Theorem eluzfz2 13539

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12851	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12856	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13526	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 697	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-neg 11419  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13540  elfzubelfz  13543  fzopth  13568  fzsuc  13578  fseq1p1m1  13605  fzm1  13614  fzneuz  13615  fzoend  13765  uzindi  13997  seqcl2  14035  seqfveq2  14039  seqshft2  14043  monoord  14047  monoord2  14048  seqsplit  14050  seqcaopr3  14052  seqf1olem2a  14055  seqf1olem1  14056  seqf1olem2  14057  seqid2  14063  seqhomo  14064  seqcoll  14479  seqcoll2  14480  wrdeqs1cat  14735  pfxccatin12lem2  14746  pfxccatin12lem3  14747  splid  14768  spllen  14769  splval2  14772  summolem2a  15744  fsumm1  15780  telfsumo  15832  telfsumo2  15833  fsumparts  15836  prodfn0  15926  prodfrec  15927  prodmolem2a  15966  fprodm1  15999  sadadd  16503  sadass  16507  smuval2  16518  vdwlem6  17024  efgredleme  19785  efgredlemc  19787  efgcpbllemb  19797  frgpuplem  19814  telgsumfzslem  20030  telgsumfzs  20031  pmatcollpw3fi1lem1  22848  chfacfisf  22916  chfacfisfcpmat  22917  iscmet3lem1  25355  iscmet3lem2  25356  voliunlem1  25614  volsup  25620  mbfi1fseqlem3  25781  wilthlem2  27135  wilthlem3  27136  chtub  27278  dchrisum0flb  27576  pntpbnd1  27652  pntlemf  27671  spthonepeq  29954  wwlksnext  30095  2clwwlk2clwwlklem  30550  clwwlknonclwlknonf1o  30566  wrdsplex  33116  gsummptfzsplitra  33240  cycpmco2f1  33306  submatres  34105  madjusmdetlem1  34126  madjusmdetlem2  34127  madjusmdetlem3  34128  madjusmdetlem4  34129  ballotlemfc0  34792  ballotlemfcc  34793  ballotlemfrci  34827  gsumnunsn  34840  swrdrevpfx  35471  cvmliftlem10  35649  supfz  36084  fwddifnp1  36520  poimirlem3  38127  poimirlem4  38128  poimirlem16  38140  poimirlem19  38143  poimirlem20  38144  poimirlem23  38147  poimirlem31  38155  volsupnfl  38169  sdclem2  38246  fdc  38249  mettrifi  38261  iunincfi  45677  monoordxrv  46060  monoord2xrv  46062  fmul01lt1lem2  46166  limsupubuzlem  46291  dvnmul  46522  dvnprodlem3  46527  stoweidlem3  46582  stoweidlem11  46590  stoweidlem17  46596  stoweidlem34  46613  fourierdlem15  46701  fourierdlem25  46711  fourierdlem50  46735  fourierdlem52  46737  fourierdlem54  46739  fourierdlem65  46750  fourierdlem81  46766  fourierdlem92  46777  fourierdlem102  46787  fourierdlem111  46796  fourierdlem113  46798  fourierdlem114  46799  etransclem35  46848  sge0p1  46993  carageniuncllem1  47100  caratheodorylem1  47105  smfmullem4  47373  ssfz12  47913  elfzlble  47919  smonoord  47976  gpg3kgrtriexlem5  48714  gpg5grlim  48720  gpg5grlic  48721