MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopuni 23726
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
qtopuni ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 4019 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌𝑌)
2 fof 6821 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹:𝑋𝑌)
4 fimacnv 6759 . . . . . 6 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝐹𝑌) = 𝑋)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐹𝑌) = 𝑋)
6 qtoptop.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
76topopn 22928 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑋𝐽)
95, 8eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐽)
106elqtop2 23725 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌𝑌 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐽)))
111, 9, 10mpbir2and 713 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
12 elssuni 4942 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹))
1311, 12syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹))
146elqtop2 23725 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
15 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥𝑌)
16 velpw 4610 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌𝑥𝑌)
1715, 16sylibr 234 . . . . 5 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
1814, 17biimtrdi 253 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
1918ssrdv 4001 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
20 sspwuni 5105 . . 3 ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
2119, 20sylib 218 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
2213, 21eqssd 4013 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  ontowfo 6561  (class class class)co 7431   qTop cqtop 17550  Topctop 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-qtop 17554  df-top 22916
This theorem is referenced by:  qtoptopon  23728  qtopcmplem  23731  qtopkgen  23734  qtopt1  33796  qtophaus  33797  circtopn  33798
  Copyright terms: Public domain W3C validator