Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss1 39516
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 4180 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3973 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (𝑝𝑋𝑝𝑌))
21orim1d 963 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝑋𝑝𝑍) → (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
3 ssrexv 4049 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
43anim2d 610 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
52, 4orim12d 962 . . . . 5 (𝑋𝑌 → (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
65adantl 480 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾𝐵)
8 sstr 3988 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
983ad2antr2 1186 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
109ancoms 457 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
11 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑍𝐴)
12 eqid 2726 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 eqid 2726 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14 padd0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 padd0.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
1612, 13, 14, 15elpadd 39498 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑍𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
177, 10, 11, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
1812, 13, 14, 15elpadd 39498 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
1918adantr 479 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
206, 17, 193imtr4d 293 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
2120ssrdv 3985 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
2221ex 411 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  wss 3947   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  lecple 17273  joincjn 18336  Atomscatm 38961  +𝑃cpadd 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-padd 39495
This theorem is referenced by:  paddss12  39518  paddasslem12  39530  pmod1i  39547  pl42lem3N  39680
  Copyright terms: Public domain W3C validator