Theorem eluzfz2 13509

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12832	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12837	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13496	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 686	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13510  elfzubelfz  13513  fzopth  13538  fzsuc  13548  fseq1p1m1  13575  fzm1  13581  fzneuz  13582  fzoend  13723  uzindi  13947  seqcl2  13986  seqfveq2  13990  seqshft2  13994  monoord  13998  monoord2  13999  seqsplit  14001  seqcaopr3  14003  seqf1olem2a  14006  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  seqid2  14014  seqhomo  14015  seqcoll  14425  seqcoll2  14426  wrdeqs1cat  14670  pfxccatin12lem2  14681  pfxccatin12lem3  14682  splid  14703  spllen  14704  splval2  14707  summolem2a  15661  fsumm1  15697  telfsumo  15748  telfsumo2  15749  fsumparts  15752  prodfn0  15840  prodfrec  15841  prodmolem2a  15878  fprodm1  15911  sadadd  16408  sadass  16412  smuval2  16423  vdwlem6  16919  efgredleme  19611  efgredlemc  19613  efgcpbllemb  19623  frgpuplem  19640  telgsumfzslem  19856  telgsumfzs  19857  pmatcollpw3fi1lem1  22288  chfacfisf  22356  chfacfisfcpmat  22357  iscmet3lem1  24808  iscmet3lem2  24809  voliunlem1  25067  volsup  25073  mbfi1fseqlem3  25235  wilthlem2  26573  wilthlem3  26574  chtub  26715  dchrisum0flb  27013  pntpbnd1  27089  pntlemf  27108  spthonepeq  29040  wwlksnext  29178  2clwwlk2clwwlklem  29630  clwwlknonclwlknonf1o  29646  wrdsplex  32135  cycpmco2f1  32314  submatres  32817  madjusmdetlem1  32838  madjusmdetlem2  32839  madjusmdetlem3  32840  madjusmdetlem4  32841  ballotlemfc0  33522  ballotlemfcc  33523  ballotlemfrci  33557  gsumnunsn  33583  swrdrevpfx  34138  cvmliftlem10  34316  supfz  34729  fwddifnp1  35168  poimirlem3  36539  poimirlem4  36540  poimirlem16  36552  poimirlem19  36555  poimirlem20  36556  poimirlem23  36559  poimirlem31  36567  volsupnfl  36581  sdclem2  36658  fdc  36661  mettrifi  36673  iunincfi  43831  monoordxrv  44240  monoord2xrv  44242  fmul01lt1lem2  44349  limsupubuzlem  44476  dvnmul  44707  dvnprodlem3  44712  stoweidlem3  44767  stoweidlem11  44775  stoweidlem17  44781  stoweidlem34  44798  fourierdlem15  44886  fourierdlem25  44896  fourierdlem50  44920  fourierdlem52  44922  fourierdlem54  44924  fourierdlem65  44935  fourierdlem81  44951  fourierdlem92  44962  fourierdlem102  44972  fourierdlem111  44981  fourierdlem113  44983  fourierdlem114  44984  etransclem35  45033  sge0p1  45178  carageniuncllem1  45285  caratheodorylem1  45290  smfmullem4  45558  ssfz12  46070  elfzlble  46076  smonoord  46087