24	23	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  lecple 16895  joincjn 17944  Atomscatm 37204  +_𝑃cpadd 37736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-padd 37737

This theorem is referenced by:  paddss12  37760  pmod1i  37789