Theorem ssnn0ssfz 47190

Description: For any finite subset of ℕ₀, find a superset in the form of a set of sequential integers, analogous to ssnnssfz 32432. (Contributed by AV, 30-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ssnn0ssfz	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnn0ssfz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12494	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3		0ss 4396	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (0...0)
4	2, 3	eqsstrdi 4036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (0...0))
5		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
6	5	sseq2d 4014	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...0)))
7	6	rspcev 3612	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ⊆ (0...0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
8	1, 4, 7	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
9		elin 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10	9	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
12	11	elpwid 4611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
13		nn0ssre 12483	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
14		ltso 11301	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
15		soss 5608	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
16	13, 14, 15	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ0)
18	9	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21		fisupcl 9470	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
22	17, 19, 20, 12, 21	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
23	12, 22	sseldd 3983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
24	12	sselda 3982	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
25		nn0uz 12871	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26	24, 25	eleqtrdi 2842	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
27	24	nn0zd 12591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
29	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 12591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ)
32		fisup2g 9469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
33	17, 19, 20, 12, 32	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34		ssrexv 4051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
35	12, 33, 34	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36	17, 35	supub 9460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
37	36	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥)
38	24	nn0red 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	30	nn0red 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℝ)
40	38, 39	lenltd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
41	37, 40	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ))
42		eluz2 12835	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < )))
43	27, 31, 41, 42	syl3anbrc 1342	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
44		eluzfz 13503	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
45	26, 43, 44	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
46	45	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
47	46	ssrdv 3988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
48		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (0...𝑛) = (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
49	48	sseq2d 4014	. . . 4 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
50	49	rspcev 3612	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
51	23, 47, 50	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
52	8, 51	pm2.61dane 3028	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   Or wor 5587  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  supcsup 9441  ℝcr 11115  0cc0 11116   < clt 11255   ≤ cle 11256  ℕ₀cn0 12479  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492

This theorem is referenced by: (None)