MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopuni 21994
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
qtopuni ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3911 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌𝑌)
2 fof 6458 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹:𝑋𝑌)
4 fimacnv 6704 . . . . . 6 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝐹𝑌) = 𝑋)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐹𝑌) = 𝑋)
6 qtoptop.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
76topopn 21198 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑋𝐽)
95, 8eqeltrd 2883 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐽)
106elqtop2 21993 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌𝑌 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐽)))
111, 9, 10mpbir2and 709 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
12 elssuni 4774 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹))
1311, 12syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹))
146elqtop2 21993 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
15 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥𝑌)
16 selpw 4460 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌𝑥𝑌)
1715, 16sylibr 235 . . . . 5 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
1814, 17syl6bi 254 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
1918ssrdv 3895 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
20 sspwuni 4921 . . 3 ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
2119, 20sylib 219 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
2213, 21eqssd 3906 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wss 3859  𝒫 cpw 4453   cuni 4745  ccnv 5442  cima 5446  wf 6221  ontowfo 6223  (class class class)co 7016   qTop cqtop 16605  Topctop 21185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-qtop 16609  df-top 21186
This theorem is referenced by:  qtoptopon  21996  qtopcmplem  21999  qtopkgen  22002  qtopt1  30716  qtophaus  30717  circtopn  30718
  Copyright terms: Public domain W3C validator