Theorem eluzfz2 13469

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12779	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12784	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13456	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13470  elfzubelfz  13473  fzopth  13498  fzsuc  13508  fseq1p1m1  13535  fzm1  13544  fzneuz  13545  fzoend  13694  uzindi  13923  seqcl2  13961  seqfveq2  13965  seqshft2  13969  monoord  13973  monoord2  13974  seqsplit  13976  seqcaopr3  13978  seqf1olem2a  13981  seqf1olem1  13982  seqf1olem2  13983  seqid2  13989  seqhomo  13990  seqcoll  14405  seqcoll2  14406  wrdeqs1cat  14661  pfxccatin12lem2  14672  pfxccatin12lem3  14673  splid  14694  spllen  14695  splval2  14698  summolem2a  15657  fsumm1  15693  telfsumo  15744  telfsumo2  15745  fsumparts  15748  prodfn0  15836  prodfrec  15837  prodmolem2a  15876  fprodm1  15909  sadadd  16413  sadass  16417  smuval2  16428  vdwlem6  16933  efgredleme  19657  efgredlemc  19659  efgcpbllemb  19669  frgpuplem  19686  telgsumfzslem  19902  telgsumfzs  19903  pmatcollpw3fi1lem1  22706  chfacfisf  22774  chfacfisfcpmat  22775  iscmet3lem1  25224  iscmet3lem2  25225  voliunlem1  25484  volsup  25490  mbfi1fseqlem3  25651  wilthlem2  27012  wilthlem3  27013  chtub  27156  dchrisum0flb  27454  pntpbnd1  27530  pntlemf  27549  spthonepeq  29732  wwlksnext  29873  2clwwlk2clwwlklem  30325  clwwlknonclwlknonf1o  30341  wrdsplex  32907  cycpmco2f1  33096  submatres  33789  madjusmdetlem1  33810  madjusmdetlem2  33811  madjusmdetlem3  33812  madjusmdetlem4  33813  ballotlemfc0  34477  ballotlemfcc  34478  ballotlemfrci  34512  gsumnunsn  34525  swrdrevpfx  35097  cvmliftlem10  35274  supfz  35709  fwddifnp1  36146  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem16  37623  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem23  37630  poimirlem31  37638  volsupnfl  37652  sdclem2  37729  fdc  37732  mettrifi  37744  iunincfi  45081  monoordxrv  45470  monoord2xrv  45472  fmul01lt1lem2  45576  limsupubuzlem  45703  dvnmul  45934  dvnprodlem3  45939  stoweidlem3  45994  stoweidlem11  46002  stoweidlem17  46008  stoweidlem34  46025  fourierdlem15  46113  fourierdlem25  46123  fourierdlem50  46147  fourierdlem52  46149  fourierdlem54  46151  fourierdlem65  46162  fourierdlem81  46178  fourierdlem92  46189  fourierdlem102  46199  fourierdlem111  46208  fourierdlem113  46210  fourierdlem114  46211  etransclem35  46260  sge0p1  46405  carageniuncllem1  46512  caratheodorylem1  46517  smfmullem4  46785  ssfz12  47308  elfzlble  47314  smonoord  47365  gpg3kgrtriexlem5  48071  gpg5grlic  48077