Theorem ssnn0ssfz 49430

Description: For any finite subset of ℕ₀, find a superset in the form of a set of sequential integers, analogous to ssnnssfz 33372. (Contributed by AV, 30-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ssnn0ssfz	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnn0ssfz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12614	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (0...0)
4	2, 3	eqsstrdi 3975	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (0...0))
5		oveq2 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
6	5	sseq2d 3963	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...0)))
7	6	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ⊆ (0...0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
8	1, 4, 7	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
9		elin 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10	9	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
12	11	elpwid 4566	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
13		nn0ssre 12603	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
14		ltso 11383	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
15		soss 5579	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
16	13, 14, 15	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ0)
18	9	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21		fisupcl 9455	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
22	17, 19, 20, 12, 21	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
23	12, 22	sseldd 3932	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
24	12	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
25		nn0uz 12996	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26	24, 25	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
27	24	nn0zd 12711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
29	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 12711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ)
32		fisup2g 9454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
33	17, 19, 20, 12, 32	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34		ssrexv 4001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
35	12, 33, 34	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36	17, 35	supub 9444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
37	36	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥)
38	24	nn0red 12661	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	30	nn0red 12661	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℝ)
40	38, 39	lenltd 11449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
41	37, 40	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ))
42		eluz2 12964	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < )))
43	27, 31, 41, 42	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
44		eluzfz 13644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
45	26, 43, 44	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
46	45	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
47	46	ssrdv 3937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
48		oveq2 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (0...𝑛) = (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
49	48	sseq2d 3963	. . . 4 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
50	49	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
51	23, 47, 50	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
52	8, 51	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   Or wor 5558  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  supcsup 9425  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633

This theorem is used by: (None)