Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss1 38211
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 4138 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3936 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (𝑝𝑋𝑝𝑌))
21orim1d 965 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝑋𝑝𝑍) → (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
3 ssrexv 4010 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
43anim2d 613 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
52, 4orim12d 964 . . . . 5 (𝑋𝑌 → (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
65adantl 483 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾𝐵)
8 sstr 3951 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
983ad2antr2 1190 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
109ancoms 460 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
11 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑍𝐴)
12 eqid 2738 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 eqid 2738 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14 padd0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 padd0.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
1612, 13, 14, 15elpadd 38193 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑍𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
177, 10, 11, 16syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
1812, 13, 14, 15elpadd 38193 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
1918adantr 482 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
206, 17, 193imtr4d 294 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
2120ssrdv 3949 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
2221ex 414 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3072  wss 3909   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  lecple 17076  joincjn 18136  Atomscatm 37656  +𝑃cpadd 38189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-padd 38190
This theorem is referenced by:  paddss12  38213  paddasslem12  38225  pmod1i  38242  pl42lem3N  38375
  Copyright terms: Public domain W3C validator