Theorem elfzuz 13653

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13651	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℤ_≥cuz 12966  ...cfz 13640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11545  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641

This theorem is used by:  elfzel1  13656  elfzelz  13657  elfzle1  13661  eluzfz2b  13667  fzsplit2  13684  fzsplit  13685  fzopth  13696  fzss1  13698  fzss2  13699  fzssuz  13700  fzp1elp1  13712  uzsplit  13731  elfzmlbm  13773  predfz  13788  fzosplit  13828  seqf2  14165  seqfeq2  14169  seqfeq  14171  sermono  14178  seqf1olem2  14186  seqz  14194  seqfeq3  14196  ser0  14198  seqcoll  14610  swrdval2  14795  swrdf1  14800  swrdrn3  14803  swrdswrd  14855  pfxccatin12  14883  pfxccatpfx2  14887  spllen  14904  swrds2m  15093  limsupgre  15649  clim2ser  15823  clim2ser2  15824  isermulc2  15826  iserle  15828  climub  15830  isercolllem1  15833  isercolllem3  15835  isercoll2  15837  iseraltlem1  15850  fsumcvg  15879  fsumser  15897  isumclim3  15926  isumadd  15934  fsump1i  15936  fsum0diaglem  15943  o1fsum  15981  iserabs  15983  cvgcmp  15984  cvgcmpub  15985  cvgcmpce  15986  isumsplit  16010  isum1p  16011  isumsup2  16016  climcndslem1  16019  climcndslem2  16020  climcnds  16021  geoserg  16036  mertenslem1  16054  clim2div  16059  prodf1  16061  prodfn0  16064  ntrivcvgmullem  16071  fprodcvg  16098  fprodntriv  16110  fprodabs  16142  fprodeq0  16143  iprodclim3  16168  iprodmul  16171  fprodefsum  16262  prmind2  16861  prmdvdsfz  16882  pcfac  17078  prmreclem4  17098  prmreclem5  17099  prmgaplem1  17228  prmgaplem2  17229  prmgaplcmlem2  17231  prmgapprmolem  17240  efgtlen  19941  efgredleme  19958  ovolunlem1a  25818  ovolicc1  25838  uniioombllem3  25907  dvfsumrlimf  26346  dvfsumlem1  26347  dvfsumlem2  26348  dvfsumlem3  26349  dvfsumlem4  26350  dvfsum2  26355  coeidlem  26557  coeid3  26560  vieta1lem2  26635  mtest  26732  mtestbdd  26733  birthdaylem2  27281  wilth  27399  ftalem4  27404  ftalem5  27405  chtub  27540  mersenne  27555  bposlem6  27617  lgsdilem2  27661  rplogsumlem1  27812  rplogsumlem2  27813  dchrisumlem2  27818  dchrisum0lem1  27844  logdivbnd  27884  pntrsumbnd2  27895  pntrlog2bndlem1  27905  pntpbnd1  27914  pntpbnd2  27915  pntlemh  27927  pntlemj  27931  axlowdimlem17  29537  fzsplit3  33428  swrdrn2  33560  swrdrndisj  33561  ballotlemfrci  35203  subfacp1lem3  36016  knoppcnlem11  37444  poimirlem1  38615  poimirlem2  38616  poimirlem31  38645  poimirlem32  38646  mblfinlem2  38652  mettrifi  38767  geomcau  38769  fzsplitnd  43108  aks4d1p3  43204  iunincfi  46185  elfzfzo  46369  fsumsermpt  46667  fmulcl  46669  fmuldfeqlem1  46670  iblspltprt  47059  itgspltprt  47065  stoweidlem11  47097  stoweidlem17  47103  stirlinglem7  47166  fourierdlem15  47208  fourierdlem25  47218  sge0isum  47513  sge0seq  47532  sge0reuz  47533  sge0reuzb  47534  iundjiun  47546  meaiuninclem  47566  carageniuncllem1  47607  carageniuncllem2  47608  caratheodorylem1  47612  ssfz12  48460  iccpartgt  48585  indprmfz  48791