Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjoin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjoin 38318
Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjoin.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapjoin.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmapjoin.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
pmapjoin.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapjoin ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))

Proof of Theorem pmapjoin
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
3 pmapjoin.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4atbase 37754 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
6 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 pmapjoin.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
83, 6, 7latlej1 18338 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
98adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
10 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
11 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
12 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
133, 7latjcl 18329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
1413adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
153, 6lattr 18334 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
1610, 11, 12, 14, 15syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
179, 16mpan2d 693 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
1817expimpd 455 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
195, 18sylani 605 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
202, 19jcad 514 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
21 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
233, 6, 7latlej2 18339 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
25 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
263, 6lattr 18334 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2710, 11, 25, 14, 26syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2824, 27mpan2d 693 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
2928expimpd 455 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
305, 29sylani 605 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
3122, 30jcad 514 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
3220, 31jaod 858 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
33 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3433a1i 11 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
35 pmapjoin.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
363, 6, 4, 35elpmap 38224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
37363adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
383, 6, 4, 35elpmap 38224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
39383adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4037, 39anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ))))
41 an4 655 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) ↔ ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4240, 41bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ))))
4342adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ))))
443, 4atbase 37754 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
453, 4atbase 37754 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
4644, 45anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡))
47 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
48 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
49 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
50 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
51 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
523, 6, 7latjlej12 18345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
5347, 48, 49, 50, 51, 52syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
54 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
553, 7latjcl 18329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
5647, 48, 50, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
5713ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
583, 6lattr 18334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
5947, 54, 56, 57, 58syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
6059expcomd 418 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6153, 60syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6261expimpd 455 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6346, 62sylani 605 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6443, 63sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6564rexlimdvv 3205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
6665expimpd 455 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
675, 66sylani 605 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ)))
6834, 67jcad 514 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
6932, 68jaod 858 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))) β†’ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
70 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
713, 4, 35pmapssat 38225 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
72713adant3 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
733, 4, 35pmapssat 38225 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
74733adant2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
75 pmapjoin.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
766, 7, 4, 75elpadd 38265 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∨ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
7770, 72, 74, 76syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∨ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
783, 6, 4, 35elpmap 38224 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
79783adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
803, 6, 4, 35elpmap 38224 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
81803adant2 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
8279, 81orbi12d 918 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∨ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))))
8382orbi1d 916 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∨ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))) ↔ (((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
8477, 83bitrd 279 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) ↔ (((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∨ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘Œ)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))))
853, 6, 4, 35elpmap 38224 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
8670, 13, 85syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))))
8769, 84, 863imtr4d 294 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
8887ssrdv 3951 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘Œ)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  Latclat 18321  Atomscatm 37728  pmapcpmap 37963  +𝑃cpadd 38261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-poset 18203  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-lat 18322  df-ats 37732  df-pmap 37970  df-padd 38262
This theorem is referenced by:  pmapjat1  38319  hlmod1i  38322  paddunN  38393  pl42lem2N  38446
  Copyright terms: Public domain W3C validator