Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpmono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpmono 33755
Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpmono.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
esumpmono.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
esumpmono.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpmono (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esumpmono
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13439 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 ovexd 7451 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ V)
3 elfznn 13562 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
4 icossicc 13445 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
5 esumpmono.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
64, 5sselid 3970 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
73, 6sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
87ralrimiva 3136 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑘(1...𝑀)
109esumcl 33706 . . . . . 6 (((1...𝑀) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
112, 8, 10syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
121, 11sselid 3970 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ*)
1312xrleidd 13163 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
14 ovexd 7451 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V)
15 esumpmono.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1615adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
17 peano2nn 12254 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
18 nnuz 12895 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
1917, 18eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
20 fzss1 13572 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
2116, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
22 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
2321, 22sseldd 3973 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
24 elfznn 13562 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625, 6syldan 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2726ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
28 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑘((𝑀 + 1)...𝑁)
2928esumcl 33706 . . . . 5 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3014, 27, 29syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31 elxrge0 13466 . . . . 5 *𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
3231simprbi 495 . . . 4 *𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
3330, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
34 0xr 11291 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3534a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
361, 30sselid 3970 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)
37 xle2add 13270 . . . 4 (((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)) → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
3812, 35, 12, 36, 37syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
3913, 33, 38mp2and 697 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
40 xaddrid 13252 . . . 4 *𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
4112, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
4241eqcomd 2731 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0))
4315, 18eleqtrdi 2835 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
44 esumpmono.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
45 eluzfz 13528 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
4643, 44, 45syl2anc 582 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
47 fzsplit 13559 . . . 4 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
48 esumeq1 33710 . . . 4 ((1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
4946, 47, 483syl 18 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
50 nfv 1909 . . . 4 𝑘𝜑
51 nnre 12249 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5251ltp1d 12174 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 < (𝑀 + 1))
53 fzdisj 13560 . . . . 5 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
5415, 52, 533syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
5550, 9, 28, 2, 14, 54, 7, 26esumsplit 33729 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
5649, 55eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
5739, 42, 563brtr4d 5175 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  Vcvv 3463  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4318   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  +∞cpnf 11275  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279  cn 12242  cuz 12852   +𝑒 cxad 13122  [,)cico 13358  [,]cicc 13359  ...cfz 13516  Σ*cesum 33703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-ordt 17482  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-abv 20701  df-lmod 20749  df-scaf 20750  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tmd 23994  df-tgp 23995  df-tsms 24049  df-trg 24082  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-nrg 24512  df-nlm 24513  df-ii 24815  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-esum 33704
This theorem is referenced by:  esumcvg  33762
  Copyright terms: Public domain W3C validator