MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqtop2 23134
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
elqtop2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop2
StepHypRef Expression
1 ssid 4000 . 2 𝑋𝑋
2 qtoptop.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
32elqtop 23130 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑋onto𝑌𝑋𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
41, 3mp3an3 1450 1 ((𝐽𝑉𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944   cuni 4901  ccnv 5668  cima 5672  ontowfo 6530  (class class class)co 7393   qTop cqtop 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-qtop 17435
This theorem is referenced by:  qtopuni  23135  qtopkgen  23143  basqtop  23144  tgqtop  23145  qtopcmap  23152  imasf1oxms  23927
  Copyright terms: Public domain W3C validator