Theorem eluzfz2 13566

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12878	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12883	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13553	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 699	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11450  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542

This theorem is used by:  eluzfz2b  13567  elfzubelfz  13570  fzopth  13596  fzsuc  13606  fseq1p1m1  13633  fzm1  13642  fzneuz  13643  fzoend  13793  uzindi  14025  seqcl2  14063  seqfveq2  14067  seqshft2  14071  monoord  14075  monoord2  14076  seqsplit  14078  seqcaopr3  14080  seqf1olem2a  14083  seqf1olem1  14084  seqf1olem2  14085  seqid2  14091  seqhomo  14092  seqcoll  14508  seqcoll2  14509  wrdeqs1cat  14764  pfxccatin12lem2  14775  pfxccatin12lem3  14776  splid  14797  spllen  14798  splval2  14801  summolem2a  15773  fsumm1  15809  telfsumo  15861  telfsumo2  15862  fsumparts  15865  prodfn0  15955  prodfrec  15956  prodmolem2a  15995  fprodm1  16028  sadadd  16531  sadass  16535  smuval2  16546  vdwlem6  17052  efgredleme  19819  efgredlemc  19821  efgcpbllemb  19831  frgpuplem  19848  telgsumfzslem  20064  telgsumfzs  20065  pmatcollpw3fi1lem1  22954  chfacfisf  23022  chfacfisfcpmat  23023  iscmet3lem1  25461  iscmet3lem2  25462  voliunlem1  25720  volsup  25726  mbfi1fseqlem3  25887  wilthlem2  27244  wilthlem3  27245  chtub  27387  dchrisum0flb  27685  pntpbnd1  27761  pntlemf  27780  spthonepeq  30112  wwlksnext  30253  2clwwlk2clwwlklem  30708  clwwlknonclwlknonf1o  30724  wrdsplex  33267  gsummptfzsplitra  33387  cycpmco2f1  33453  submatres  34205  madjusmdetlem1  34226  madjusmdetlem2  34227  madjusmdetlem3  34228  madjusmdetlem4  34229  ballotlemfc0  34892  ballotlemfcc  34893  ballotlemfrci  34927  gsumnunsn  34940  swrdrevpfx  35616  cvmliftlem10  35794  supfz  36229  fwddifnp1  36665  poimirlem3  38302  poimirlem4  38303  poimirlem16  38315  poimirlem19  38318  poimirlem20  38319  poimirlem23  38322  poimirlem31  38330  volsupnfl  38344  sdclem2  38421  fdc  38424  mettrifi  38436  iunincfi  45840  monoordxrv  46223  monoord2xrv  46225  fmul01lt1lem2  46329  limsupubuzlem  46454  dvnmul  46685  dvnprodlem3  46690  stoweidlem3  46745  stoweidlem11  46753  stoweidlem17  46759  stoweidlem34  46776  fourierdlem15  46864  fourierdlem25  46874  fourierdlem50  46898  fourierdlem52  46900  fourierdlem54  46902  fourierdlem65  46913  fourierdlem81  46929  fourierdlem92  46940  fourierdlem102  46950  fourierdlem111  46959  fourierdlem113  46961  fourierdlem114  46962  etransclem35  47011  sge0p1  47156  carageniuncllem1  47263  caratheodorylem1  47268  smfmullem4  47536  ssfz12  48079  elfzlble  48085  smonoord  48142  gpg3kgrtriexlem5  48880  gpg5grlim  48886  gpg5grlic  48887