Theorem qtopuni 23205

Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtopuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4005	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑌)
2		fof 6805	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		fimacnv 6739	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
6		qtoptop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	topopn 22407	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	5, 8	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)
10	6	elqtop2 23204	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)))
11	1, 9, 10	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
12		elssuni 4941	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
14	6	elqtop2 23204	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
15		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
16		velpw 4607	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑌)
17	15, 16	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
18	14, 17	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
19	18	ssrdv 3988	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
20		sspwuni 5103	. . 3 ⊢ ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 ↔ ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
21	19, 20	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
22	13, 21	eqssd 3999	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  (class class class)co 7408   qTop cqtop 17448  Topctop 22394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-qtop 17452  df-top 22395

This theorem is referenced by:  qtoptopon  23207  qtopcmplem  23210  qtopkgen  23213  qtopt1  32810  qtophaus  32811  circtopn  32812