Theorem esumpmono 34509

Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpmono.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
esumpmono.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
esumpmono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumpmono	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esumpmono

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13469	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		ovexd 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ V)
3		elfznn 13594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		icossicc 13475	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
5		esumpmono.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6	4, 5	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
7	3, 6	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
8	7	ralrimiva 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑀)
10	9	esumcl 34460	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑀) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11	2, 8, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
12	1, 11	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	xrleidd 13189	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
14		ovexd 7451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V)
15		esumpmono.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
17		peano2nn 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
18		nnuz 12913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
20		fzss1 13604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
21	16, 19, 20	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
22		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
23	21, 22	sseldd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
24		elfznn 13594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25, 6	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
27	26	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
28		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑀 + 1)...𝑁)
29	28	esumcl 34460	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
30	14, 27, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31		elxrge0 13496	. . . . 5 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
32	31	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
33	30, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
34		0xr 11267	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
36	1, 30	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)
37		xle2add 13297	. . . 4 ⊢ (((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)) → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
38	12, 35, 12, 36, 37	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
39	13, 33, 38	mp2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
40		xaddrid 13279	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
41	12, 40	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
42	41	eqcomd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0))
43	15, 18	eleqtrdi 2875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
44		esumpmono.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
45		eluzfz 13559	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
46	43, 44, 45	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
47		fzsplit 13591	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
48		esumeq1 34464	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
49	46, 47, 48	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
50		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
51		nnre 12251	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
52	51	ltp1d 12156	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 < (𝑀 + 1))
53		fzdisj 13592	. . . . 5 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
54	15, 52, 53	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
55	50, 9, 28, 2, 14, 54, 7, 26	esumsplit 34483	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
56	49, 55	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
57	39, 42, 56	3brtr4d 5145	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114  +∞cpnf 11251  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  ℤ_≥cuz 12874   +_𝑒 cxad 13147  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  ...cfz 13547  Σ^*cesum 34457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-pi 16144  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-ordt 17573  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-ps 18640  df-tsr 18641  df-plusf 18715  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-cring 20342  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-abv 20942  df-lmod 21013  df-scaf 21014  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-tmd 24260  df-tgp 24261  df-tsms 24315  df-trg 24348  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-nm 24770  df-ngp 24771  df-nrg 24773  df-nlm 24774  df-ii 25067  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057  df-log 26752  df-esum 34458

This theorem is used by:  esumcvg  34516