Theorem elqtop 23591

Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
elqtop	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	qtopval2 23590	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽})
3	2	eleq2d 2815	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽}))
4		imaeq2 6030	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑠) = (◡𝐹 “ 𝐴))
5	4	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
6	5	elrab 3662	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
7		uniexg 7719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ⊆ 𝑋)
11	9, 10	ssexd 5282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ∈ V)
12		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑍–onto→𝑌)
13		focdmex 7937	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐹:𝑍–onto→𝑌 → 𝑌 ∈ V))
14	11, 12, 13	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15		elpw2g 5291	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑌))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑌))
17	16	anbi1d 631	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
18	6, 17	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
19	3, 18	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  –onto→wfo 6512  (class class class)co 7390   qTop cqtop 17473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-qtop 17477

This theorem is referenced by:  qtoptop2  23593  elqtop2  23595  elqtop3  23597