Theorem ssnn0ssfz 49555

Description: For any finite subset of ℕ₀, find a superset in the form of a set of sequential integers, analogous to ssnnssfz 33426. (Contributed by AV, 30-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ssnn0ssfz	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnn0ssfz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12625	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3		0ss 4349	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (0...0)
4	2, 3	eqsstrdi 3952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (0...0))
5		oveq2 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
6	5	sseq2d 3940	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...0)))
7	6	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ⊆ (0...0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
8	1, 4, 7	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
9		elin 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10	9	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
12	11	elpwid 4565	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
13		nn0ssre 12614	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
14		ltso 11394	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
15		soss 5578	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
16	13, 14, 15	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ0)
18	9	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21		fisupcl 9466	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
22	17, 19, 20, 12, 21	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
23	12, 22	sseldd 3909	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
24	12	sselda 3908	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
25		nn0uz 13007	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26	24, 25	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
27	24	nn0zd 12722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
29	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 12722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ)
32		fisup2g 9465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
33	17, 19, 20, 12, 32	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34		ssrexv 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
35	12, 33, 34	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36	17, 35	supub 9455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
37	36	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥)
38	24	nn0red 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	30	nn0red 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℝ)
40	38, 39	lenltd 11460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
41	37, 40	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ))
42		eluz2 12975	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < )))
43	27, 31, 41, 42	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
44		eluzfz 13655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
45	26, 43, 44	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
46	45	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
47	46	ssrdv 3914	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
48		oveq2 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (0...𝑛) = (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
49	48	sseq2d 3940	. . . 4 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
50	49	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
51	23, 47, 50	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
52	8, 51	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   Or wor 5557  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  supcsup 9436  ℝcr 11203  0cc0 11204   < clt 11347   ≤ cle 11348  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644

This theorem is used by: (None)