Theorem eluzfz2 13493

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12803	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12808	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13494  elfzubelfz  13497  fzopth  13522  fzsuc  13532  fseq1p1m1  13559  fzm1  13568  fzneuz  13569  fzoend  13718  uzindi  13947  seqcl2  13985  seqfveq2  13989  seqshft2  13993  monoord  13997  monoord2  13998  seqsplit  14000  seqcaopr3  14002  seqf1olem2a  14005  seqf1olem1  14006  seqf1olem2  14007  seqid2  14013  seqhomo  14014  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  wrdeqs1cat  14685  pfxccatin12lem2  14696  pfxccatin12lem3  14697  splid  14718  spllen  14719  splval2  14722  summolem2a  15681  fsumm1  15717  telfsumo  15768  telfsumo2  15769  fsumparts  15772  prodfn0  15860  prodfrec  15861  prodmolem2a  15900  fprodm1  15933  sadadd  16437  sadass  16441  smuval2  16452  vdwlem6  16957  efgredleme  19673  efgredlemc  19675  efgcpbllemb  19685  frgpuplem  19702  telgsumfzslem  19918  telgsumfzs  19919  pmatcollpw3fi1lem1  22673  chfacfisf  22741  chfacfisfcpmat  22742  iscmet3lem1  25191  iscmet3lem2  25192  voliunlem1  25451  volsup  25457  mbfi1fseqlem3  25618  wilthlem2  26979  wilthlem3  26980  chtub  27123  dchrisum0flb  27421  pntpbnd1  27497  pntlemf  27516  spthonepeq  29682  wwlksnext  29823  2clwwlk2clwwlklem  30275  clwwlknonclwlknonf1o  30291  wrdsplex  32857  cycpmco2f1  33081  submatres  33796  madjusmdetlem1  33817  madjusmdetlem2  33818  madjusmdetlem3  33819  madjusmdetlem4  33820  ballotlemfc0  34484  ballotlemfcc  34485  ballotlemfrci  34519  gsumnunsn  34532  swrdrevpfx  35104  cvmliftlem10  35281  supfz  35716  fwddifnp1  36153  poimirlem3  37617  poimirlem4  37618  poimirlem16  37630  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem23  37637  poimirlem31  37645  volsupnfl  37659  sdclem2  37736  fdc  37739  mettrifi  37751  iunincfi  45088  monoordxrv  45477  monoord2xrv  45479  fmul01lt1lem2  45583  limsupubuzlem  45710  dvnmul  45941  dvnprodlem3  45946  stoweidlem3  46001  stoweidlem11  46009  stoweidlem17  46015  stoweidlem34  46032  fourierdlem15  46120  fourierdlem25  46130  fourierdlem50  46154  fourierdlem52  46156  fourierdlem54  46158  fourierdlem65  46169  fourierdlem81  46185  fourierdlem92  46196  fourierdlem102  46206  fourierdlem111  46215  fourierdlem113  46217  fourierdlem114  46218  etransclem35  46267  sge0p1  46412  carageniuncllem1  46519  caratheodorylem1  46524  smfmullem4  46792  ssfz12  47315  elfzlble  47321  smonoord  47372  gpg3kgrtriexlem5  48078  gpg5grlic  48084