MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqtop3 23077
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elqtop3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop3
StepHypRef Expression
1 toponuni 22286 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2 eqimss 4004 . . . 4 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
43adantr 482 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
5 eqid 2733 . . 3 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
65elqtop 23071 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))
74, 6mpd3an3 1463 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   qTop cqtop 17393  TopOnctopon 22282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-qtop 17397  df-topon 22283
This theorem is referenced by:  qtopid  23079  idqtop  23080  tgqtop  23086  qtopcld  23087  qtopcn  23088  qtopss  23089  qtoprest  23091  qtopomap  23092  kqopn  23108  qtopf1  23190  qustgpopn  23494
  Copyright terms: Public domain W3C validator