Theorem qtoptop 23638

Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtoptop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Proof of Theorem qtoptop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		qtoptop.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22844	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		fnex 7209	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → 𝐹 ∈ V)
7		fnfun 6638	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → Fun 𝐹)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → Fun 𝐹)
9		qtoptop2 23637	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ V ∧ Fun 𝐹) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ∪ cuni 4883  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  (class class class)co 7405   qTop cqtop 17517  Topctop 22831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-qtop 17521  df-top 22832

This theorem is referenced by:  qtoptopon  23642  qtopkgen  23648  qtopt1  33866  qtophaus  33867