Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqtop 22308
 Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
elqtop ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21qtopval2 22307 . . 3 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽})
32eleq2d 2901 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽}))
4 imaeq2 5928 . . . . 5 (𝑠 = 𝐴 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝐴))
54eleq1d 2900 . . . 4 (𝑠 = 𝐴 → ((𝐹𝑠) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
65elrab 3683 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
7 uniexg 7469 . . . . . . . . 9 (𝐽𝑉 𝐽 ∈ V)
81, 7eqeltrid 2920 . . . . . . . 8 (𝐽𝑉𝑋 ∈ V)
983ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10 simp3 1134 . . . . . . 7 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑍𝑋)
119, 10ssexd 5231 . . . . . 6 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑍 ∈ V)
12 simp2 1133 . . . . . 6 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝐹:𝑍onto𝑌)
13 fornex 7660 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐹:𝑍onto𝑌𝑌 ∈ V))
1411, 12, 13sylc 65 . . . . 5 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15 elpw2g 5250 . . . . 5 (𝑌 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌𝐴𝑌))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌𝐴𝑌))
1716anbi1d 631 . . 3 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
186, 17syl5bb 285 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
193, 18bitrd 281 1 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3145  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4841  ◡ccnv 5557   “ cima 5561  –onto→wfo 6356  (class class class)co 7159   qTop cqtop 16779 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-qtop 16783 This theorem is referenced by:  qtoptop2  22310  elqtop2  22312  elqtop3  22314
 Copyright terms: Public domain W3C validator