Theorem qtopuni 23820

Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtopuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3962	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑌)
2		fof 6782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		fimacnv 6718	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
6		qtoptop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	topopn 23024	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	5, 8	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)
10	6	elqtop2 23819	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)))
11	1, 9, 10	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
12		elssuni 4900	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
14	6	elqtop2 23819	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
15		velpw 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑌)
16	15	biranri 510	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
17	14, 16	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
18	17	ssrdv 3945	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
19		sspwuni 5062	. . 3 ⊢ ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 ↔ ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
20	18, 19	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
21	13, 20	eqssd 3956	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558  ∪ cuni 4868  ^◡ccnv 5651   “ cima 5655  ⟶wf 6521  –onto→wfo 6523  (class class class)co 7400   qTop cqtop 17547  Topctop 23011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-qtop 17551  df-top 23012

This theorem is referenced by:  qtoptopon  23822  qtopcmplem  23825  qtopkgen  23828  qtopt1  34142  qtophaus  34143  circtopn  34144