Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopuni 22402
 Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
qtopuni ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3915 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌𝑌)
2 fof 6576 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
32adantl 485 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹:𝑋𝑌)
4 fimacnv 6830 . . . . . 6 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝐹𝑌) = 𝑋)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐹𝑌) = 𝑋)
6 qtoptop.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
76topopn 21606 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
87adantr 484 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑋𝐽)
95, 8eqeltrd 2852 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐽)
106elqtop2 22401 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌𝑌 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐽)))
111, 9, 10mpbir2and 712 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
12 elssuni 4830 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹))
1311, 12syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹))
146elqtop2 22401 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
15 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥𝑌)
16 velpw 4499 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌𝑥𝑌)
1715, 16sylibr 237 . . . . 5 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
1814, 17syl6bi 256 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
1918ssrdv 3898 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
20 sspwuni 4987 . . 3 ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
2119, 20sylib 221 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
2213, 21eqssd 3909 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  ∪ cuni 4798  ◡ccnv 5523   “ cima 5527  ⟶wf 6331  –onto→wfo 6333  (class class class)co 7150   qTop cqtop 16834  Topctop 21593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-qtop 16838  df-top 21594 This theorem is referenced by:  qtoptopon  22404  qtopcmplem  22407  qtopkgen  22410  qtopt1  31306  qtophaus  31307  circtopn  31308
 Copyright terms: Public domain W3C validator