Theorem ssnnssfz 33161

Description: For any finite subset of ℕ, find a superset in the form of a set of sequential integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnssfz	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnnssfz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12255	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3		0ss 4357	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (1...1)
4	2, 3	eqsstrdi 3982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (1...1))
5		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (1...𝑛) = (1...1))
6	5	sseq2d 3970	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 ⊆ (1...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (1...1)))
7	6	rspcev 3583	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ⊆ (1...1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
8	1, 4, 7	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
9		elin 3922	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10	9	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
12	11	elpwid 4573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		nnssre 12248	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14		ltso 11301	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
15		soss 5591	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
16	13, 14, 15	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ)
18	9	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21		fisupcl 9433	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℕ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ)) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
22	17, 19, 20, 12, 21	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
23	12, 22	sseldd 3939	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ)
24	12	sselda 3938	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
25		nnuz 12912	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
26	24, 25	eleqtrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
27	24	nnzd 12628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ)
29	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 12628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℤ)
32		fisup2g 9432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℕ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
33	17, 19, 20, 12, 32	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34		ssrexv 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
35	12, 33, 34	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36	17, 35	supub 9422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥))
37	36	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥)
38	24	nnred 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	30	nnred 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℝ)
40	38, 39	lenltd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥))
41	37, 40	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < ))
42		eluz2 12879	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < )))
43	27, 31, 41, 42	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
44		eluzfz 13558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
45	26, 43, 44	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
46	45	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))))
47	46	ssrdv 3944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
48		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ, < ) → (1...𝑛) = (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
49	48	sseq2d 3970	. . . 4 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ, < ) → (𝐴 ⊆ (1...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))))
50	49	rspcev 3583	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
51	23, 47, 50	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
52	8, 51	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5111   Or wor 5570  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  supcsup 9403  ℝcr 11110  1c1 11112   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12873  ...cfz 13546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547

This theorem is used by:  esumfsup  34483  esumpcvgval  34491