Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss2 37569
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss2 4095 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss2 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem paddss2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3893 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (𝑝𝑋𝑝𝑌))
21orim2d 967 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝑍𝑝𝑋) → (𝑝𝑍𝑝𝑌)))
3 ssrexv 3968 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌 → (∃𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
43reximdv 3192 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
54anim2d 615 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
62, 5orim12d 965 . . . . 5 (𝑋𝑌 → (((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
76adantl 485 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8 simpl1 1193 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾𝐵)
9 simpl3 1195 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑍𝐴)
10 sstr 3909 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
11103ad2antr2 1191 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
1211ancoms 462 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
13 eqid 2737 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15 padd0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16 padd0.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
1713, 14, 15, 16elpadd 37550 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝐴𝑋𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
188, 9, 12, 17syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19 simpl2 1194 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑌𝐴)
2013, 14, 15, 16elpadd 37550 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
218, 9, 19, 20syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
227, 18, 213imtr4d 297 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) → 𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌)))
2322ssrdv 3907 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌))
2423ex 416 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  wss 3866   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  lecple 16809  joincjn 17818  Atomscatm 37014  +𝑃cpadd 37546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-padd 37547
This theorem is referenced by:  paddss12  37570  pmod1i  37599
  Copyright terms: Public domain W3C validator