Theorem elfzuz 13438

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13436	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-neg 11369  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426

This theorem is referenced by:  elfzel1  13441  elfzelz  13442  elfzle1  13445  eluzfz2b  13451  fzsplit2  13467  fzsplit  13468  fzopth  13479  fzss1  13481  fzss2  13482  fzssuz  13483  fzp1elp1  13495  uzsplit  13514  elfzmlbm  13556  predfz  13571  fzosplit  13610  seqf2  13946  seqfeq2  13950  seqfeq  13952  sermono  13959  seqf1olem2  13967  seqz  13975  seqfeq3  13977  ser0  13979  seqcoll  14389  swrdval2  14572  swrdswrd  14630  pfxccatin12  14658  pfxccatpfx2  14662  spllen  14679  swrds2m  14866  limsupgre  15406  clim2ser  15580  clim2ser2  15581  isermulc2  15583  iserle  15585  climub  15587  isercolllem1  15590  isercolllem3  15592  isercoll2  15594  iseraltlem1  15607  fsumcvg  15637  fsumser  15655  isumclim3  15684  isumadd  15692  fsump1i  15694  fsum0diaglem  15701  o1fsum  15738  iserabs  15740  cvgcmp  15741  cvgcmpub  15742  cvgcmpce  15743  isumsplit  15765  isum1p  15766  isumsup2  15771  climcndslem1  15774  climcndslem2  15775  climcnds  15776  geoserg  15791  mertenslem1  15809  clim2div  15814  prodf1  15816  prodfn0  15819  ntrivcvgmullem  15826  fprodcvg  15855  fprodntriv  15867  fprodabs  15899  fprodeq0  15900  iprodclim3  15925  iprodmul  15928  fprodefsum  16020  prmind2  16614  prmdvdsfz  16634  pcfac  16829  prmreclem4  16849  prmreclem5  16850  prmgaplem1  16979  prmgaplem2  16980  prmgaplcmlem2  16982  prmgapprmolem  16991  efgtlen  19657  efgredleme  19674  ovolunlem1a  25455  ovolicc1  25475  uniioombllem3  25544  dvfsumrlimf  25989  dvfsumlem1  25990  dvfsumlem2  25991  dvfsumlem2OLD  25992  dvfsumlem3  25993  dvfsumlem4  25994  dvfsum2  25999  coeidlem  26200  coeid3  26203  vieta1lem2  26277  mtest  26371  mtestbdd  26372  birthdaylem2  26920  wilth  27039  ftalem4  27044  ftalem5  27045  chtub  27181  mersenne  27196  bposlem6  27258  lgsdilem2  27302  rplogsumlem1  27453  rplogsumlem2  27454  dchrisumlem2  27459  dchrisum0lem1  27485  logdivbnd  27525  pntrsumbnd2  27536  pntrlog2bndlem1  27546  pntpbnd1  27555  pntpbnd2  27556  pntlemh  27568  pntlemj  27572  axlowdimlem17  29033  fzsplit3  32875  swrdrn2  33038  swrdrn3  33039  swrdf1  33040  swrdrndisj  33041  ballotlemfrci  34687  subfacp1lem3  35378  knoppcnlem11  36705  poimirlem1  37824  poimirlem2  37825  poimirlem31  37854  poimirlem32  37855  mblfinlem2  37861  mettrifi  37960  geomcau  37962  fzsplitnd  42258  aks4d1p3  42354  iunincfi  45359  elfzfzo  45546  fsumsermpt  45846  fmulcl  45848  fmuldfeqlem1  45849  iblspltprt  46238  itgspltprt  46244  stoweidlem11  46276  stoweidlem17  46282  stirlinglem7  46345  fourierdlem15  46387  fourierdlem25  46397  sge0isum  46692  sge0seq  46711  sge0reuz  46712  sge0reuzb  46713  iundjiun  46725  meaiuninclem  46745  carageniuncllem1  46786  carageniuncllem2  46787  caratheodorylem1  46791  ssfz12  47581  iccpartgt  47694