Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnn0ssfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnn0ssfz 45637
Description: For any finite subset of 0, find a superset in the form of a set of sequential integers, analogous to ssnnssfz 31087. (Contributed by AV, 30-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0ssfz (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnn0ssfz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12231 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3 0ss 4335 . . . 4 ∅ ⊆ (0...0)
42, 3eqsstrdi 3979 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (0...0))
5 oveq2 7276 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
65sseq2d 3957 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...0)))
76rspcev 3560 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝐴 ⊆ (0...0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
81, 4, 7sylancr 586 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
9 elin 3907 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0𝐴 ∈ Fin))
109simplbi 497 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
1211elpwid 4549 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
13 nn0ssre 12220 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
14 ltso 11039 . . . . . . 7 < Or ℝ
15 soss 5522 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
1613, 14, 15mp2 9 . . . . . 6 < Or ℕ0
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ0)
189simprbi 496 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21 fisupcl 9189 . . . . 5 (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
2217, 19, 20, 12, 21syl13anc 1370 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
2312, 22sseldd 3926 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
2412sselda 3925 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0)
25 nn0uz 12602 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
2624, 25eleqtrdi 2850 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ‘0))
2724nn0zd 12406 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
2812adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2922adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ 𝐴)
3028, 29sseldd 3926 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
3130nn0zd 12406 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ)
32 fisup2g 9188 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ0)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3317, 19, 20, 12, 32syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34 ssrexv 3992 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℕ0 → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
3512, 33, 34sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3617, 35supub 9179 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
3736imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥)
3824nn0red 12277 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3930nn0red 12277 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℝ)
4038, 39lenltd 11104 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ0, < ) < 𝑥))
4137, 40mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < ))
42 eluz2 12570 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ0, < )))
4327, 31, 41, 42syl3anbrc 1341 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ𝑥))
44 eluzfz 13233 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ‘0) ∧ sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
4526, 43, 44syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
4645ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
4746ssrdv 3931 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
48 oveq2 7276 . . . . 5 (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (0...𝑛) = (0...sup(𝐴, ℕ0, < )))
4948sseq2d 3957 . . . 4 (𝑛 = sup(𝐴, ℕ0, < ) → (𝐴 ⊆ (0...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))))
5049rspcev 3560 . . 3 ((sup(𝐴, ℕ0, < ) ∈ ℕ0𝐴 ⊆ (0...sup(𝐴, ℕ0, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
5123, 47, 50syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
528, 51pm2.61dane 3033 1 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ⊆ (0...𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  wral 3065  wrex 3066  cin 3890  wss 3891  c0 4261  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5078   Or wor 5501  cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  supcsup 9160  cr 10854  0cc0 10855   < clt 10993  cle 10994  0cn0 12216  cz 12302  cuz 12564  ...cfz 13221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator