Theorem eluzfz2 13435

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12745	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12750	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13422	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13436  elfzubelfz  13439  fzopth  13464  fzsuc  13474  fseq1p1m1  13501  fzm1  13510  fzneuz  13511  fzoend  13660  uzindi  13889  seqcl2  13927  seqfveq2  13931  seqshft2  13935  monoord  13939  monoord2  13940  seqsplit  13942  seqcaopr3  13944  seqf1olem2a  13947  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  seqid2  13955  seqhomo  13956  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  wrdeqs1cat  14626  pfxccatin12lem2  14637  pfxccatin12lem3  14638  splid  14659  spllen  14660  splval2  14663  summolem2a  15622  fsumm1  15658  telfsumo  15709  telfsumo2  15710  fsumparts  15713  prodfn0  15801  prodfrec  15802  prodmolem2a  15841  fprodm1  15874  sadadd  16378  sadass  16382  smuval2  16393  vdwlem6  16898  efgredleme  19622  efgredlemc  19624  efgcpbllemb  19634  frgpuplem  19651  telgsumfzslem  19867  telgsumfzs  19868  pmatcollpw3fi1lem1  22671  chfacfisf  22739  chfacfisfcpmat  22740  iscmet3lem1  25189  iscmet3lem2  25190  voliunlem1  25449  volsup  25455  mbfi1fseqlem3  25616  wilthlem2  26977  wilthlem3  26978  chtub  27121  dchrisum0flb  27419  pntpbnd1  27495  pntlemf  27514  spthonepeq  29701  wwlksnext  29842  2clwwlk2clwwlklem  30294  clwwlknonclwlknonf1o  30310  wrdsplex  32886  cycpmco2f1  33075  submatres  33789  madjusmdetlem1  33810  madjusmdetlem2  33811  madjusmdetlem3  33812  madjusmdetlem4  33813  ballotlemfc0  34477  ballotlemfcc  34478  ballotlemfrci  34512  gsumnunsn  34525  swrdrevpfx  35110  cvmliftlem10  35287  supfz  35722  fwddifnp1  36159  poimirlem3  37623  poimirlem4  37624  poimirlem16  37636  poimirlem19  37639  poimirlem20  37640  poimirlem23  37643  poimirlem31  37651  volsupnfl  37665  sdclem2  37742  fdc  37745  mettrifi  37757  iunincfi  45092  monoordxrv  45480  monoord2xrv  45482  fmul01lt1lem2  45586  limsupubuzlem  45713  dvnmul  45944  dvnprodlem3  45949  stoweidlem3  46004  stoweidlem11  46012  stoweidlem17  46018  stoweidlem34  46035  fourierdlem15  46123  fourierdlem25  46133  fourierdlem50  46157  fourierdlem52  46159  fourierdlem54  46161  fourierdlem65  46172  fourierdlem81  46188  fourierdlem92  46199  fourierdlem102  46209  fourierdlem111  46218  fourierdlem113  46220  fourierdlem114  46221  etransclem35  46270  sge0p1  46415  carageniuncllem1  46522  caratheodorylem1  46527  smfmullem4  46795  ssfz12  47318  elfzlble  47324  smonoord  47375  gpg3kgrtriexlem5  48091  gpg5grlim  48097  gpg5grlic  48098