Theorem qtoptop 23195

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtoptop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Proof of Theorem qtoptop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		qtoptop.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22399	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		fnex 7215	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ V)
7		fnfun 6646	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → Fun 𝐹)
9		qtoptop2 23194	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ V ∧ Fun 𝐹) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∪ cuni 4907  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  (class class class)co 7405   qTop cqtop 17445  Topctop 22386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-qtop 17449  df-top 22387

This theorem is referenced by:  qtoptopon  23199  qtopkgen  23205  qtopt1  32803  qtophaus  32804