Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjoin Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pmapjoin 38711
Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjoin.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapjoin.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmapjoin.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
pmapjoin.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapjoin ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem pmapjoin
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
3 pmapjoin.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4atbase 38147 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
6 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 pmapjoin.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
83, 6, 7latlej1 18397 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
98adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
10 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
11 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
12 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
133, 7latjcl 18388 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
153, 6lattr 18393 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
1610, 11, 12, 14, 15syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
179, 16mpan2d 692 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
1817expimpd 454 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
195, 18sylani 604 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
202, 19jcad 513 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
21 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
233, 6, 7latlej2 18398 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
25 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
263, 6lattr 18393 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2710, 11, 25, 14, 26syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2824, 27mpan2d 692 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2928expimpd 454 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
305, 29sylani 604 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
3122, 30jcad 513 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
3220, 31jaod 857 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
33 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3433a1i 11 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
35 pmapjoin.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
363, 6, 4, 35elpmap 38617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
37363adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
383, 6, 4, 35elpmap 38617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
39383adant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4037, 39anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ))))
41 an4 654 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) ↔ ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4240, 41bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ))))
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ))))
443, 4atbase 38147 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
453, 4atbase 38147 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
4644, 45anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡))
47 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
48 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
49 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
50 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
51 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
523, 6, 7latjlej12 18404 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
5347, 48, 49, 50, 51, 52syl122anc 1379 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
54 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
553, 7latjcl 18388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
5647, 48, 50, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
5713ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
583, 6lattr 18393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
5947, 54, 56, 57, 58syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
6059expcomd 417 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6153, 60syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6261expimpd 454 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6346, 62sylani 604 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6443, 63sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6564rexlimdvv 3210 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
6665expimpd 454 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
675, 66sylani 604 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
6834, 67jcad 513 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6932, 68jaod 857 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
70 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
713, 4, 35pmapssat 38618 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
72713adant3 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
733, 4, 35pmapssat 38618 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
74733adant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
75 pmapjoin.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
766, 7, 4, 75elpadd 38658 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∨ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
7770, 72, 74, 76syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∨ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
783, 6, 4, 35elpmap 38617 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
79783adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
803, 6, 4, 35elpmap 38617 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
81803adant2 1131 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
8279, 81orbi12d 917 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∨ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))))
8382orbi1d 915 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∨ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ↔ (((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
8477, 83bitrd 278 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ (((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
853, 6, 4, 35elpmap 38617 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
8670, 13, 85syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
8769, 84, 863imtr4d 293 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
8887ssrdv 3987 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  pmapcpmap 38356  +𝑃cpadd 38654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-ats 38125  df-pmap 38363  df-padd 38655
This theorem is referenced by:  pmapjat1  38712  hlmod1i  38715  paddunN  38786  pl42lem2N  38839
  Copyright terms: Public domain W3C validator