Theorem qtoptop 23624

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtoptop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Proof of Theorem qtoptop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		qtoptop.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22828	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		fnex 7235	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2anr 595	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ V)
7		fnfun 6659	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
8	7	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → Fun 𝐹)
9		qtoptop2 23623	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ V ∧ Fun 𝐹) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  ∪ cuni 4912  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  (class class class)co 7426   qTop cqtop 17492  Topctop 22815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-qtop 17496  df-top 22816

This theorem is referenced by:  qtoptopon  23628  qtopkgen  23634  qtopt1  33469  qtophaus  33470