Theorem eluzfz2 13452

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12765	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12770	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 13439	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-neg 11371  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  13453  elfzubelfz  13456  fzopth  13481  fzsuc  13491  fseq1p1m1  13518  fzm1  13527  fzneuz  13528  fzoend  13677  uzindi  13909  seqcl2  13947  seqfveq2  13951  seqshft2  13955  monoord  13959  monoord2  13960  seqsplit  13962  seqcaopr3  13964  seqf1olem2a  13967  seqf1olem1  13968  seqf1olem2  13969  seqid2  13975  seqhomo  13976  seqcoll  14391  seqcoll2  14392  wrdeqs1cat  14647  pfxccatin12lem2  14658  pfxccatin12lem3  14659  splid  14680  spllen  14681  splval2  14684  summolem2a  15642  fsumm1  15678  telfsumo  15729  telfsumo2  15730  fsumparts  15733  prodfn0  15821  prodfrec  15822  prodmolem2a  15861  fprodm1  15894  sadadd  16398  sadass  16402  smuval2  16413  vdwlem6  16918  efgredleme  19676  efgredlemc  19678  efgcpbllemb  19688  frgpuplem  19705  telgsumfzslem  19921  telgsumfzs  19922  pmatcollpw3fi1lem1  22734  chfacfisf  22802  chfacfisfcpmat  22803  iscmet3lem1  25251  iscmet3lem2  25252  voliunlem1  25511  volsup  25517  mbfi1fseqlem3  25678  wilthlem2  27039  wilthlem3  27040  chtub  27183  dchrisum0flb  27481  pntpbnd1  27557  pntlemf  27576  spthonepeq  29829  wwlksnext  29970  2clwwlk2clwwlklem  30425  clwwlknonclwlknonf1o  30441  wrdsplex  33020  gsummptfzsplitra  33143  cycpmco2f1  33208  submatres  33965  madjusmdetlem1  33986  madjusmdetlem2  33987  madjusmdetlem3  33988  madjusmdetlem4  33989  ballotlemfc0  34652  ballotlemfcc  34653  ballotlemfrci  34687  gsumnunsn  34700  swrdrevpfx  35313  cvmliftlem10  35490  supfz  35925  fwddifnp1  36361  poimirlem3  37826  poimirlem4  37827  poimirlem16  37839  poimirlem19  37842  poimirlem20  37843  poimirlem23  37846  poimirlem31  37854  volsupnfl  37868  sdclem2  37945  fdc  37948  mettrifi  37960  iunincfi  45405  monoordxrv  45792  monoord2xrv  45794  fmul01lt1lem2  45898  limsupubuzlem  46023  dvnmul  46254  dvnprodlem3  46259  stoweidlem3  46314  stoweidlem11  46322  stoweidlem17  46328  stoweidlem34  46345  fourierdlem15  46433  fourierdlem25  46443  fourierdlem50  46467  fourierdlem52  46469  fourierdlem54  46471  fourierdlem65  46482  fourierdlem81  46498  fourierdlem92  46509  fourierdlem102  46519  fourierdlem111  46528  fourierdlem113  46530  fourierdlem114  46531  etransclem35  46580  sge0p1  46725  carageniuncllem1  46832  caratheodorylem1  46837  smfmullem4  47105  ssfz12  47627  elfzlble  47633  smonoord  47684  gpg3kgrtriexlem5  48400  gpg5grlim  48406  gpg5grlic  48407