MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzuz 12902
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 12900 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
21simplbi 501 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  cfv 6328  (class class class)co 7139  cuz 12235  ...cfz 12889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-neg 10866  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890
This theorem is referenced by:  elfzel1  12905  elfzelz  12906  elfzle1  12909  eluzfz2b  12915  fzsplit2  12931  fzsplit  12932  fzopth  12943  fzss1  12945  fzss2  12946  fzssuz  12947  fzp1elp1  12959  uzsplit  12978  elfzmlbm  13016  predfz  13031  fzosplit  13069  seqf2  13389  seqfeq2  13393  seqfeq  13395  sermono  13402  seqf1olem2  13410  seqz  13418  seqfeq3  13420  ser0  13422  seqcoll  13822  swrdval2  14003  swrdswrd  14062  pfxccatin12  14090  pfxccatpfx2  14094  spllen  14111  swrds2m  14298  limsupgre  14833  clim2ser  15006  clim2ser2  15007  isermulc2  15009  iserle  15011  climub  15013  isercolllem1  15016  isercolllem3  15018  isercoll2  15020  iseraltlem1  15033  fsumcvg  15064  fsumser  15082  isumclim3  15109  isumadd  15117  fsump1i  15119  fsum0diaglem  15126  o1fsum  15163  iserabs  15165  cvgcmp  15166  cvgcmpub  15167  cvgcmpce  15168  isumsplit  15190  isum1p  15191  isumsup2  15196  climcndslem1  15199  climcndslem2  15200  climcnds  15201  geoserg  15216  mertenslem1  15235  clim2div  15240  prodf1  15242  prodfn0  15245  ntrivcvgmullem  15252  fprodcvg  15279  fprodntriv  15291  fprodabs  15323  fprodeq0  15324  iprodclim3  15349  iprodmul  15352  fprodefsum  15443  prmind2  16022  prmdvdsfz  16042  pcfac  16228  prmreclem4  16248  prmreclem5  16249  prmgaplem1  16378  prmgaplem2  16379  prmgaplcmlem2  16381  prmgapprmolem  16390  efgtlen  18847  efgredleme  18864  ovolunlem1a  24103  ovolicc1  24123  uniioombllem3  24192  dvfsumrlimf  24631  dvfsumlem1  24632  dvfsumlem2  24633  dvfsumlem3  24634  dvfsumlem4  24635  dvfsum2  24640  coeidlem  24837  coeid3  24840  vieta1lem2  24910  mtest  25002  mtestbdd  25003  birthdaylem2  25541  wilth  25659  ftalem4  25664  ftalem5  25665  chtub  25799  mersenne  25814  bposlem6  25876  lgsdilem2  25920  rplogsumlem1  26071  rplogsumlem2  26072  dchrisumlem2  26077  dchrisum0lem1  26103  logdivbnd  26143  pntrsumbnd2  26154  pntrlog2bndlem1  26164  pntpbnd1  26173  pntpbnd2  26174  pntlemh  26186  pntlemj  26190  axlowdimlem17  26755  fzsplit3  30546  swrdrn2  30657  swrdrn3  30658  swrdf1  30659  swrdrndisj  30660  ballotlemfrci  31893  subfacp1lem3  32537  knoppcnlem11  33950  poimirlem1  35051  poimirlem2  35052  poimirlem31  35081  poimirlem32  35082  mblfinlem2  35088  mettrifi  35188  geomcau  35190  fzsplitnd  39263  iunincfi  41717  elfzfzo  41894  fsumsermpt  42208  fmulcl  42210  fmuldfeqlem1  42211  iblspltprt  42602  itgspltprt  42608  stoweidlem11  42640  stoweidlem17  42646  stirlinglem7  42709  fourierdlem15  42751  fourierdlem25  42761  sge0isum  43053  sge0seq  43072  sge0reuz  43073  sge0reuzb  43074  iundjiun  43086  meaiuninclem  43106  carageniuncllem1  43147  carageniuncllem2  43148  caratheodorylem1  43152  ssfz12  43858  iccpartgt  43931
  Copyright terms: Public domain W3C validator