Theorem qtopuni 23605

Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtopuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3961	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑌)
2		fof 6740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		fimacnv 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
6		qtoptop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	topopn 22809	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	5, 8	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)
10	6	elqtop2 23604	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)))
11	1, 9, 10	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
12		elssuni 4891	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
14	6	elqtop2 23604	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
16		velpw 4558	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑌)
17	15, 16	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
18	14, 17	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
19	18	ssrdv 3943	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
20		sspwuni 5052	. . 3 ⊢ ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 ↔ ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
21	19, 20	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
22	13, 21	eqssd 3955	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  (class class class)co 7353   qTop cqtop 17425  Topctop 22796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-qtop 17429  df-top 22797

This theorem is referenced by:  qtoptopon  23607  qtopcmplem  23610  qtopkgen  23613  qtopt1  33801  qtophaus  33802  circtopn  33803