Theorem elfzuz 13073

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13071	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℤ_≥cuz 12403  ...cfz 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-neg 11030  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061

This theorem is referenced by:  elfzel1  13076  elfzelz  13077  elfzle1  13080  eluzfz2b  13086  fzsplit2  13102  fzsplit  13103  fzopth  13114  fzss1  13116  fzss2  13117  fzssuz  13118  fzp1elp1  13130  uzsplit  13149  elfzmlbm  13187  predfz  13202  fzosplit  13240  seqf2  13560  seqfeq2  13564  seqfeq  13566  sermono  13573  seqf1olem2  13581  seqz  13589  seqfeq3  13591  ser0  13593  seqcoll  13995  swrdval2  14176  swrdswrd  14235  pfxccatin12  14263  pfxccatpfx2  14267  spllen  14284  swrds2m  14471  limsupgre  15007  clim2ser  15183  clim2ser2  15184  isermulc2  15186  iserle  15188  climub  15190  isercolllem1  15193  isercolllem3  15195  isercoll2  15197  iseraltlem1  15210  fsumcvg  15241  fsumser  15259  isumclim3  15286  isumadd  15294  fsump1i  15296  fsum0diaglem  15303  o1fsum  15340  iserabs  15342  cvgcmp  15343  cvgcmpub  15344  cvgcmpce  15345  isumsplit  15367  isum1p  15368  isumsup2  15373  climcndslem1  15376  climcndslem2  15377  climcnds  15378  geoserg  15393  mertenslem1  15411  clim2div  15416  prodf1  15418  prodfn0  15421  ntrivcvgmullem  15428  fprodcvg  15455  fprodntriv  15467  fprodabs  15499  fprodeq0  15500  iprodclim3  15525  iprodmul  15528  fprodefsum  15619  prmind2  16205  prmdvdsfz  16225  pcfac  16415  prmreclem4  16435  prmreclem5  16436  prmgaplem1  16565  prmgaplem2  16566  prmgaplcmlem2  16568  prmgapprmolem  16577  efgtlen  19070  efgredleme  19087  ovolunlem1a  24347  ovolicc1  24367  uniioombllem3  24436  dvfsumrlimf  24876  dvfsumlem1  24877  dvfsumlem2  24878  dvfsumlem3  24879  dvfsumlem4  24880  dvfsum2  24885  coeidlem  25085  coeid3  25088  vieta1lem2  25158  mtest  25250  mtestbdd  25251  birthdaylem2  25789  wilth  25907  ftalem4  25912  ftalem5  25913  chtub  26047  mersenne  26062  bposlem6  26124  lgsdilem2  26168  rplogsumlem1  26319  rplogsumlem2  26320  dchrisumlem2  26325  dchrisum0lem1  26351  logdivbnd  26391  pntrsumbnd2  26402  pntrlog2bndlem1  26412  pntpbnd1  26421  pntpbnd2  26422  pntlemh  26434  pntlemj  26438  axlowdimlem17  27003  fzsplit3  30789  swrdrn2  30900  swrdrn3  30901  swrdf1  30902  swrdrndisj  30903  ballotlemfrci  32160  subfacp1lem3  32811  knoppcnlem11  34369  poimirlem1  35464  poimirlem2  35465  poimirlem31  35494  poimirlem32  35495  mblfinlem2  35501  mettrifi  35601  geomcau  35603  fzsplitnd  39674  iunincfi  42258  elfzfzo  42428  fsumsermpt  42738  fmulcl  42740  fmuldfeqlem1  42741  iblspltprt  43132  itgspltprt  43138  stoweidlem11  43170  stoweidlem17  43176  stirlinglem7  43239  fourierdlem15  43281  fourierdlem25  43291  sge0isum  43583  sge0seq  43602  sge0reuz  43603  sge0reuzb  43604  iundjiun  43616  meaiuninclem  43636  carageniuncllem1  43677  carageniuncllem2  43678  caratheodorylem1  43682  ssfz12  44422  iccpartgt  44495