Theorem elqtop 23643

Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
elqtop	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	qtopval2 23642	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽})
3	2	eleq2d 2821	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽}))
4		imaeq2 6014	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑠) = (◡𝐹 “ 𝐴))
5	4	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
6	5	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
7		uniexg 7685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ⊆ 𝑋)
11	9, 10	ssexd 5268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ∈ V)
12		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑍–onto→𝑌)
13		focdmex 7900	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐹:𝑍–onto→𝑌 → 𝑌 ∈ V))
14	11, 12, 13	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15		elpw2g 5277	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑌))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑌))
17	16	anbi1d 632	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
18	6, 17	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (◡𝐹 “ 𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
19	3, 18	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑍–onto→𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3398  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4862  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  –onto→wfo 6489  (class class class)co 7358   qTop cqtop 17426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-qtop 17430

This theorem is referenced by:  qtoptop2  23645  elqtop2  23647  elqtop3  23649