Theorem qtopuni 24051

Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtopuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3936	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑌)
2		fof 6818	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶onto𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		fimacnv 6754	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
6		qtoptop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	topopn 23254	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	5, 8	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)
10	6	elqtop2 24050	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)))
11	1, 9, 10	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
12		elssuni 4902	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
14	6	elqtop2 24050	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
15		velpw 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑌)
16	15	biranri 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
17	14, 16	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
18	17	ssrdv 3919	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
19		sspwuni 5063	. . 3 ⊢ ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 ↔ ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
20	18, 19	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
21	13, 20	eqssd 3930	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6554  ⟶ontowfo 6556  (class class class)co 7443   qTop cqtop 17704  Topctop 23241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-qtop 17708  df-top 23242

This theorem is used by:  qtoptopon  24053  qtopcmplem  24056  qtopkgen  24059  qtopt1  34537  qtophaus  34538  circtopn  34539