MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqtop3 23427
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elqtop3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop3
StepHypRef Expression
1 toponuni 22636 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2 eqimss 4039 . . . 4 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
43adantr 479 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
5 eqid 2730 . . 3 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
65elqtop 23421 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))
74, 6mpd3an3 1460 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴 βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   qTop cqtop 17453  TopOnctopon 22632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-qtop 17457  df-topon 22633
This theorem is referenced by:  qtopid  23429  idqtop  23430  tgqtop  23436  qtopcld  23437  qtopcn  23438  qtopss  23439  qtoprest  23441  qtopomap  23442  kqopn  23458  qtopf1  23540  qustgpopn  23844
  Copyright terms: Public domain W3C validator