MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzfz2 12914
Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eluzfz2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12252 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 uzid 12257 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
4 eluzfz 12902 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
53, 4mpdan 685 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  cfv 6354  (class class class)co 7155  cz 11980  cuz 12242  ...cfz 12891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-neg 10872  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892
This theorem is referenced by:  eluzfz2b  12915  elfzubelfz  12918  fzopth  12943  fzsuc  12953  fseq1p1m1  12980  fzm1  12986  fzneuz  12987  fzoend  13127  uzindi  13349  seqcl2  13387  seqfveq2  13391  seqshft2  13395  monoord  13399  monoord2  13400  seqsplit  13402  seqcaopr3  13404  seqf1olem2a  13407  seqf1olem1  13408  seqf1olem2  13409  seqid2  13415  seqhomo  13416  seqcoll  13821  seqcoll2  13822  wrdeqs1cat  14081  pfxccatin12lem2  14092  pfxccatin12lem3  14093  splid  14114  spllen  14115  splval2  14118  summolem2a  15071  fsumm1  15105  telfsumo  15156  telfsumo2  15157  fsumparts  15160  prodfn0  15249  prodfrec  15250  prodmolem2a  15287  fprodm1  15320  sadadd  15815  sadass  15819  smuval2  15830  vdwlem6  16321  efgredleme  18868  efgredlemc  18870  efgcpbllemb  18880  frgpuplem  18897  telgsumfzslem  19107  telgsumfzs  19108  pmatcollpw3fi1lem1  21393  chfacfisf  21461  chfacfisfcpmat  21462  iscmet3lem1  23893  iscmet3lem2  23894  voliunlem1  24150  volsup  24156  mbfi1fseqlem3  24317  wilthlem2  25645  wilthlem3  25646  chtub  25787  dchrisum0flb  26085  pntpbnd1  26161  pntlemf  26180  spthonepeq  27532  wwlksnext  27670  2clwwlk2clwwlklem  28124  clwwlknonclwlknonf1o  28140  wrdsplex  30614  cycpmco2f1  30766  submatres  31071  madjusmdetlem1  31092  madjusmdetlem2  31093  madjusmdetlem3  31094  madjusmdetlem4  31095  ballotlemfc0  31750  ballotlemfcc  31751  ballotlemfrci  31785  gsumnunsn  31811  swrdrevpfx  32363  cvmliftlem10  32541  supfz  32960  fwddifnp1  33626  poimirlem3  34894  poimirlem4  34895  poimirlem16  34907  poimirlem19  34910  poimirlem20  34911  poimirlem23  34914  poimirlem31  34922  volsupnfl  34936  sdclem2  35016  fdc  35019  mettrifi  35031  iunincfi  41360  monoordxrv  41758  monoord2xrv  41760  fmul01lt1lem2  41866  limsupubuzlem  41993  dvnmul  42228  dvnprodlem3  42233  stoweidlem3  42289  stoweidlem11  42297  stoweidlem17  42303  stoweidlem34  42320  fourierdlem15  42408  fourierdlem25  42418  fourierdlem50  42442  fourierdlem52  42444  fourierdlem54  42446  fourierdlem65  42457  fourierdlem81  42473  fourierdlem92  42484  fourierdlem102  42494  fourierdlem111  42503  fourierdlem113  42505  fourierdlem114  42506  etransclem35  42555  sge0p1  42697  carageniuncllem1  42804  caratheodorylem1  42809  smfmullem4  43070  ssfz12  43515  elfzlble  43521  smonoord  43532
  Copyright terms: Public domain W3C validator