Theorem elqtop2 22445

Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
elqtop2	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3897	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
2		qtoptop.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	elqtop 22441	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
4	1, 3	mp3an3 1451	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3841  ∪ cuni 4793  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  –onto→wfo 6331  (class class class)co 7164   qTop cqtop 16872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-qtop 16876

This theorem is referenced by:  qtopuni  22446  qtopkgen  22454  basqtop  22455  tgqtop  22456  qtopcmap  22463  imasf1oxms  23235