MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4fvwrd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4fvwrd4 13661
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉)
2 0nn0 12525 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
3 elnn0uz 12905 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ (ℤ‘0))
42, 3mpbi 229 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
5 3nn0 12528 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
6 elnn0uz 12905 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ‘0))
75, 6mpbi 229 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘0)
8 uzss 12883 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0)
109sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
11 eluzfz 13536 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘0)) → 0 ∈ (0...𝐿))
124, 10, 11sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 0 ∈ (0...𝐿))
1312adantr 479 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 0 ∈ (0...𝐿))
141, 13ffvelcdmd 7100 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
15 clel5 3655 . . . . 5 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1614, 15sylib 217 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
17 1eluzge0 12914 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
18 1z 12630 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
19 3z 12633 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
20 1le3 12462 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 3
21 eluz2 12866 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
2218, 19, 20, 21mpbir3an 1338 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
23 uzss 12883 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1)
2524sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘1))
26 eluzfz 13536 . . . . . . . 8 ((1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ (0...𝐿))
2717, 25, 26sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ (0...𝐿))
2827adantr 479 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 1 ∈ (0...𝐿))
291, 28ffvelcdmd 7100 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
30 clel5 3655 . . . . 5 ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3129, 30sylib 217 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3216, 31jca 510 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
33 2eluzge0 12915 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
34 uzuzle23 12911 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘2))
35 eluzfz 13536 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ (0...𝐿))
3633, 34, 35sylancr 585 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ (0...𝐿))
3736adantr 479 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 2 ∈ (0...𝐿))
381, 37ffvelcdmd 7100 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
39 clel5 3655 . . . 4 ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4038, 39sylib 217 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
41 eluzfz 13536 . . . . . . 7 ((3 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ∈ (0...𝐿))
427, 41mpan 688 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (0...𝐿))
4342adantr 479 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 3 ∈ (0...𝐿))
441, 43ffvelcdmd 7100 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
45 clel5 3655 . . . 4 ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
4644, 45sylib 217 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
4732, 40, 46jca32 514 . 2 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
48 r19.42v 3188 . . . . . 6 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
49 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
5049anbi2i 621 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5148, 50bitri 274 . . . . 5 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5251rexbii 3091 . . . 4 (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
53522rexbii 3126 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
54 r19.42v 3188 . . . . 5 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
55 r19.41v 3186 . . . . . 6 (∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
5655anbi2i 621 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5754, 56bitri 274 . . . 4 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
58572rexbii 3126 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
59 r19.41v 3186 . . . . . 6 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
60 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
6160anbi1i 622 . . . . . 6 ((∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6259, 61bitri 274 . . . . 5 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6362rexbii 3091 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
64 r19.41v 3186 . . . 4 (∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
65 r19.41v 3186 . . . . 5 (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
6665anbi1i 622 . . . 4 ((∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6763, 64, 663bitri 296 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6853, 58, 673bitri 296 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6947, 68sylibr 233 1 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3067  wss 3949   class class class wbr 5152  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147  cle 11287  2c2 12305  3c3 12306  0cn0 12510  cz 12596  cuz 12860  ...cfz 13524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator