MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqtop 23721
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
elqtop ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21qtopval2 23720 . . 3 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽})
32eleq2d 2825 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽}))
4 imaeq2 6076 . . . . 5 (𝑠 = 𝐴 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝐴))
54eleq1d 2824 . . . 4 (𝑠 = 𝐴 → ((𝐹𝑠) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
65elrab 3695 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
7 uniexg 7759 . . . . . . . . 9 (𝐽𝑉 𝐽 ∈ V)
81, 7eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝐽𝑉𝑋 ∈ V)
983ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑍𝑋)
119, 10ssexd 5330 . . . . . 6 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑍 ∈ V)
12 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝐹:𝑍onto𝑌)
13 focdmex 7979 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐹:𝑍onto𝑌𝑌 ∈ V))
1411, 12, 13sylc 65 . . . . 5 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15 elpw2g 5339 . . . . 5 (𝑌 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌𝐴𝑌))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌𝐴𝑌))
1716anbi1d 631 . . 3 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
186, 17bitrid 283 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
193, 18bitrd 279 1 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  ccnv 5688  cima 5692  ontowfo 6561  (class class class)co 7431   qTop cqtop 17550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-qtop 17554
This theorem is referenced by:  qtoptop2  23723  elqtop2  23725  elqtop3  23727
  Copyright terms: Public domain W3C validator