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Theorem 4fvwrd4 13373
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉)
2 0nn0 12246 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
3 elnn0uz 12620 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ (ℤ‘0))
42, 3mpbi 229 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
5 3nn0 12249 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
6 elnn0uz 12620 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ‘0))
75, 6mpbi 229 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘0)
8 uzss 12602 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0)
109sseli 3922 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
11 eluzfz 13248 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘0)) → 0 ∈ (0...𝐿))
124, 10, 11sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 0 ∈ (0...𝐿))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 0 ∈ (0...𝐿))
141, 13ffvelrnd 6957 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
15 clel5 3598 . . . . 5 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1614, 15sylib 217 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
17 1eluzge0 12629 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
18 1z 12348 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
19 3z 12351 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
20 1le3 12183 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 3
21 eluz2 12585 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
2218, 19, 20, 21mpbir3an 1340 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
23 uzss 12602 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1)
2524sseli 3922 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘1))
26 eluzfz 13248 . . . . . . . 8 ((1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ (0...𝐿))
2717, 25, 26sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ (0...𝐿))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 1 ∈ (0...𝐿))
291, 28ffvelrnd 6957 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
30 clel5 3598 . . . . 5 ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3129, 30sylib 217 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3216, 31jca 512 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
33 2eluzge0 12630 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
34 uzuzle23 12626 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘2))
35 eluzfz 13248 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ (0...𝐿))
3633, 34, 35sylancr 587 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ (0...𝐿))
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 2 ∈ (0...𝐿))
381, 37ffvelrnd 6957 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
39 clel5 3598 . . . 4 ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4038, 39sylib 217 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
41 eluzfz 13248 . . . . . . 7 ((3 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ∈ (0...𝐿))
427, 41mpan 687 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (0...𝐿))
4342adantr 481 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 3 ∈ (0...𝐿))
441, 43ffvelrnd 6957 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
45 clel5 3598 . . . 4 ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
4644, 45sylib 217 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
4732, 40, 46jca32 516 . 2 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
48 r19.42v 3279 . . . . . 6 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
49 r19.42v 3279 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
5049anbi2i 623 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5148, 50bitri 274 . . . . 5 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5251rexbii 3180 . . . 4 (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
53522rexbii 3181 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
54 r19.42v 3279 . . . . 5 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
55 r19.41v 3276 . . . . . 6 (∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
5655anbi2i 623 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5754, 56bitri 274 . . . 4 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
58572rexbii 3181 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
59 r19.41v 3276 . . . . . 6 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
60 r19.42v 3279 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
6160anbi1i 624 . . . . . 6 ((∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6259, 61bitri 274 . . . . 5 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6362rexbii 3180 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
64 r19.41v 3276 . . . 4 (∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
65 r19.41v 3276 . . . . 5 (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
6665anbi1i 624 . . . 4 ((∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6763, 64, 663bitri 297 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6853, 58, 673bitri 297 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6947, 68sylibr 233 1 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wrex 3067  wss 3892   class class class wbr 5079  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  0cc0 10870  1c1 10871  cle 11009  2c2 12026  3c3 12027  0cn0 12231  cz 12317  cuz 12579  ...cfz 13236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237
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