Theorem eluzfz2 13554

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12867	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12872	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13541	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13555  elfzubelfz  13558  fzopth  13583  fzsuc  13593  fseq1p1m1  13620  fzm1  13629  fzneuz  13630  fzoend  13778  uzindi  14005  seqcl2  14043  seqfveq2  14047  seqshft2  14051  monoord  14055  monoord2  14056  seqsplit  14058  seqcaopr3  14060  seqf1olem2a  14063  seqf1olem1  14064  seqf1olem2  14065  seqid2  14071  seqhomo  14072  seqcoll  14487  seqcoll2  14488  wrdeqs1cat  14743  pfxccatin12lem2  14754  pfxccatin12lem3  14755  splid  14776  spllen  14777  splval2  14780  summolem2a  15736  fsumm1  15772  telfsumo  15823  telfsumo2  15824  fsumparts  15827  prodfn0  15915  prodfrec  15916  prodmolem2a  15955  fprodm1  15988  sadadd  16491  sadass  16495  smuval2  16506  vdwlem6  17011  efgredleme  19729  efgredlemc  19731  efgcpbllemb  19741  frgpuplem  19758  telgsumfzslem  19974  telgsumfzs  19975  pmatcollpw3fi1lem1  22729  chfacfisf  22797  chfacfisfcpmat  22798  iscmet3lem1  25248  iscmet3lem2  25249  voliunlem1  25508  volsup  25514  mbfi1fseqlem3  25675  wilthlem2  27036  wilthlem3  27037  chtub  27180  dchrisum0flb  27478  pntpbnd1  27554  pntlemf  27573  spthonepeq  29739  wwlksnext  29880  2clwwlk2clwwlklem  30332  clwwlknonclwlknonf1o  30348  wrdsplex  32916  cycpmco2f1  33140  submatres  33842  madjusmdetlem1  33863  madjusmdetlem2  33864  madjusmdetlem3  33865  madjusmdetlem4  33866  ballotlemfc0  34530  ballotlemfcc  34531  ballotlemfrci  34565  gsumnunsn  34578  swrdrevpfx  35144  cvmliftlem10  35321  supfz  35751  fwddifnp1  36188  poimirlem3  37652  poimirlem4  37653  poimirlem16  37665  poimirlem19  37668  poimirlem20  37669  poimirlem23  37672  poimirlem31  37680  volsupnfl  37694  sdclem2  37771  fdc  37774  mettrifi  37786  iunincfi  45098  monoordxrv  45488  monoord2xrv  45490  fmul01lt1lem2  45594  limsupubuzlem  45721  dvnmul  45952  dvnprodlem3  45957  stoweidlem3  46012  stoweidlem11  46020  stoweidlem17  46026  stoweidlem34  46043  fourierdlem15  46131  fourierdlem25  46141  fourierdlem50  46165  fourierdlem52  46167  fourierdlem54  46169  fourierdlem65  46180  fourierdlem81  46196  fourierdlem92  46207  fourierdlem102  46217  fourierdlem111  46226  fourierdlem113  46228  fourierdlem114  46229  etransclem35  46278  sge0p1  46423  carageniuncllem1  46530  caratheodorylem1  46535  smfmullem4  46803  ssfz12  47323  elfzlble  47329  smonoord  47365  gpg3kgrtriexlem5  48069  gpg5grlic  48073