Theorem elfzuz 13466

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13464	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℤ_≥cuz 12780  ...cfz 13453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-neg 11372  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454

This theorem is referenced by:  elfzel1  13469  elfzelz  13470  elfzle1  13473  eluzfz2b  13479  fzsplit2  13495  fzsplit  13496  fzopth  13507  fzss1  13509  fzss2  13510  fzssuz  13511  fzp1elp1  13523  uzsplit  13542  elfzmlbm  13584  predfz  13599  fzosplit  13639  seqf2  13975  seqfeq2  13979  seqfeq  13981  sermono  13988  seqf1olem2  13996  seqz  14004  seqfeq3  14006  ser0  14008  seqcoll  14418  swrdval2  14601  swrdswrd  14659  pfxccatin12  14687  pfxccatpfx2  14691  spllen  14708  swrds2m  14895  limsupgre  15435  clim2ser  15609  clim2ser2  15610  isermulc2  15612  iserle  15614  climub  15616  isercolllem1  15619  isercolllem3  15621  isercoll2  15623  iseraltlem1  15636  fsumcvg  15666  fsumser  15684  isumclim3  15713  isumadd  15721  fsump1i  15723  fsum0diaglem  15730  o1fsum  15768  iserabs  15770  cvgcmp  15771  cvgcmpub  15772  cvgcmpce  15773  isumsplit  15797  isum1p  15798  isumsup2  15803  climcndslem1  15806  climcndslem2  15807  climcnds  15808  geoserg  15823  mertenslem1  15841  clim2div  15846  prodf1  15848  prodfn0  15851  ntrivcvgmullem  15858  fprodcvg  15887  fprodntriv  15899  fprodabs  15931  fprodeq0  15932  iprodclim3  15957  iprodmul  15960  fprodefsum  16052  prmind2  16646  prmdvdsfz  16667  pcfac  16862  prmreclem4  16882  prmreclem5  16883  prmgaplem1  17012  prmgaplem2  17013  prmgaplcmlem2  17015  prmgapprmolem  17024  efgtlen  19693  efgredleme  19710  ovolunlem1a  25482  ovolicc1  25502  uniioombllem3  25571  dvfsumrlimf  26011  dvfsumlem1  26012  dvfsumlem2  26013  dvfsumlem3  26014  dvfsumlem4  26015  dvfsum2  26020  coeidlem  26221  coeid3  26224  vieta1lem2  26296  mtest  26388  mtestbdd  26389  birthdaylem2  26935  wilth  27053  ftalem4  27058  ftalem5  27059  chtub  27194  mersenne  27209  bposlem6  27271  lgsdilem2  27315  rplogsumlem1  27466  rplogsumlem2  27467  dchrisumlem2  27472  dchrisum0lem1  27498  logdivbnd  27538  pntrsumbnd2  27549  pntrlog2bndlem1  27559  pntpbnd1  27568  pntpbnd2  27569  pntlemh  27581  pntlemj  27585  axlowdimlem17  29046  fzsplit3  32886  swrdrn2  33034  swrdrn3  33035  swrdf1  33036  swrdrndisj  33037  ballotlemfrci  34721  subfacp1lem3  35419  knoppcnlem11  36818  poimirlem1  37997  poimirlem2  37998  poimirlem31  38027  poimirlem32  38028  mblfinlem2  38034  mettrifi  38133  geomcau  38135  fzsplitnd  42476  aks4d1p3  42572  iunincfi  45549  elfzfzo  45733  fsumsermpt  46032  fmulcl  46034  fmuldfeqlem1  46035  iblspltprt  46424  itgspltprt  46430  stoweidlem11  46462  stoweidlem17  46468  stirlinglem7  46531  fourierdlem15  46573  fourierdlem25  46583  sge0isum  46878  sge0seq  46897  sge0reuz  46898  sge0reuzb  46899  iundjiun  46911  meaiuninclem  46931  carageniuncllem1  46972  carageniuncllem2  46973  caratheodorylem1  46977  ssfz12  47785  iccpartgt  47910  indprmfz  48116