Theorem paddss1 37831

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 4113 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝 ∈ 𝑌))
2	1	orim1d 963	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) → (𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍)))
3		ssrexv 3988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
4	3	anim2d 612	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
5	2, 4	orim12d 962	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐵)
8		sstr 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
9	8	3ad2antr2 1188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
10	9	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		padd0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15		padd0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	12, 13, 14, 15	elpadd 37813	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
17	7, 10, 11, 16	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
18	12, 13, 14, 15	elpadd 37813	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
20	6, 17, 19	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
21	20	ssrdv 3927	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
22	21	ex 413	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  lecple 16969  joincjn 18029  Atomscatm 37277  +_𝑃cpadd 37809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-padd 37810

This theorem is referenced by:  paddss12  37833  paddasslem12  37845  pmod1i  37862  pl42lem3N  37995