Theorem ssnnssfz 33044

Description: For any finite subset of ℕ, find a superset in the form of a set of sequential integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnssfz	⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnnssfz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12235	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3		0ss 4357	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (1...1)
4	2, 3	eqsstrdi 3983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (1...1))
5		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (1...𝑛) = (1...1))
6	5	sseq2d 3971	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴 ⊆ (1...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (1...1)))
7	6	rspcev 3584	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ⊆ (1...1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
8	1, 4, 7	sylancr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
9		elin 3923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
10	9	simplbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
12	11	elpwid 4567	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13		nnssre 12228	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14		ltso 11278	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
15		soss 5580	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
16	13, 14, 15	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ)
18	9	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
19	18	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21		fisupcl 9418	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℕ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ)) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
22	17, 19, 20, 12, 21	syl13anc 1395	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
23	12, 22	sseldd 3940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ)
24	12	sselda 3939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
25		nnuz 12892	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
26	24, 25	eleqtrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
27	24	nnzd 12608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ)
29	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 12608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℤ)
32		fisup2g 9417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < Or ℕ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
33	17, 19, 20, 12, 32	syl13anc 1395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34		ssrexv 4009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
35	12, 33, 34	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36	17, 35	supub 9407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥))
37	36	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥)
38	24	nnred 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	30	nnred 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℝ)
40	38, 39	lenltd 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥))
41	37, 40	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < ))
42		eluz2 12859	. . . . . . 7 ⊢ (sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < )))
43	27, 31, 41, 42	syl3anbrc 1360	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
44		eluzfz 13538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
45	26, 43, 44	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
46	45	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))))
47	46	ssrdv 3945	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
48		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ, < ) → (1...𝑛) = (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
49	48	sseq2d 3971	. . . 4 ⊢ (𝑛 = sup(𝐴, ℕ, < ) → (𝐴 ⊆ (1...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))))
50	49	rspcev 3584	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
51	23, 47, 50	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
52	8, 51	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105   Or wor 5559  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  supcsup 9388  ℝcr 11087  1c1 11089   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℕcn 12224  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527

This theorem is referenced by:  esumfsup  34377  esumpcvgval  34385