Theorem qtoptop 22759

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtoptop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Proof of Theorem qtoptop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		qtoptop.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 21963	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		fnex 7075	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2anr 596	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ V)
7		fnfun 6517	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → Fun 𝐹)
9		qtoptop2 22758	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ V ∧ Fun 𝐹) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1369	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∪ cuni 4836  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  (class class class)co 7255   qTop cqtop 17131  Topctop 21950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-qtop 17135  df-top 21951

This theorem is referenced by:  qtoptopon  22763  qtopkgen  22769  qtopt1  31687  qtophaus  31688