Theorem elqtop3 24022

Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elqtop3	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 23232	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
2		eqimss 3966	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝐽 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
6	5	elqtop 24016	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
7	4, 6	mpd3an3 1491	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   qTop cqtop 17675  TopOnctopon 23228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-qtop 17679  df-topon 23229

This theorem is used by:  qtopid  24024  idqtop  24025  tgqtop  24031  qtopcld  24032  qtopcn  24033  qtopss  24034  qtoprest  24036  qtopomap  24037  kqopn  24053  qtopf1  24135  qustgpopn  24439