Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnssfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnssfz 32568
Description: For any finite subset of , find a superset in the form of a set of sequential integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssnnssfz (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnnssfz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12254 . . 3 1 ∈ ℕ
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3 0ss 4397 . . . 4 ∅ ⊆ (1...1)
42, 3eqsstrdi 4034 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (1...1))
5 oveq2 7428 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (1...𝑛) = (1...1))
65sseq2d 4012 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝐴 ⊆ (1...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (1...1)))
76rspcev 3609 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ⊆ (1...1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
81, 4, 7sylancr 586 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
9 elin 3963 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
109simplbi 497 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
1211elpwid 4612 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13 nnssre 12247 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
14 ltso 11325 . . . . . . 7 < Or ℝ
15 soss 5610 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
1613, 14, 15mp2 9 . . . . . 6 < Or ℕ
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ)
189simprbi 496 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21 fisupcl 9493 . . . . 5 (( < Or ℕ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ)) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
2217, 19, 20, 12, 21syl13anc 1370 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
2312, 22sseldd 3981 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ)
2412sselda 3980 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
25 nnuz 12896 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2624, 25eleqtrdi 2839 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
2724nnzd 12616 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
2812adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ)
2922adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
3028, 29sseldd 3981 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ)
3130nnzd 12616 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℤ)
32 fisup2g 9492 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℕ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3317, 19, 20, 12, 32syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34 ssrexv 4049 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℕ → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
3512, 33, 34sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3617, 35supub 9483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥))
3736imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥)
3824nnred 12258 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3930nnred 12258 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℝ)
4038, 39lenltd 11391 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥))
4137, 40mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < ))
42 eluz2 12859 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < )))
4327, 31, 41, 42syl3anbrc 1341 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ𝑥))
44 eluzfz 13529 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
4526, 43, 44syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
4645ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))))
4746ssrdv 3986 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
48 oveq2 7428 . . . . 5 (𝑛 = sup(𝐴, ℕ, < ) → (1...𝑛) = (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
4948sseq2d 4012 . . . 4 (𝑛 = sup(𝐴, ℕ, < ) → (𝐴 ⊆ (1...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))))
5049rspcev 3609 . . 3 ((sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
5123, 47, 50syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
528, 51pm2.61dane 3026 1 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cin 3946  wss 3947  c0 4323  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148   Or wor 5589  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  supcsup 9464  cr 11138  1c1 11140   < clt 11279  cle 11280  cn 12243  cz 12589  cuz 12853  ...cfz 13517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518
This theorem is referenced by:  esumfsup  33689  esumpcvgval  33697
  Copyright terms: Public domain W3C validator