Theorem eluzfz2 13573

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12889	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12894	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13560	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ...cfz 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13574  elfzubelfz  13577  fzopth  13602  fzsuc  13612  fseq1p1m1  13639  fzm1  13648  fzneuz  13649  fzoend  13797  uzindi  14024  seqcl2  14062  seqfveq2  14066  seqshft2  14070  monoord  14074  monoord2  14075  seqsplit  14077  seqcaopr3  14079  seqf1olem2a  14082  seqf1olem1  14083  seqf1olem2  14084  seqid2  14090  seqhomo  14091  seqcoll  14504  seqcoll2  14505  wrdeqs1cat  14759  pfxccatin12lem2  14770  pfxccatin12lem3  14771  splid  14792  spllen  14793  splval2  14796  summolem2a  15752  fsumm1  15788  telfsumo  15839  telfsumo2  15840  fsumparts  15843  prodfn0  15931  prodfrec  15932  prodmolem2a  15971  fprodm1  16004  sadadd  16505  sadass  16509  smuval2  16520  vdwlem6  17025  efgredleme  19762  efgredlemc  19764  efgcpbllemb  19774  frgpuplem  19791  telgsumfzslem  20007  telgsumfzs  20008  pmatcollpw3fi1lem1  22793  chfacfisf  22861  chfacfisfcpmat  22862  iscmet3lem1  25326  iscmet3lem2  25327  voliunlem1  25586  volsup  25592  mbfi1fseqlem3  25753  wilthlem2  27113  wilthlem3  27114  chtub  27257  dchrisum0flb  27555  pntpbnd1  27631  pntlemf  27650  spthonepeq  29773  wwlksnext  29914  2clwwlk2clwwlklem  30366  clwwlknonclwlknonf1o  30382  wrdsplex  32921  cycpmco2f1  33145  submatres  33806  madjusmdetlem1  33827  madjusmdetlem2  33828  madjusmdetlem3  33829  madjusmdetlem4  33830  ballotlemfc0  34496  ballotlemfcc  34497  ballotlemfrci  34531  gsumnunsn  34557  swrdrevpfx  35123  cvmliftlem10  35300  supfz  35730  fwddifnp1  36167  poimirlem3  37631  poimirlem4  37632  poimirlem16  37644  poimirlem19  37647  poimirlem20  37648  poimirlem23  37651  poimirlem31  37659  volsupnfl  37673  sdclem2  37750  fdc  37753  mettrifi  37765  iunincfi  45104  monoordxrv  45497  monoord2xrv  45499  fmul01lt1lem2  45605  limsupubuzlem  45732  dvnmul  45963  dvnprodlem3  45968  stoweidlem3  46023  stoweidlem11  46031  stoweidlem17  46037  stoweidlem34  46054  fourierdlem15  46142  fourierdlem25  46152  fourierdlem50  46176  fourierdlem52  46178  fourierdlem54  46180  fourierdlem65  46191  fourierdlem81  46207  fourierdlem92  46218  fourierdlem102  46228  fourierdlem111  46237  fourierdlem113  46239  fourierdlem114  46240  etransclem35  46289  sge0p1  46434  carageniuncllem1  46541  caratheodorylem1  46546  smfmullem4  46814  ssfz12  47331  elfzlble  47337  smonoord  47363  gpg3kgrtriexlem5  48048  gpg5grlic  48052