Theorem paddidm 40818

Description: Projective subspace sum is idempotent. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68. (Contributed by NM, 13-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddidm.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
paddidm.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddidm	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem paddidm

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		paddidm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
4	2, 3	psubssat 40731	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		paddidm.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	5, 6, 2, 7	elpadd 40776	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9	1, 4, 4, 8	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
10		pm1.2 917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋))
12	5, 6, 2, 3	psubspi 40724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑝 ∈ 𝑋)
13	12	3exp1 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → 𝑝 ∈ 𝑋))))
14	13	imp4b 427	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑝 ∈ 𝑋))
15	11, 14	jaod 873	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑝 ∈ 𝑋))
16	9, 15	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋))
17	16	ssrdv 3936	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) ⊆ 𝑋)
18	2, 7	sspadd1 40792	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑋))
19	1, 4, 4, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑋))
20	17, 19	eqssd 3947	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  lecple 17396  joincjn 18446  Atomscatm 40240  PSubSpcpsubsp 40473  +_𝑃cpadd 40772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-psubsp 40480  df-padd 40773

This theorem is used by:  paddclN  40819  paddss  40822  pmod1i  40825