Theorem eluzfz 13525

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13524	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	biimpri 230	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℤ_≥cuz 12840  ...cfz 13513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-neg 11418  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514

This theorem is referenced by:  eluzfz1  13537  eluzfz2  13538  elfz1end  13560  4fvwrd4  13654  clwwlkinwwlk  30243  ssnnssfz  32990  esumpmono  34377  esumcvg  34384  ssnn0ssfz  48972