Theorem paddss1 39516

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 4180 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝 ∈ 𝑌))
2	1	orim1d 963	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) → (𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍)))
3		ssrexv 4049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
4	3	anim2d 610	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
5	2, 4	orim12d 962	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
6	5	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐵)
8		sstr 3988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
9	8	3ad2antr2 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
10	9	ancoms 457	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
12		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		padd0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15		padd0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	12, 13, 14, 15	elpadd 39498	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
17	7, 10, 11, 16	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
18	12, 13, 14, 15	elpadd 39498	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19	18	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
20	6, 17, 19	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
21	20	ssrdv 3985	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
22	21	ex 411	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  lecple 17273  joincjn 18336  Atomscatm 38961  +_𝑃cpadd 39494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-padd 39495

This theorem is referenced by:  paddss12  39518  paddasslem12  39530  pmod1i  39547  pl42lem3N  39680