Theorem eluzfz2 13619

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12930	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12935	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13606	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-pre-lttri 11231

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-neg 11501  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595

This theorem is used by:  eluzfz2b  13620  elfzubelfz  13623  fzopth  13649  fzsuc  13659  fseq1p1m1  13686  fzm1  13695  fzneuz  13696  fzoend  13846  uzindi  14079  seqcl2  14117  seqfveq2  14121  seqshft2  14125  monoord  14129  monoord2  14130  seqsplit  14132  seqcaopr3  14134  seqf1olem2a  14137  seqf1olem1  14138  seqf1olem2  14139  seqid2  14145  seqhomo  14146  seqcoll  14562  seqcoll2  14563  wrdeqs1cat  14822  pfxccatin12lem2  14833  pfxccatin12lem3  14834  splid  14855  spllen  14856  splval2  14859  swrdrevpfx  14871  summolem2a  15834  fsumm1  15870  telfsumo  15922  telfsumo2  15923  fsumparts  15926  prodfn0  16016  prodfrec  16017  prodmolem2a  16054  fprodm1  16087  sadadd  16590  sadass  16594  smuval2  16605  vdwlem6  17111  efgredleme  19904  efgredlemc  19906  efgcpbllemb  19916  frgpuplem  19933  telgsumfzslem  20149  telgsumfzs  20150  pmatcollpw3fi1lem1  23051  chfacfisf  23119  chfacfisfcpmat  23120  iscmet3lem1  25559  iscmet3lem2  25560  voliunlem1  25818  volsup  25824  mbfi1fseqlem3  25985  wilthlem2  27345  wilthlem3  27346  chtub  27488  dchrisum0flb  27786  pntpbnd1  27862  pntlemf  27881  spthonepeq  30257  wwlksnext  30401  2clwwlk2clwwlklem  30866  clwwlknonclwlknonf1o  30882  wrdsplex  33422  gsummptfzsplitra  33538  cycpmco2f1  33604  submatres  34357  madjusmdetlem1  34378  madjusmdetlem2  34379  madjusmdetlem3  34380  madjusmdetlem4  34381  ballotlemfc0  35045  ballotlemfcc  35046  ballotlemfrci  35080  gsumnunsn  35093  cvmliftlem10  35974  supfz  36409  fwddifnp1  36846  poimirlem3  38455  poimirlem4  38456  poimirlem16  38468  poimirlem19  38471  poimirlem20  38472  poimirlem23  38475  poimirlem31  38483  volsupnfl  38497  sdclem2  38590  fdc  38593  mettrifi  38605  iunincfi  46024  monoordxrv  46407  monoord2xrv  46409  fmul01lt1lem2  46513  limsupubuzlem  46638  dvnmul  46869  dvnprodlem3  46874  stoweidlem3  46929  stoweidlem11  46937  stoweidlem17  46943  stoweidlem34  46960  fourierdlem15  47048  fourierdlem25  47058  fourierdlem50  47082  fourierdlem52  47084  fourierdlem54  47086  fourierdlem65  47097  fourierdlem81  47113  fourierdlem92  47124  fourierdlem102  47134  fourierdlem111  47143  fourierdlem113  47145  fourierdlem114  47146  etransclem35  47195  sge0p1  47340  carageniuncllem1  47447  caratheodorylem1  47452  smfmullem4  47720  ssfz12  48300  elfzlble  48306  smonoord  48363  gpg3kgrtriexlem5  49101  gpg5grlim  49107  gpg5grlic  49108