MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqtop3 23206
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elqtop3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop3
StepHypRef Expression
1 toponuni 22415 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2 eqimss 4040 . . . 4 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
43adantr 481 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
5 eqid 2732 . . 3 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
65elqtop 23200 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))
74, 6mpd3an3 1462 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   qTop cqtop 17448  TopOnctopon 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-qtop 17452  df-topon 22412
This theorem is referenced by:  qtopid  23208  idqtop  23209  tgqtop  23215  qtopcld  23216  qtopcn  23217  qtopss  23218  qtoprest  23220  qtopomap  23221  kqopn  23237  qtopf1  23319  qustgpopn  23623
  Copyright terms: Public domain W3C validator