Theorem elqtop 23726

Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
elqtop	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	qtopval2 23725	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽})
3	2	eleq2d 2830	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽}))
4		imaeq2 6085	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑠) = (◡𝐹 “ 𝐴))
5	4	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
6	5	elrab 3708	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
7		uniexg 7775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ⊆ 𝑋)
11	9, 10	ssexd 5342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ∈ V)
12		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑍–onto→𝑌)
13		focdmex 7996	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐹:𝑍–onto→𝑌 → 𝑌 ∈ V))
14	11, 12, 13	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15		elpw2g 5351	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑌))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑌))
17	16	anbi1d 630	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
18	6, 17	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
19	3, 18	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  –onto→wfo 6571  (class class class)co 7448   qTop cqtop 17563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-qtop 17567

This theorem is referenced by:  qtoptop2  23728  elqtop2  23730  elqtop3  23732