Theorem elfzuz 13423

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13421	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  elfzel1  13426  elfzelz  13427  elfzle1  13430  eluzfz2b  13436  fzsplit2  13452  fzsplit  13453  fzopth  13464  fzss1  13466  fzss2  13467  fzssuz  13468  fzp1elp1  13480  uzsplit  13499  elfzmlbm  13541  predfz  13556  fzosplit  13595  seqf2  13928  seqfeq2  13932  seqfeq  13934  sermono  13941  seqf1olem2  13949  seqz  13957  seqfeq3  13959  ser0  13961  seqcoll  14371  swrdval2  14553  swrdswrd  14611  pfxccatin12  14639  pfxccatpfx2  14643  spllen  14660  swrds2m  14848  limsupgre  15388  clim2ser  15562  clim2ser2  15563  isermulc2  15565  iserle  15567  climub  15569  isercolllem1  15572  isercolllem3  15574  isercoll2  15576  iseraltlem1  15589  fsumcvg  15619  fsumser  15637  isumclim3  15666  isumadd  15674  fsump1i  15676  fsum0diaglem  15683  o1fsum  15720  iserabs  15722  cvgcmp  15723  cvgcmpub  15724  cvgcmpce  15725  isumsplit  15747  isum1p  15748  isumsup2  15753  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  climcnds  15758  geoserg  15773  mertenslem1  15791  clim2div  15796  prodf1  15798  prodfn0  15801  ntrivcvgmullem  15808  fprodcvg  15837  fprodntriv  15849  fprodabs  15881  fprodeq0  15882  iprodclim3  15907  iprodmul  15910  fprodefsum  16002  prmind2  16596  prmdvdsfz  16616  pcfac  16811  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmgaplem1  16961  prmgaplem2  16962  prmgaplcmlem2  16964  prmgapprmolem  16973  efgtlen  19605  efgredleme  19622  ovolunlem1a  25395  ovolicc1  25415  uniioombllem3  25484  dvfsumrlimf  25929  dvfsumlem1  25930  dvfsumlem2  25931  dvfsumlem2OLD  25932  dvfsumlem3  25933  dvfsumlem4  25934  dvfsum2  25939  coeidlem  26140  coeid3  26143  vieta1lem2  26217  mtest  26311  mtestbdd  26312  birthdaylem2  26860  wilth  26979  ftalem4  26984  ftalem5  26985  chtub  27121  mersenne  27136  bposlem6  27198  lgsdilem2  27242  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  dchrisumlem2  27399  dchrisum0lem1  27425  logdivbnd  27465  pntrsumbnd2  27476  pntrlog2bndlem1  27486  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntlemh  27508  pntlemj  27512  axlowdimlem17  28903  fzsplit3  32737  swrdrn2  32897  swrdrn3  32898  swrdf1  32899  swrdrndisj  32900  ballotlemfrci  34502  subfacp1lem3  35165  knoppcnlem11  36487  poimirlem1  37611  poimirlem2  37612  poimirlem31  37641  poimirlem32  37642  mblfinlem2  37648  mettrifi  37747  geomcau  37749  fzsplitnd  41965  aks4d1p3  42061  iunincfi  45082  elfzfzo  45269  fsumsermpt  45570  fmulcl  45572  fmuldfeqlem1  45573  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  stoweidlem11  46002  stoweidlem17  46008  stirlinglem7  46071  fourierdlem15  46113  fourierdlem25  46123  sge0isum  46418  sge0seq  46437  sge0reuz  46438  sge0reuzb  46439  iundjiun  46451  meaiuninclem  46471  carageniuncllem1  46512  carageniuncllem2  46513  caratheodorylem1  46517  ssfz12  47308  iccpartgt  47421