Theorem elfzuz 13542

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 13540	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  elfzel1  13545  elfzelz  13546  elfzle1  13549  eluzfz2b  13555  fzsplit2  13571  fzsplit  13572  fzopth  13583  fzss1  13585  fzss2  13586  fzssuz  13587  fzp1elp1  13599  uzsplit  13618  elfzmlbm  13660  predfz  13675  fzosplit  13714  seqf2  14044  seqfeq2  14048  seqfeq  14050  sermono  14057  seqf1olem2  14065  seqz  14073  seqfeq3  14075  ser0  14077  seqcoll  14487  swrdval2  14669  swrdswrd  14728  pfxccatin12  14756  pfxccatpfx2  14760  spllen  14777  swrds2m  14965  limsupgre  15502  clim2ser  15676  clim2ser2  15677  isermulc2  15679  iserle  15681  climub  15683  isercolllem1  15686  isercolllem3  15688  isercoll2  15690  iseraltlem1  15703  fsumcvg  15733  fsumser  15751  isumclim3  15780  isumadd  15788  fsump1i  15790  fsum0diaglem  15797  o1fsum  15834  iserabs  15836  cvgcmp  15837  cvgcmpub  15838  cvgcmpce  15839  isumsplit  15861  isum1p  15862  isumsup2  15867  climcndslem1  15870  climcndslem2  15871  climcnds  15872  geoserg  15887  mertenslem1  15905  clim2div  15910  prodf1  15912  prodfn0  15915  ntrivcvgmullem  15922  fprodcvg  15951  fprodntriv  15963  fprodabs  15995  fprodeq0  15996  iprodclim3  16021  iprodmul  16024  fprodefsum  16116  prmind2  16709  prmdvdsfz  16729  pcfac  16924  prmreclem4  16944  prmreclem5  16945  prmgaplem1  17074  prmgaplem2  17075  prmgaplcmlem2  17077  prmgapprmolem  17086  efgtlen  19712  efgredleme  19729  ovolunlem1a  25454  ovolicc1  25474  uniioombllem3  25543  dvfsumrlimf  25988  dvfsumlem1  25989  dvfsumlem2  25990  dvfsumlem2OLD  25991  dvfsumlem3  25992  dvfsumlem4  25993  dvfsum2  25998  coeidlem  26199  coeid3  26202  vieta1lem2  26276  mtest  26370  mtestbdd  26371  birthdaylem2  26919  wilth  27038  ftalem4  27043  ftalem5  27044  chtub  27180  mersenne  27195  bposlem6  27257  lgsdilem2  27301  rplogsumlem1  27452  rplogsumlem2  27453  dchrisumlem2  27458  dchrisum0lem1  27484  logdivbnd  27524  pntrsumbnd2  27535  pntrlog2bndlem1  27545  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntlemh  27567  pntlemj  27571  axlowdimlem17  28942  fzsplit3  32775  swrdrn2  32935  swrdrn3  32936  swrdf1  32937  swrdrndisj  32938  ballotlemfrci  34565  subfacp1lem3  35209  knoppcnlem11  36526  poimirlem1  37650  poimirlem2  37651  poimirlem31  37680  poimirlem32  37681  mblfinlem2  37687  mettrifi  37786  geomcau  37788  fzsplitnd  42000  aks4d1p3  42096  iunincfi  45098  elfzfzo  45285  fsumsermpt  45588  fmulcl  45590  fmuldfeqlem1  45591  iblspltprt  45982  itgspltprt  45988  stoweidlem11  46020  stoweidlem17  46026  stirlinglem7  46089  fourierdlem15  46131  fourierdlem25  46141  sge0isum  46436  sge0seq  46455  sge0reuz  46456  sge0reuzb  46457  iundjiun  46469  meaiuninclem  46489  carageniuncllem1  46530  carageniuncllem2  46531  caratheodorylem1  46535  ssfz12  47323  iccpartgt  47421