Theorem eluzfz2 13486

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12803	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13473	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13487  elfzubelfz  13490  fzopth  13515  fzsuc  13525  fseq1p1m1  13552  fzm1  13561  fzneuz  13562  fzoend  13712  uzindi  13944  seqcl2  13982  seqfveq2  13986  seqshft2  13990  monoord  13994  monoord2  13995  seqsplit  13997  seqcaopr3  13999  seqf1olem2a  14002  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  seqid2  14010  seqhomo  14011  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  wrdeqs1cat  14682  pfxccatin12lem2  14693  pfxccatin12lem3  14694  splid  14715  spllen  14716  splval2  14719  summolem2a  15677  fsumm1  15713  telfsumo  15765  telfsumo2  15766  fsumparts  15769  prodfn0  15859  prodfrec  15860  prodmolem2a  15899  fprodm1  15932  sadadd  16436  sadass  16440  smuval2  16451  vdwlem6  16957  efgredleme  19718  efgredlemc  19720  efgcpbllemb  19730  frgpuplem  19747  telgsumfzslem  19963  telgsumfzs  19964  pmatcollpw3fi1lem1  22751  chfacfisf  22819  chfacfisfcpmat  22820  iscmet3lem1  25258  iscmet3lem2  25259  voliunlem1  25517  volsup  25523  mbfi1fseqlem3  25684  wilthlem2  27032  wilthlem3  27033  chtub  27175  dchrisum0flb  27473  pntpbnd1  27549  pntlemf  27568  spthonepeq  29820  wwlksnext  29961  2clwwlk2clwwlklem  30416  clwwlknonclwlknonf1o  30432  wrdsplex  32996  gsummptfzsplitra  33119  cycpmco2f1  33185  submatres  33950  madjusmdetlem1  33971  madjusmdetlem2  33972  madjusmdetlem3  33973  madjusmdetlem4  33974  ballotlemfc0  34637  ballotlemfcc  34638  ballotlemfrci  34672  gsumnunsn  34685  swrdrevpfx  35299  cvmliftlem10  35476  supfz  35911  fwddifnp1  36347  poimirlem3  37944  poimirlem4  37945  poimirlem16  37957  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem23  37964  poimirlem31  37972  volsupnfl  37986  sdclem2  38063  fdc  38066  mettrifi  38078  iunincfi  45524  monoordxrv  45909  monoord2xrv  45911  fmul01lt1lem2  46015  limsupubuzlem  46140  dvnmul  46371  dvnprodlem3  46376  stoweidlem3  46431  stoweidlem11  46439  stoweidlem17  46445  stoweidlem34  46462  fourierdlem15  46550  fourierdlem25  46560  fourierdlem50  46584  fourierdlem52  46586  fourierdlem54  46588  fourierdlem65  46599  fourierdlem81  46615  fourierdlem92  46626  fourierdlem102  46636  fourierdlem111  46645  fourierdlem113  46647  fourierdlem114  46648  etransclem35  46697  sge0p1  46842  carageniuncllem1  46949  caratheodorylem1  46954  smfmullem4  47222  ssfz12  47762  elfzlble  47768  smonoord  47825  gpg3kgrtriexlem5  48563  gpg5grlim  48569  gpg5grlic  48570