Theorem paddidm 39843

Description: Projective subspace sum is idempotent. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68. (Contributed by NM, 13-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddidm.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
paddidm.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddidm	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem paddidm

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		paddidm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
4	2, 3	psubssat 39756	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		paddidm.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	5, 6, 2, 7	elpadd 39801	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9	1, 4, 4, 8	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
10		pm1.2 904	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋))
12	5, 6, 2, 3	psubspi 39749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑝 ∈ 𝑋)
13	12	3exp1 1353	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → (∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → 𝑝 ∈ 𝑋))))
14	13	imp4b 421	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → 𝑝 ∈ 𝑋))
15	11, 14	jaod 860	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (((𝑝 ∈ 𝑋 ∨ 𝑝 ∈ 𝑋) ∨ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑝 ∈ 𝑋))
16	9, 15	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑋))
17	16	ssrdv 3989	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) ⊆ 𝑋)
18	2, 7	sspadd1 39817	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑋))
19	1, 4, 4, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑋))
20	17, 19	eqssd 4001	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  PSubSpcpsubsp 39498  +_𝑃cpadd 39797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-psubsp 39505  df-padd 39798

This theorem is referenced by:  paddclN  39844  paddss  39847  pmod1i  39850