Theorem paddss2 39775

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss2 4210 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem paddss2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 4002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝 ∈ 𝑌))
2	1	orim2d 967	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → (𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌)))
3		ssrexv 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
4	3	reximdv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
5	4	anim2d 611	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
6	2, 5	orim12d 965	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐵)
9		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
10		sstr 4017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11	10	3ad2antr2 1189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	11	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15		padd0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16		padd0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
17	13, 14, 15, 16	elpadd 39756	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
18	8, 9, 12, 17	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
20	13, 14, 15, 16	elpadd 39756	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
21	8, 9, 19, 20	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑍 ∨ 𝑝 ∈ 𝑌) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑍 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
22	7, 18, 21	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) → 𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌)))
23	22	ssrdv 4014	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌))
24	23	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  lecple 17318  joincjn 18381  Atomscatm 39219  +_𝑃cpadd 39752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-padd 39753

This theorem is referenced by:  paddss12  39776  pmod1i  39805