Theorem elfzuz 13566

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13564	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-neg 11461  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554

This theorem is used by:  elfzel1  13569  elfzelz  13570  elfzle1  13573  eluzfz2b  13579  fzsplit2  13596  fzsplit  13597  fzopth  13608  fzss1  13610  fzss2  13611  fzssuz  13612  fzp1elp1  13624  uzsplit  13643  elfzmlbm  13685  predfz  13700  fzosplit  13740  seqf2  14077  seqfeq2  14081  seqfeq  14083  sermono  14090  seqf1olem2  14098  seqz  14106  seqfeq3  14108  ser0  14110  seqcoll  14521  swrdval2  14706  swrdf1  14711  swrdrn3  14714  swrdswrd  14766  pfxccatin12  14794  pfxccatpfx2  14798  spllen  14815  swrds2m  15004  limsupgre  15558  clim2ser  15732  clim2ser2  15733  isermulc2  15735  iserle  15737  climub  15739  isercolllem1  15742  isercolllem3  15744  isercoll2  15746  iseraltlem1  15759  fsumcvg  15788  fsumser  15806  isumclim3  15835  isumadd  15843  fsump1i  15845  fsum0diaglem  15852  o1fsum  15890  iserabs  15892  cvgcmp  15893  cvgcmpub  15894  cvgcmpce  15895  isumsplit  15919  isum1p  15920  isumsup2  15925  climcndslem1  15928  climcndslem2  15929  climcnds  15930  geoserg  15945  mertenslem1  15963  clim2div  15968  prodf1  15970  prodfn0  15973  ntrivcvgmullem  15980  fprodcvg  16009  fprodntriv  16021  fprodabs  16053  fprodeq0  16054  iprodclim3  16079  iprodmul  16082  fprodefsum  16173  prmind2  16767  prmdvdsfz  16788  pcfac  16983  prmreclem4  17003  prmreclem5  17004  prmgaplem1  17133  prmgaplem2  17134  prmgaplcmlem2  17136  prmgapprmolem  17145  efgtlen  19842  efgredleme  19859  ovolunlem1a  25708  ovolicc1  25728  uniioombllem3  25797  dvfsumrlimf  26237  dvfsumlem1  26238  dvfsumlem2  26239  dvfsumlem3  26240  dvfsumlem4  26241  dvfsum2  26246  coeidlem  26447  coeid3  26450  vieta1lem2  26525  mtest  26620  mtestbdd  26621  birthdaylem2  27170  wilth  27288  ftalem4  27293  ftalem5  27294  chtub  27429  mersenne  27444  bposlem6  27506  lgsdilem2  27550  rplogsumlem1  27701  rplogsumlem2  27702  dchrisumlem2  27707  dchrisum0lem1  27733  logdivbnd  27773  pntrsumbnd2  27784  pntrlog2bndlem1  27794  pntpbnd1  27803  pntpbnd2  27804  pntlemh  27816  pntlemj  27820  axlowdimlem17  29365  fzsplit3  33210  swrdrn2  33342  swrdrndisj  33343  ballotlemfrci  34985  subfacp1lem3  35713  knoppcnlem11  37151  poimirlem1  38331  poimirlem2  38332  poimirlem31  38361  poimirlem32  38362  mblfinlem2  38368  mettrifi  38468  geomcau  38470  fzsplitnd  42809  aks4d1p3  42905  iunincfi  45872  elfzfzo  46056  fsumsermpt  46355  fmulcl  46357  fmuldfeqlem1  46358  iblspltprt  46747  itgspltprt  46753  stoweidlem11  46785  stoweidlem17  46791  stirlinglem7  46854  fourierdlem15  46896  fourierdlem25  46906  sge0isum  47201  sge0seq  47220  sge0reuz  47221  sge0reuzb  47222  iundjiun  47234  meaiuninclem  47254  carageniuncllem1  47295  carageniuncllem2  47296  caratheodorylem1  47300  ssfz12  48111  iccpartgt  48236  indprmfz  48442