Theorem paddidm 40348

Description: Projective subspace sum is idempotent. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68. (Contributed by NM, 13-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddidm.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
paddidm.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddidm	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem paddidm

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		paddidm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
4	2, 3	psubssat 40261	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		paddidm.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	5, 6, 2, 7	elpadd 40306	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9	1, 4, 4, 8	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
10		pm1.2 910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋))
12	5, 6, 2, 3	psubspi 40254	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑝 ∈ 𝑋)
13	12	3exp1 1360	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → 𝑝 ∈ 𝑋))))
14	13	imp4b 423	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑝 ∈ 𝑋))
15	11, 14	jaod 866	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑝 ∈ 𝑋))
16	9, 15	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋))
17	16	ssrdv 3923	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) ⊆ 𝑋)
18	2, 7	sspadd1 40322	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑋))
19	1, 4, 4, 18	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑋))
20	17, 19	eqssd 3934	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  lecple 17222  joincjn 18272  Atomscatm 39770  PSubSpcpsubsp 40003  +_𝑃cpadd 40302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-psubsp 40010  df-padd 40303

This theorem is referenced by:  paddclN  40349  paddss  40352  pmod1i  40355