Theorem paddss1 36952

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 4154 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝 ∈ 𝑌))
2	1	orim1d 962	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) → (𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍)))
3		ssrexv 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
4	3	anim2d 613	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
5	2, 4	orim12d 961	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
6	5	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐵)
8		sstr 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
9	8	3ad2antr2 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
10	9	ancoms 461	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11		simpl3 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
12		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		padd0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15		padd0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	12, 13, 14, 15	elpadd 36934	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
17	7, 10, 11, 16	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
18	12, 13, 14, 15	elpadd 36934	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19	18	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
20	6, 17, 19	3imtr4d 296	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
21	20	ssrdv 3972	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
22	21	ex 415	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  lecple 16571  joincjn 17553  Atomscatm 36398  +_𝑃cpadd 36930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-padd 36931

This theorem is referenced by:  paddss12  36954  paddasslem12  36966  pmod1i  36983  pl42lem3N  37116