Theorem eluzfz2 13432

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12742	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12747	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13419	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13433  elfzubelfz  13436  fzopth  13461  fzsuc  13471  fseq1p1m1  13498  fzm1  13507  fzneuz  13508  fzoend  13657  uzindi  13889  seqcl2  13927  seqfveq2  13931  seqshft2  13935  monoord  13939  monoord2  13940  seqsplit  13942  seqcaopr3  13944  seqf1olem2a  13947  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  seqid2  13955  seqhomo  13956  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  wrdeqs1cat  14627  pfxccatin12lem2  14638  pfxccatin12lem3  14639  splid  14660  spllen  14661  splval2  14664  summolem2a  15622  fsumm1  15658  telfsumo  15709  telfsumo2  15710  fsumparts  15713  prodfn0  15801  prodfrec  15802  prodmolem2a  15841  fprodm1  15874  sadadd  16378  sadass  16382  smuval2  16393  vdwlem6  16898  efgredleme  19655  efgredlemc  19657  efgcpbllemb  19667  frgpuplem  19684  telgsumfzslem  19900  telgsumfzs  19901  pmatcollpw3fi1lem1  22701  chfacfisf  22769  chfacfisfcpmat  22770  iscmet3lem1  25218  iscmet3lem2  25219  voliunlem1  25478  volsup  25484  mbfi1fseqlem3  25645  wilthlem2  27006  wilthlem3  27007  chtub  27150  dchrisum0flb  27448  pntpbnd1  27524  pntlemf  27543  spthonepeq  29730  wwlksnext  29871  2clwwlk2clwwlklem  30326  clwwlknonclwlknonf1o  30342  wrdsplex  32917  cycpmco2f1  33093  submatres  33819  madjusmdetlem1  33840  madjusmdetlem2  33841  madjusmdetlem3  33842  madjusmdetlem4  33843  ballotlemfc0  34506  ballotlemfcc  34507  ballotlemfrci  34541  gsumnunsn  34554  swrdrevpfx  35161  cvmliftlem10  35338  supfz  35773  fwddifnp1  36209  poimirlem3  37662  poimirlem4  37663  poimirlem16  37675  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem23  37682  poimirlem31  37690  volsupnfl  37704  sdclem2  37781  fdc  37784  mettrifi  37796  iunincfi  45190  monoordxrv  45578  monoord2xrv  45580  fmul01lt1lem2  45684  limsupubuzlem  45809  dvnmul  46040  dvnprodlem3  46045  stoweidlem3  46100  stoweidlem11  46108  stoweidlem17  46114  stoweidlem34  46131  fourierdlem15  46219  fourierdlem25  46229  fourierdlem50  46253  fourierdlem52  46255  fourierdlem54  46257  fourierdlem65  46268  fourierdlem81  46284  fourierdlem92  46295  fourierdlem102  46305  fourierdlem111  46314  fourierdlem113  46316  fourierdlem114  46317  etransclem35  46366  sge0p1  46511  carageniuncllem1  46618  caratheodorylem1  46623  smfmullem4  46891  ssfz12  47413  elfzlble  47419  smonoord  47470  gpg3kgrtriexlem5  48186  gpg5grlim  48192  gpg5grlic  48193