Theorem eluzfz2 12918

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12256	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12261	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 12906	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 685	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-neg 10875  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  12919  elfzubelfz  12922  fzopth  12947  fzsuc  12957  fseq1p1m1  12984  fzm1  12990  fzneuz  12991  fzoend  13131  uzindi  13353  seqcl2  13391  seqfveq2  13395  seqshft2  13399  monoord  13403  monoord2  13404  seqsplit  13406  seqcaopr3  13408  seqf1olem2a  13411  seqf1olem1  13412  seqf1olem2  13413  seqid2  13419  seqhomo  13420  seqcoll  13825  seqcoll2  13826  wrdeqs1cat  14084  pfxccatin12lem2  14095  pfxccatin12lem3  14096  splid  14117  spllen  14118  splval2  14121  summolem2a  15074  fsumm1  15108  telfsumo  15159  telfsumo2  15160  fsumparts  15163  prodfn0  15252  prodfrec  15253  prodmolem2a  15290  fprodm1  15323  sadadd  15818  sadass  15822  smuval2  15833  vdwlem6  16324  efgredleme  18871  efgredlemc  18873  efgcpbllemb  18883  frgpuplem  18900  telgsumfzslem  19110  telgsumfzs  19111  pmatcollpw3fi1lem1  21396  chfacfisf  21464  chfacfisfcpmat  21465  iscmet3lem1  23896  iscmet3lem2  23897  voliunlem1  24153  volsup  24159  mbfi1fseqlem3  24320  wilthlem2  25648  wilthlem3  25649  chtub  25790  dchrisum0flb  26088  pntpbnd1  26164  pntlemf  26183  spthonepeq  27535  wwlksnext  27673  2clwwlk2clwwlklem  28127  clwwlknonclwlknonf1o  28143  wrdsplex  30616  cycpmco2f1  30768  submatres  31073  madjusmdetlem1  31094  madjusmdetlem2  31095  madjusmdetlem3  31096  madjusmdetlem4  31097  ballotlemfc0  31752  ballotlemfcc  31753  ballotlemfrci  31787  gsumnunsn  31813  swrdrevpfx  32365  cvmliftlem10  32543  supfz  32962  fwddifnp1  33628  poimirlem3  34897  poimirlem4  34898  poimirlem16  34910  poimirlem19  34913  poimirlem20  34914  poimirlem23  34917  poimirlem31  34925  volsupnfl  34939  sdclem2  35019  fdc  35022  mettrifi  35034  iunincfi  41367  monoordxrv  41765  monoord2xrv  41767  fmul01lt1lem2  41873  limsupubuzlem  42000  dvnmul  42235  dvnprodlem3  42240  stoweidlem3  42295  stoweidlem11  42303  stoweidlem17  42309  stoweidlem34  42326  fourierdlem15  42414  fourierdlem25  42424  fourierdlem50  42448  fourierdlem52  42450  fourierdlem54  42452  fourierdlem65  42463  fourierdlem81  42479  fourierdlem92  42490  fourierdlem102  42500  fourierdlem111  42509  fourierdlem113  42511  fourierdlem114  42512  etransclem35  42561  sge0p1  42703  carageniuncllem1  42810  caratheodorylem1  42815  smfmullem4  43076  ssfz12  43521  elfzlble  43527  smonoord  43538