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Theorem 4fvwrd4 13685
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉)
2 0nn0 12539 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
3 elnn0uz 12921 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ (ℤ‘0))
42, 3mpbi 230 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
5 3nn0 12542 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
6 elnn0uz 12921 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ‘0))
75, 6mpbi 230 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘0)
8 uzss 12899 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0)
109sseli 3991 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
11 eluzfz 13556 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘0)) → 0 ∈ (0...𝐿))
124, 10, 11sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 0 ∈ (0...𝐿))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 0 ∈ (0...𝐿))
141, 13ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
15 clel5 3665 . . . . 5 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1614, 15sylib 218 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
17 1eluzge0 12932 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
18 1z 12645 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
19 3z 12648 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
20 1le3 12476 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 3
21 eluz2 12882 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
2218, 19, 20, 21mpbir3an 1340 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
23 uzss 12899 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1)
2524sseli 3991 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘1))
26 eluzfz 13556 . . . . . . . 8 ((1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ (0...𝐿))
2717, 25, 26sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ (0...𝐿))
2827adantr 480 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 1 ∈ (0...𝐿))
291, 28ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
30 clel5 3665 . . . . 5 ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3129, 30sylib 218 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3216, 31jca 511 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
33 2eluzge0 12933 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
34 uzuzle23 12929 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘2))
35 eluzfz 13556 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ (0...𝐿))
3633, 34, 35sylancr 587 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ (0...𝐿))
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 2 ∈ (0...𝐿))
381, 37ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
39 clel5 3665 . . . 4 ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4038, 39sylib 218 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
41 eluzfz 13556 . . . . . . 7 ((3 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ∈ (0...𝐿))
427, 41mpan 690 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (0...𝐿))
4342adantr 480 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 3 ∈ (0...𝐿))
441, 43ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
45 clel5 3665 . . . 4 ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
4644, 45sylib 218 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
4732, 40, 46jca32 515 . 2 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
48 r19.42v 3189 . . . . . 6 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
49 r19.42v 3189 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
5049anbi2i 623 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5148, 50bitri 275 . . . . 5 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5251rexbii 3092 . . . 4 (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
53522rexbii 3127 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
54 r19.42v 3189 . . . . 5 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
55 r19.41v 3187 . . . . . 6 (∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
5655anbi2i 623 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
5754, 56bitri 275 . . . 4 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
58572rexbii 3127 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
59 r19.41v 3187 . . . . . 6 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
60 r19.42v 3189 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
6160anbi1i 624 . . . . . 6 ((∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6259, 61bitri 275 . . . . 5 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6362rexbii 3092 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
64 r19.41v 3187 . . . 4 (∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
65 r19.41v 3187 . . . . 5 (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
6665anbi1i 624 . . . 4 ((∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6763, 64, 663bitri 297 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6853, 58, 673bitri 297 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6947, 68sylibr 234 1 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  cle 11294  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
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