Theorem esumpmono 34410

Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpmono.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
esumpmono.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
esumpmono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumpmono	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem esumpmono

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13453	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		ovexd 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ V)
3		elfznn 13577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		icossicc 13459	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
5		esumpmono.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6	4, 5	sselid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
7	3, 6	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
8	7	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑀)
10	9	esumcl 34361	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑀) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11	2, 8, 10	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
12	1, 11	sselid 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ*)
13	12	xrleidd 13173	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
14		ovexd 7443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V)
15		esumpmono.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
17		peano2nn 12241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
18		nnuz 12897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
20		fzss1 13587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
21	16, 19, 20	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
22		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
23	21, 22	sseldd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
24		elfznn 13577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25, 6	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
27	26	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
28		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑀 + 1)...𝑁)
29	28	esumcl 34361	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
30	14, 27, 29	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31		elxrge0 13480	. . . . 5 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
32	31	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
33	30, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)
34		0xr 11252	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
36	1, 30	sselid 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)
37		xle2add 13281	. . . 4 ⊢ (((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 ∈ ℝ*)) → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
38	12, 35, 12, 36, 37	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴)))
39	13, 33, 38	mp2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) ≤ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
40		xaddrid 13263	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
41	12, 40	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴)
42	41	eqcomd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 0))
43	15, 18	eleqtrdi 2879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
44		esumpmono.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
45		eluzfz 13543	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
46	43, 44, 45	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
47		fzsplit 13574	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
48		esumeq1 34365	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
49	46, 47, 48	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴)
50		nfv 1941	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
51		nnre 12236	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
52	51	ltp1d 12141	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 < (𝑀 + 1))
53		fzdisj 13575	. . . . 5 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
54	15, 52, 53	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
55	50, 9, 28, 2, 14, 54, 7, 26	esumsplit 34384	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
56	49, 55	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
57	39, 42, 56	3brtr4d 5144	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑀)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  +∞cpnf 11236  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕcn 12229  ℤ_≥cuz 12858   +_𝑒 cxad 13131  [,)cico 13370  [,]cicc 13371  ...cfz 13531  Σ^*cesum 34358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-ordt 17551  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-ps 18618  df-tsr 18619  df-plusf 18693  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-abv 20886  df-lmod 20957  df-scaf 20958  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-tmd 24194  df-tgp 24195  df-tsms 24249  df-trg 24282  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-nm 24704  df-ngp 24705  df-nrg 24707  df-nlm 24708  df-ii 25001  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-log 26683  df-esum 34359

This theorem is referenced by:  esumcvg  34417