Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpmono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpmono 32439
Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpmono.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
esumpmono.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
esumpmono.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpmono (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esumpmono
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13276 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 ovexd 7385 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ V)
3 elfznn 13399 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
4 icossicc 13282 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
5 esumpmono.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
64, 5sselid 3941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
73, 6sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
87ralrimiva 3142 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9 nfcv 2906 . . . . . . 7 𝑘(1...𝑀)
109esumcl 32390 . . . . . 6 (((1...𝑀) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
112, 8, 10syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
121, 11sselid 3941 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ*)
1312xrleidd 13000 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
14 ovexd 7385 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V)
15 esumpmono.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1615adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
17 peano2nn 12099 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
18 nnuz 12735 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
1917, 18eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
20 fzss1 13409 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
2116, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
22 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
2321, 22sseldd 3944 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
24 elfznn 13399 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625, 6syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2726ralrimiva 3142 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
28 nfcv 2906 . . . . . 6 𝑘((𝑀 + 1)...𝑁)
2928esumcl 32390 . . . . 5 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3014, 27, 29syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31 elxrge0 13303 . . . . 5 *𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
3231simprbi 498 . . . 4 *𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
3330, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
34 0xr 11136 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3534a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
361, 30sselid 3941 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)
37 xle2add 13107 . . . 4 (((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)) → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
3812, 35, 12, 36, 37syl22anc 838 . . 3 (𝜑 → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
3913, 33, 38mp2and 698 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
40 xaddid1 13089 . . . 4 *𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
4112, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
4241eqcomd 2744 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0))
4315, 18eleqtrdi 2849 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
44 esumpmono.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
45 eluzfz 13365 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
4643, 44, 45syl2anc 585 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
47 fzsplit 13396 . . . 4 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
48 esumeq1 32394 . . . 4 ((1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
4946, 47, 483syl 18 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
50 nfv 1918 . . . 4 𝑘𝜑
51 nnre 12094 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5251ltp1d 12019 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 < (𝑀 + 1))
53 fzdisj 13397 . . . . 5 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
5415, 52, 533syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
5550, 9, 28, 2, 14, 54, 7, 26esumsplit 32413 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
5649, 55eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
5739, 42, 563brtr4d 5136 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  Vcvv 3444  cun 3907  cin 3908  wss 3909  c0 4281   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988  +∞cpnf 11120  *cxr 11122   < clt 11123  cle 11124  cn 12087  cuz 12696   +𝑒 cxad 12960  [,)cico 13195  [,]cicc 13196  ...cfz 13353  Σ*cesum 32387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-fac 14102  df-bc 14131  df-hash 14159  df-shft 14886  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-limsup 15288  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-sum 15506  df-ef 15885  df-sin 15887  df-cos 15888  df-pi 15890  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-starv 17083  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-unif 17091  df-hom 17092  df-cco 17093  df-rest 17239  df-topn 17240  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-topgen 17260  df-pt 17261  df-prds 17264  df-ordt 17318  df-xrs 17319  df-qtop 17324  df-imas 17325  df-xps 17327  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-ps 18390  df-tsr 18391  df-plusf 18431  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-mhm 18536  df-submnd 18537  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-mulg 18807  df-subg 18858  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-subrg 20143  df-abv 20199  df-lmod 20247  df-scaf 20248  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294  df-nei 22371  df-lp 22409  df-perf 22410  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-haus 22588  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tmd 23345  df-tgp 23346  df-tsms 23400  df-trg 23433  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-nm 23860  df-ngp 23861  df-nrg 23863  df-nlm 23864  df-ii 24162  df-cncf 24163  df-limc 25152  df-dv 25153  df-log 25834  df-esum 32388
This theorem is referenced by:  esumcvg  32446
  Copyright terms: Public domain W3C validator