Theorem pmapjoin 39961

Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjoin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjoin.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjoin.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjoin	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem pmapjoin

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
3		pmapjoin.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ 𝐵)
6		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		pmapjoin.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	3, 6, 7	latlej1 18364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
10		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	3, 7	latjcl 18355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15	3, 6	lattr 18360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
16	10, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
17	9, 16	mpan2d 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
18	17	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
19	5, 18	sylani 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
20	2, 19	jcad 512	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
21		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
23	3, 6, 7	latlej2 18365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
25		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	3, 6	lattr 18360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
27	10, 11, 25, 14, 26	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
28	24, 27	mpan2d 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
29	28	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
30	5, 29	sylani 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
31	22, 30	jcad 512	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
32	20, 31	jaod 859	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
33		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
35		pmapjoin.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
36	3, 6, 4, 35	elpmap 39867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
37	36	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
38	3, 6, 4, 35	elpmap 39867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
39	38	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
40	37, 39	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
41		an4 656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
42	40, 41	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
44	3, 4	atbase 39398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑞 ∈ 𝐵)
45	3, 4	atbase 39398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑟 ∈ 𝐵)
46	44, 45	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))
47		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
48		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
49		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
51		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
52	3, 6, 7	latjlej12 18371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
53	47, 48, 49, 50, 51, 52	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
54		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
55	3, 7	latjcl 18355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
56	47, 48, 50, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
57	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
58	3, 6	lattr 18360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
59	47, 54, 56, 57, 58	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
60	59	expcomd 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
61	53, 60	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
62	61	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
63	46, 62	sylani 604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
64	43, 63	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
65	64	rexlimdvv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
66	65	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
67	5, 66	sylani 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
68	34, 67	jcad 512	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
69	32, 68	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
70		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
71	3, 4, 35	pmapssat 39868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
72	71	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
73	3, 4, 35	pmapssat 39868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
74	73	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
75		pmapjoin.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
76	6, 7, 4, 75	elpadd 39908	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
77	70, 72, 74, 76	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
78	3, 6, 4, 35	elpmap 39867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
79	78	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
80	3, 6, 4, 35	elpmap 39867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
81	80	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
82	79, 81	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))))
83	82	orbi1d 916	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))) ↔ (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
84	77, 83	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
85	3, 6, 4, 35	elpmap 39867	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
86	70, 13, 85	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
87	69, 84, 86	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) → 𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
88	87	ssrdv 3937	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  lecple 17178  joincjn 18227  Latclat 18347  Atomscatm 39372  pmapcpmap 39606  +_𝑃cpadd 39904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-poset 18229  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-lat 18348  df-ats 39376  df-pmap 39613  df-padd 39905

This theorem is referenced by:  pmapjat1  39962  hlmod1i  39965  paddunN  40036  pl42lem2N  40089