Theorem paddss1 40446

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 4139 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝑋 → 𝑝 ∈ 𝑌))
2	1	orim1d 979	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) → (𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍)))
3		ssrexv 4008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
4	3	anim2d 621	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
5	2, 4	orim12d 977	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑌 → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
6	5	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7		simpl1 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐵)
8		sstr 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
9	8	3ad2antr2 1204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
10	9	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11		simpl3 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
12		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		padd0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15		padd0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	12, 13, 14, 15	elpadd 40428	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
17	7, 10, 11, 16	syl3anc 1392	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
18	12, 13, 14, 15	elpadd 40428	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑌 ∨ 𝑝 ∈ 𝑍) ∨ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑌 ∃𝑟 ∈ 𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
20	6, 17, 19	3imtr4d 296	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
21	20	ssrdv 3944	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
22	21	ex 416	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  lecple 17295  joincjn 18345  Atomscatm 39892  +_𝑃cpadd 40424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-padd 40425

This theorem is referenced by:  paddss12  40448  paddasslem12  40460  pmod1i  40477  pl42lem3N  40610