Theorem paddss1 39799

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 4194 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝 ∈ 𝑌))
2	1	orim1d 967	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) → (𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍)))
3		ssrexv 4064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
4	3	anim2d 612	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
5	2, 4	orim12d 966	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐵)
8		sstr 4003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
9	8	3ad2antr2 1188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
10	9	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		padd0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15		padd0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	12, 13, 14, 15	elpadd 39781	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
17	7, 10, 11, 16	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
18	12, 13, 14, 15	elpadd 39781	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
20	6, 17, 19	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
21	20	ssrdv 4000	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
22	21	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  lecple 17304  joincjn 18368  Atomscatm 39244  +_𝑃cpadd 39777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-padd 39778

This theorem is referenced by:  paddss12  39801  paddasslem12  39813  pmod1i  39830  pl42lem3N  39963