Theorem elqtop3 23651

Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elqtop3	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22862	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
2		eqimss 3993	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝐽 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
6	5	elqtop 23645	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))
7	4, 6	mpd3an3 1465	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4864  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  –onto→wfo 6491  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   qTop cqtop 17428  TopOnctopon 22858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-qtop 17432  df-topon 22859

This theorem is referenced by:  qtopid  23653  idqtop  23654  tgqtop  23660  qtopcld  23661  qtopcn  23662  qtopss  23663  qtoprest  23665  qtopomap  23666  kqopn  23682  qtopf1  23764  qustgpopn  24068