Theorem eluzfz2 13570

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12882	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12887	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13557	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℤcz 12601  ℤ_≥cuz 12872  ...cfz 13545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-neg 11454  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546

This theorem is used by:  eluzfz2b  13571  elfzubelfz  13574  fzopth  13600  fzsuc  13610  fseq1p1m1  13637  fzm1  13646  fzneuz  13647  fzoend  13797  uzindi  14029  seqcl2  14067  seqfveq2  14071  seqshft2  14075  monoord  14079  monoord2  14080  seqsplit  14082  seqcaopr3  14084  seqf1olem2a  14087  seqf1olem1  14088  seqf1olem2  14089  seqid2  14095  seqhomo  14096  seqcoll  14512  seqcoll2  14513  wrdeqs1cat  14768  pfxccatin12lem2  14779  pfxccatin12lem3  14780  splid  14801  spllen  14802  splval2  14805  summolem2a  15777  fsumm1  15813  telfsumo  15865  telfsumo2  15866  fsumparts  15869  prodfn0  15959  prodfrec  15960  prodmolem2a  15999  fprodm1  16032  sadadd  16535  sadass  16539  smuval2  16550  vdwlem6  17056  efgredleme  19823  efgredlemc  19825  efgcpbllemb  19835  frgpuplem  19852  telgsumfzslem  20068  telgsumfzs  20069  pmatcollpw3fi1lem1  22958  chfacfisf  23026  chfacfisfcpmat  23027  iscmet3lem1  25465  iscmet3lem2  25466  voliunlem1  25724  volsup  25730  mbfi1fseqlem3  25891  wilthlem2  27248  wilthlem3  27249  chtub  27391  dchrisum0flb  27689  pntpbnd1  27765  pntlemf  27784  spthonepeq  30116  wwlksnext  30257  2clwwlk2clwwlklem  30712  clwwlknonclwlknonf1o  30728  wrdsplex  33271  gsummptfzsplitra  33391  cycpmco2f1  33457  submatres  34209  madjusmdetlem1  34230  madjusmdetlem2  34231  madjusmdetlem3  34232  madjusmdetlem4  34233  ballotlemfc0  34896  ballotlemfcc  34897  ballotlemfrci  34931  gsumnunsn  34944  swrdrevpfx  35620  cvmliftlem10  35798  supfz  36233  fwddifnp1  36669  poimirlem3  38306  poimirlem4  38307  poimirlem16  38319  poimirlem19  38322  poimirlem20  38323  poimirlem23  38326  poimirlem31  38334  volsupnfl  38348  sdclem2  38425  fdc  38428  mettrifi  38440  iunincfi  45844  monoordxrv  46227  monoord2xrv  46229  fmul01lt1lem2  46333  limsupubuzlem  46458  dvnmul  46689  dvnprodlem3  46694  stoweidlem3  46749  stoweidlem11  46757  stoweidlem17  46763  stoweidlem34  46780  fourierdlem15  46868  fourierdlem25  46878  fourierdlem50  46902  fourierdlem52  46904  fourierdlem54  46906  fourierdlem65  46917  fourierdlem81  46933  fourierdlem92  46944  fourierdlem102  46954  fourierdlem111  46963  fourierdlem113  46965  fourierdlem114  46966  etransclem35  47015  sge0p1  47160  carageniuncllem1  47267  caratheodorylem1  47272  smfmullem4  47540  ssfz12  48083  elfzlble  48089  smonoord  48146  gpg3kgrtriexlem5  48884  gpg5grlim  48890  gpg5grlic  48891