Theorem eluzfz2 13689

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12999	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 13004	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13675	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  eluzfz2b  13690  elfzubelfz  13693  fzopth  13719  fzsuc  13729  fseq1p1m1  13756  fzm1  13765  fzneuz  13766  fzoend  13916  uzindi  14149  seqcl2  14187  seqfveq2  14191  seqshft2  14195  monoord  14199  monoord2  14200  seqsplit  14202  seqcaopr3  14204  seqf1olem2a  14207  seqf1olem1  14208  seqf1olem2  14209  seqid2  14215  seqhomo  14216  seqcoll  14633  seqcoll2  14634  wrdeqs1cat  14894  pfxccatin12lem2  14905  pfxccatin12lem3  14906  splid  14927  spllen  14928  splval2  14931  swrdrevpfx  14943  summolem2a  15907  fsumm1  15943  telfsumo  15995  telfsumo2  15996  fsumparts  15999  prodfn0  16089  prodfrec  16090  prodmolem2a  16127  fprodm1  16160  sadadd  16663  sadass  16667  smuval2  16678  vdwlem6  17190  efgredleme  19984  efgredlemc  19986  efgcpbllemb  19996  frgpuplem  20013  telgsumfzslem  20229  telgsumfzs  20230  pmatcollpw3fi1lem1  23131  chfacfisf  23199  chfacfisfcpmat  23200  iscmet3lem1  25639  iscmet3lem2  25640  voliunlem1  25898  volsup  25904  mbfi1fseqlem3  26065  wilthlem2  27423  wilthlem3  27424  chtub  27566  dchrisum0flb  27864  pntpbnd1  27940  pntlemf  27959  spthonepeq  30365  wwlksnext  30509  2clwwlk2clwwlklem  30974  clwwlknonclwlknonf1o  30990  wrdsplex  33570  gsummptfzsplitra  33686  cycpmco2f1  33752  submatres  34505  madjusmdetlem1  34526  madjusmdetlem2  34527  madjusmdetlem3  34528  madjusmdetlem4  34529  ballotlemfc0  35192  ballotlemfcc  35193  ballotlemfrci  35227  gsumnunsn  35240  cvmliftlem10  36225  supfz  36671  fwddifnp1  37107  poimirlem3  38732  poimirlem4  38733  poimirlem16  38745  poimirlem19  38748  poimirlem20  38749  poimirlem23  38752  poimirlem31  38760  volsupnfl  38774  sdclem2  38867  fdc  38870  mettrifi  38882  iunincfi  46312  monoordxrv  46694  monoord2xrv  46696  fmul01lt1lem2  46800  limsupubuzlem  46925  dvnmul  47156  dvnprodlem3  47161  stoweidlem3  47216  stoweidlem11  47224  stoweidlem17  47230  stoweidlem34  47247  fourierdlem15  47335  fourierdlem25  47345  fourierdlem50  47369  fourierdlem52  47371  fourierdlem54  47373  fourierdlem65  47384  fourierdlem81  47400  fourierdlem92  47411  fourierdlem102  47421  fourierdlem111  47430  fourierdlem113  47432  fourierdlem114  47433  etransclem35  47482  sge0p1  47627  carageniuncllem1  47734  caratheodorylem1  47739  smfmullem4  48007  ssfz12  48587  elfzlble  48593  smonoord  48650  gpg3kgrtriexlem5  49388  gpg5grlim  49394  gpg5grlic  49395