Theorem pmapjoin 40654

Description: The projective map of the join of two lattice elements. Part of Equation 15.5.3 of [MaedaMaeda] p. 63. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjoin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjoin.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjoin.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjoin.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjoin	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem pmapjoin

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
3		pmapjoin.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 40091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ 𝐵)
6		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		pmapjoin.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	3, 6, 7	latlej1 18510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
9	8	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
10		simpl1 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
11		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12		simpl2 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	3, 7	latjcl 18501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15	3, 6	lattr 18506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
16	10, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
17	9, 16	mpan2d 706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
18	17	expimpd 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
19	5, 18	sylani 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
20	2, 19	jcad 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
21		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
23	3, 6, 7	latlej2 18511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
24	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
25		simpl3 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	3, 6	lattr 18506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
27	10, 11, 25, 14, 26	syl13anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
28	24, 27	mpan2d 706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
29	28	expimpd 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
30	5, 29	sylani 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
31	22, 30	jcad 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
32	20, 31	jaod 872	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
33		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)))
35		pmapjoin.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
36	3, 6, 4, 35	elpmap 40560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
37	36	3adant3 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
38	3, 6, 4, 35	elpmap 40560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
39	38	3adant2 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
40	37, 39	anbi12d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
41		an4 668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)))
42	40, 41	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
43	42	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌))))
44	3, 4	atbase 40091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑞 ∈ 𝐵)
45	3, 4	atbase 40091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑟 ∈ 𝐵)
46	44, 45	anim12i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))
47		simpll1 1230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
48		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
49		simpll2 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
51		simpll3 1232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
52	3, 6, 7	latjlej12 18517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
53	47, 48, 49, 50, 51, 52	syl122anc 1405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
54		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
55	3, 7	latjcl 18501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
56	47, 48, 50, 55	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)
57	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
58	3, 6	lattr 18506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
59	47, 54, 56, 57, 58	syl13anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
60	59	expcomd 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
61	53, 60	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
62	61	expimpd 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
63	46, 62	sylani 615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
64	43, 63	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
65	64	rexlimdvv 3220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
66	65	expimpd 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
67	5, 66	sylani 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌)))
68	34, 67	jcad 521	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
69	32, 68	jaod 872	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
70		simp1 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
71	3, 4, 35	pmapssat 40561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
72	71	3adant3 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
73	3, 4, 35	pmapssat 40561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
74	73	3adant2 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
75		pmapjoin.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
76	6, 7, 4, 75	elpadd 40601	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
77	70, 72, 74, 76	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
78	3, 6, 4, 35	elpmap 40560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
79	78	3adant3 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
80	3, 6, 4, 35	elpmap 40560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
81	80	3adant2 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
82	79, 81	orbi12d 931	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ↔ ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))))
83	82	orbi1d 929	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑝 ∈ (𝑀‘𝑋) ∨ 𝑝 ∈ (𝑀‘𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))) ↔ (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
84	77, 83	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ↔ (((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑌)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))))
85	3, 6, 4, 35	elpmap 40560	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
86	70, 13, 85	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))))
87	69, 84, 86	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) → 𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
88	87	ssrdv 3942	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  lecple 17323  joincjn 18373  Latclat 18493  Atomscatm 40065  pmapcpmap 40299  +_𝑃cpadd 40597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-poset 18375  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-lat 18494  df-ats 40069  df-pmap 40306  df-padd 40598

This theorem is used by:  pmapjat1  40655  hlmod1i  40658  paddunN  40729  pl42lem2N  40782