Theorem qtoptop 23555

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtoptop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Proof of Theorem qtoptop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		qtoptop.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22759	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		fnex 7213	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2anr 596	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ V)
7		fnfun 6642	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → Fun 𝐹)
9		qtoptop2 23554	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ V ∧ Fun 𝐹) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ∪ cuni 4902  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  (class class class)co 7404   qTop cqtop 17456  Topctop 22746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-qtop 17460  df-top 22747

This theorem is referenced by:  qtoptopon  23559  qtopkgen  23565  qtopt1  33345  qtophaus  33346