Theorem eluzfz2 12910

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12241	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12246	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 12897	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 686	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  12911  elfzubelfz  12914  fzopth  12939  fzsuc  12949  fseq1p1m1  12976  fzm1  12982  fzneuz  12983  fzoend  13123  uzindi  13345  seqcl2  13384  seqfveq2  13388  seqshft2  13392  monoord  13396  monoord2  13397  seqsplit  13399  seqcaopr3  13401  seqf1olem2a  13404  seqf1olem1  13405  seqf1olem2  13406  seqid2  13412  seqhomo  13413  seqcoll  13818  seqcoll2  13819  wrdeqs1cat  14073  pfxccatin12lem2  14084  pfxccatin12lem3  14085  splid  14106  spllen  14107  splval2  14110  summolem2a  15064  fsumm1  15098  telfsumo  15149  telfsumo2  15150  fsumparts  15153  prodfn0  15242  prodfrec  15243  prodmolem2a  15280  fprodm1  15313  sadadd  15806  sadass  15810  smuval2  15821  vdwlem6  16312  efgredleme  18861  efgredlemc  18863  efgcpbllemb  18873  frgpuplem  18890  telgsumfzslem  19101  telgsumfzs  19102  pmatcollpw3fi1lem1  21391  chfacfisf  21459  chfacfisfcpmat  21460  iscmet3lem1  23895  iscmet3lem2  23896  voliunlem1  24154  volsup  24160  mbfi1fseqlem3  24321  wilthlem2  25654  wilthlem3  25655  chtub  25796  dchrisum0flb  26094  pntpbnd1  26170  pntlemf  26189  spthonepeq  27541  wwlksnext  27679  2clwwlk2clwwlklem  28131  clwwlknonclwlknonf1o  28147  wrdsplex  30640  cycpmco2f1  30816  submatres  31159  madjusmdetlem1  31180  madjusmdetlem2  31181  madjusmdetlem3  31182  madjusmdetlem4  31183  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  ballotlemfrci  31895  gsumnunsn  31921  swrdrevpfx  32476  cvmliftlem10  32654  supfz  33073  fwddifnp1  33739  poimirlem3  35060  poimirlem4  35061  poimirlem16  35073  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem23  35080  poimirlem31  35088  volsupnfl  35102  sdclem2  35180  fdc  35183  mettrifi  35195  iunincfi  41730  monoordxrv  42121  monoord2xrv  42123  fmul01lt1lem2  42227  limsupubuzlem  42354  dvnmul  42585  dvnprodlem3  42590  stoweidlem3  42645  stoweidlem11  42653  stoweidlem17  42659  stoweidlem34  42676  fourierdlem15  42764  fourierdlem25  42774  fourierdlem50  42798  fourierdlem52  42800  fourierdlem54  42802  fourierdlem65  42813  fourierdlem81  42829  fourierdlem92  42840  fourierdlem102  42850  fourierdlem111  42859  fourierdlem113  42861  fourierdlem114  42862  etransclem35  42911  sge0p1  43053  carageniuncllem1  43160  caratheodorylem1  43165  smfmullem4  43426  ssfz12  43871  elfzlble  43877  smonoord  43888