Theorem eluzfz2 13481

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12793	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13468	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13482  elfzubelfz  13485  fzopth  13510  fzsuc  13520  fseq1p1m1  13547  fzm1  13556  fzneuz  13557  fzoend  13707  uzindi  13939  seqcl2  13977  seqfveq2  13981  seqshft2  13985  monoord  13989  monoord2  13990  seqsplit  13992  seqcaopr3  13994  seqf1olem2a  13997  seqf1olem1  13998  seqf1olem2  13999  seqid2  14005  seqhomo  14006  seqcoll  14421  seqcoll2  14422  wrdeqs1cat  14677  pfxccatin12lem2  14688  pfxccatin12lem3  14689  splid  14710  spllen  14711  splval2  14714  summolem2a  15672  fsumm1  15708  telfsumo  15760  telfsumo2  15761  fsumparts  15764  prodfn0  15854  prodfrec  15855  prodmolem2a  15894  fprodm1  15927  sadadd  16431  sadass  16435  smuval2  16446  vdwlem6  16952  efgredleme  19713  efgredlemc  19715  efgcpbllemb  19725  frgpuplem  19742  telgsumfzslem  19958  telgsumfzs  19959  pmatcollpw3fi1lem1  22765  chfacfisf  22833  chfacfisfcpmat  22834  iscmet3lem1  25272  iscmet3lem2  25273  voliunlem1  25531  volsup  25537  mbfi1fseqlem3  25698  wilthlem2  27050  wilthlem3  27051  chtub  27193  dchrisum0flb  27491  pntpbnd1  27567  pntlemf  27586  spthonepeq  29839  wwlksnext  29980  2clwwlk2clwwlklem  30435  clwwlknonclwlknonf1o  30451  wrdsplex  33015  gsummptfzsplitra  33138  cycpmco2f1  33204  submatres  33970  madjusmdetlem1  33991  madjusmdetlem2  33992  madjusmdetlem3  33993  madjusmdetlem4  33994  ballotlemfc0  34657  ballotlemfcc  34658  ballotlemfrci  34692  gsumnunsn  34705  swrdrevpfx  35319  cvmliftlem10  35496  supfz  35931  fwddifnp1  36367  poimirlem3  37964  poimirlem4  37965  poimirlem16  37977  poimirlem19  37980  poimirlem20  37981  poimirlem23  37984  poimirlem31  37992  volsupnfl  38006  sdclem2  38083  fdc  38086  mettrifi  38098  iunincfi  45548  monoordxrv  45933  monoord2xrv  45935  fmul01lt1lem2  46039  limsupubuzlem  46164  dvnmul  46395  dvnprodlem3  46400  stoweidlem3  46455  stoweidlem11  46463  stoweidlem17  46469  stoweidlem34  46486  fourierdlem15  46574  fourierdlem25  46584  fourierdlem50  46608  fourierdlem52  46610  fourierdlem54  46612  fourierdlem65  46623  fourierdlem81  46639  fourierdlem92  46650  fourierdlem102  46660  fourierdlem111  46669  fourierdlem113  46671  fourierdlem114  46672  etransclem35  46721  sge0p1  46866  carageniuncllem1  46973  caratheodorylem1  46978  smfmullem4  47246  ssfz12  47780  elfzlble  47786  smonoord  47843  gpg3kgrtriexlem5  48581  gpg5grlim  48587  gpg5grlic  48588