Theorem pmapjoin 40488

Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjoin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjoin.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjoin.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjoin	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem pmapjoin

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
3		pmapjoin.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 39925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ 𝐵)
6		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		pmapjoin.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	3, 6, 7	latlej1 18494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
9	8	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
10		simpl1 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
11		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12		simpl2 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	3, 7	latjcl 18485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15	3, 6	lattr 18490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
16	10, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
17	9, 16	mpan2d 706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
18	17	expimpd 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
19	5, 18	sylani 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
20	2, 19	jcad 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
21		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
23	3, 6, 7	latlej2 18495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
24	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
25		simpl3 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	3, 6	lattr 18490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
27	10, 11, 25, 14, 26	syl13anc 1395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
28	24, 27	mpan2d 706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
29	28	expimpd 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
30	5, 29	sylani 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
31	22, 30	jcad 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
32	20, 31	jaod 872	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
33		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
35		pmapjoin.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
36	3, 6, 4, 35	elpmap 40394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
37	36	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
38	3, 6, 4, 35	elpmap 40394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
39	38	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
40	37, 39	anbi12d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
41		an4 668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
42	40, 41	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
43	42	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
44	3, 4	atbase 39925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑞 ∈ 𝐵)
45	3, 4	atbase 39925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑟 ∈ 𝐵)
46	44, 45	anim12i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))
47		simpll1 1229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
48		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
49		simpll2 1230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
51		simpll3 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
52	3, 6, 7	latjlej12 18501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
53	47, 48, 49, 50, 51, 52	syl122anc 1402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
54		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
55	3, 7	latjcl 18485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
56	47, 48, 50, 55	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
57	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
58	3, 6	lattr 18490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
59	47, 54, 56, 57, 58	syl13anc 1395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
60	59	expcomd 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
61	53, 60	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
62	61	expimpd 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
63	46, 62	sylani 615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
64	43, 63	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
65	64	rexlimdvv 3221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
66	65	expimpd 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
67	5, 66	sylani 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
68	34, 67	jcad 521	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
69	32, 68	jaod 872	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
70		simp1 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
71	3, 4, 35	pmapssat 40395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
72	71	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
73	3, 4, 35	pmapssat 40395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
74	73	3adant2 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
75		pmapjoin.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
76	6, 7, 4, 75	elpadd 40435	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
77	70, 72, 74, 76	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
78	3, 6, 4, 35	elpmap 40394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
79	78	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
80	3, 6, 4, 35	elpmap 40394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
81	80	3adant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
82	79, 81	orbi12d 931	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))))
83	82	orbi1d 929	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))) ↔ (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
84	77, 83	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
85	3, 6, 4, 35	elpmap 40394	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
86	70, 13, 85	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
87	69, 84, 86	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) → 𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
88	87	ssrdv 3945	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  lecple 17307  joincjn 18357  Latclat 18477  Atomscatm 39899  pmapcpmap 40133  +_𝑃cpadd 40431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-poset 18359  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-lat 18478  df-ats 39903  df-pmap 40140  df-padd 40432

This theorem is referenced by:  pmapjat1  40489  hlmod1i  40492  paddunN  40563  pl42lem2N  40616