Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. . . . . . 7
β’ ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β π β (AtomsβπΎ)) |
2 | 1 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β π β (AtomsβπΎ))) |
3 | | pmapjoin.b |
. . . . . . . 8
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
4 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(AtomsβπΎ) =
(AtomsβπΎ) |
5 | 3, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β (AtomsβπΎ) β π β π΅) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
7 | | pmapjoin.j |
. . . . . . . . . . 11
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | 3, 6, 7 | latlej1 18338 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π(leβπΎ)(π β¨ π)) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β π(leβπΎ)(π β¨ π)) |
10 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β πΎ β Lat) |
11 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β π β π΅) |
12 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β π β π΅) |
13 | 3, 7 | latjcl 18329 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
15 | 3, 6 | lattr 18334 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅)) β ((π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
16 | 10, 11, 12, 14, 15 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β ((π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
17 | 9, 16 | mpan2d 693 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (π(leβπΎ)π β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
18 | 17 | expimpd 455 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β π΅ β§ π(leβπΎ)π) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
19 | 5, 18 | sylani 605 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
20 | 2, 19 | jcad 514 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
21 | | simpl 484 |
. . . . . . 7
β’ ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β π β (AtomsβπΎ)) |
22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β π β (AtomsβπΎ))) |
23 | 3, 6, 7 | latlej2 18339 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π(leβπΎ)(π β¨ π)) |
24 | 23 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β π(leβπΎ)(π β¨ π)) |
25 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β π β π΅) |
26 | 3, 6 | lattr 18334 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅)) β ((π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
27 | 10, 11, 25, 14, 26 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β ((π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
28 | 24, 27 | mpan2d 693 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (π(leβπΎ)π β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
29 | 28 | expimpd 455 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β π΅ β§ π(leβπΎ)π) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
30 | 5, 29 | sylani 605 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
31 | 22, 30 | jcad 514 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
32 | 20, 31 | jaod 858 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π)) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
33 | | simpl 484 |
. . . . . 6
β’ ((π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π)) β π β (AtomsβπΎ)) |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π)) β π β (AtomsβπΎ))) |
35 | | pmapjoin.m |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ π = (pmapβπΎ) |
36 | 3, 6, 4, 35 | elpmap 38224 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β (π β (πβπ) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π))) |
37 | 36 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β (πβπ) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π))) |
38 | 3, 6, 4, 35 | elpmap 38224 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β (π β (πβπ) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π))) |
39 | 38 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β (πβπ) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π))) |
40 | 37, 39 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (πβπ) β§ π β (πβπ)) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π)))) |
41 | | an4 655 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π)) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π β (AtomsβπΎ)) β§ (π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)π))) |
42 | 40, 41 | bitrdi 287 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (πβπ) β§ π β (πβπ)) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π β (AtomsβπΎ)) β§ (π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)π)))) |
43 | 42 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β ((π β (πβπ) β§ π β (πβπ)) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π β (AtomsβπΎ)) β§ (π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)π)))) |
44 | 3, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (AtomsβπΎ) β π β π΅) |
45 | 3, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (AtomsβπΎ) β π β π΅) |
46 | 44, 45 | anim12i 614 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β (AtomsβπΎ) β§ π β (AtomsβπΎ)) β (π β π΅ β§ π β π΅)) |
47 | | simpll1 1213 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β πΎ β Lat) |
48 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
49 | | simpll2 1214 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
50 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
51 | | simpll3 1215 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
52 | 3, 6, 7 | latjlej12 18345 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)π) β (π β¨ π)(leβπΎ)(π β¨ π))) |
53 | 47, 48, 49, 50, 51, 52 | syl122anc 1380 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)π) β (π β¨ π)(leβπΎ)(π β¨ π))) |
54 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
55 | 3, 7 | latjcl 18329 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
56 | 47, 48, 50, 55 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ π) β π΅) |
57 | 13 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ π) β π΅) |
58 | 3, 6 | lattr 18334 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅)) β ((π(leβπΎ)(π β¨ π) β§ (π β¨ π)(leβπΎ)(π β¨ π)) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
59 | 47, 54, 56, 57, 58 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π(leβπΎ)(π β¨ π) β§ (π β¨ π)(leβπΎ)(π β¨ π)) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
60 | 59 | expcomd 418 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β¨ π)(leβπΎ)(π β¨ π) β (π(leβπΎ)(π β¨ π) β π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
61 | 53, 60 | syld 47 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)π) β (π(leβπΎ)(π β¨ π) β π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
62 | 61 | expimpd 455 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (((π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)π)) β (π(leβπΎ)(π β¨ π) β π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
63 | 46, 62 | sylani 605 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (((π β (AtomsβπΎ) β§ π β (AtomsβπΎ)) β§ (π(leβπΎ)π β§ π(leβπΎ)π)) β (π(leβπΎ)(π β¨ π) β π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
64 | 43, 63 | sylbid 239 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β ((π β (πβπ) β§ π β (πβπ)) β (π(leβπΎ)(π β¨ π) β π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
65 | 64 | rexlimdvv 3205 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
66 | 65 | expimpd 455 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β π΅ β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π)) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
67 | 5, 66 | sylani 605 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π)) β π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
68 | 34, 67 | jcad 514 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π)) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
69 | 32, 68 | jaod 858 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π)) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π))) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
70 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β πΎ β Lat) |
71 | 3, 4, 35 | pmapssat 38225 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β (πβπ) β (AtomsβπΎ)) |
72 | 71 | 3adant3 1133 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (πβπ) β (AtomsβπΎ)) |
73 | 3, 4, 35 | pmapssat 38225 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β (πβπ) β (AtomsβπΎ)) |
74 | 73 | 3adant2 1132 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (πβπ) β (AtomsβπΎ)) |
75 | | pmapjoin.p |
. . . . . 6
β’ + =
(+πβπΎ) |
76 | 6, 7, 4, 75 | elpadd 38265 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (πβπ) β (AtomsβπΎ) β§ (πβπ) β (AtomsβπΎ)) β (π β ((πβπ) + (πβπ)) β ((π β (πβπ) β¨ π β (πβπ)) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
77 | 70, 72, 74, 76 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β ((πβπ) + (πβπ)) β ((π β (πβπ) β¨ π β (πβπ)) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
78 | 3, 6, 4, 35 | elpmap 38224 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β (π β (πβπ) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π))) |
79 | 78 | 3adant3 1133 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β (πβπ) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π))) |
80 | 3, 6, 4, 35 | elpmap 38224 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β (π β (πβπ) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π))) |
81 | 80 | 3adant2 1132 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β (πβπ) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π))) |
82 | 79, 81 | orbi12d 918 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((π β (πβπ) β¨ π β (πβπ)) β ((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π)))) |
83 | 82 | orbi1d 916 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (((π β (πβπ) β¨ π β (πβπ)) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π))) β (((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π)) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
84 | 77, 83 | bitrd 279 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β ((πβπ) + (πβπ)) β (((π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)π)) β¨ (π β (AtomsβπΎ) β§ βπ β (πβπ)βπ β (πβπ)π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
85 | 3, 6, 4, 35 | elpmap 38224 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅) β (π β (πβ(π β¨ π)) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
86 | 70, 13, 85 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β (πβ(π β¨ π)) β (π β (AtomsβπΎ) β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
87 | 69, 84, 86 | 3imtr4d 294 |
. 2
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β ((πβπ) + (πβπ)) β π β (πβ(π β¨ π)))) |
88 | 87 | ssrdv 3951 |
1
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β ((πβπ) + (πβπ)) β (πβ(π β¨ π))) |