Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnssfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnssfz 30113
 Description: For any finite subset of ℕ, find a superset in the form of a set of sequential integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssnnssfz (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem ssnnssfz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 11387 . . 3 1 ∈ ℕ
2 simpr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
3 0ss 4198 . . . 4 ∅ ⊆ (1...1)
42, 3syl6eqss 3874 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ (1...1))
5 oveq2 6930 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (1...𝑛) = (1...1))
65sseq2d 3852 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝐴 ⊆ (1...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (1...1)))
76rspcev 3511 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ⊆ (1...1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
81, 4, 7sylancr 581 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
9 elin 4019 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝐴 ∈ Fin))
109simplbi 493 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
1110adantr 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℕ)
1211elpwid 4391 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℕ)
13 nnssre 11378 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ
14 ltso 10457 . . . . . . 7 < Or ℝ
15 soss 5293 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
1613, 14, 15mp2 9 . . . . . 6 < Or ℕ
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Or ℕ)
189simprbi 492 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1918adantr 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
20 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
21 fisupcl 8663 . . . . 5 (( < Or ℕ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ)) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
2217, 19, 20, 12, 21syl13anc 1440 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
2312, 22sseldd 3822 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ)
2412sselda 3821 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
25 nnuz 12029 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2624, 25syl6eleq 2869 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
2724nnzd 11833 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
2812adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ)
2922adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ 𝐴)
3028, 29sseldd 3822 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ)
3130nnzd 11833 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℤ)
32 fisup2g 8662 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℕ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℕ)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3317, 19, 20, 12, 32syl13anc 1440 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34 ssrexv 3886 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℕ → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
3512, 33, 34sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3617, 35supub 8653 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥))
3736imp 397 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥)
3824nnred 11391 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3930nnred 11391 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℝ)
4038, 39lenltd 10522 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℕ, < ) < 𝑥))
4137, 40mpbird 249 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < ))
42 eluz2 11998 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℕ, < )))
4327, 31, 41, 42syl3anbrc 1400 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ𝑥))
44 eluzfz 12654 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ‘1) ∧ sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
4526, 43, 44syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
4645ex 403 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))))
4746ssrdv 3827 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
48 oveq2 6930 . . . . 5 (𝑛 = sup(𝐴, ℕ, < ) → (1...𝑛) = (1...sup(𝐴, ℕ, < )))
4948sseq2d 3852 . . . 4 (𝑛 = sup(𝐴, ℕ, < ) → (𝐴 ⊆ (1...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))))
5049rspcev 3511 . . 3 ((sup(𝐴, ℕ, < ) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ⊆ (1...sup(𝐴, ℕ, < ))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
5123, 47, 50syl2anc 579 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
528, 51pm2.61dane 3057 1 (𝐴 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ (1...𝑛))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4886   Or wor 5273  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  supcsup 8634  ℝcr 10271  1c1 10273   < clt 10411   ≤ cle 10412  ℕcn 11374  ℤcz 11728  ℤ≥cuz 11992  ...cfz 12643 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644 This theorem is referenced by:  esumfsup  30730  esumpcvgval  30738
 Copyright terms: Public domain W3C validator