Theorem eluzfz1 13534

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12851	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12861	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13522	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846  ...cfz 13510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-neg 11471  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511

This theorem is referenced by:  elfz3  13537  fzn0  13541  fzopth  13564  seqcl  14013  seqfveq  14017  seqshft2  14019  monoord  14023  monoord2  14024  seqcaopr3  14028  seqf1olem2a  14031  seqf1olem2  14033  seqhomo  14040  seqcoll  14451  fsum1p  15725  telfsumo  15774  telfsumo2  15775  fsumparts  15778  mertenslem2  15857  prodfn0  15866  prodfrec  15867  fprod1p  15938  phicl2  16730  eulerthlem2  16744  4sqlem19  16925  vdwlem1  16943  vdwlem6  16948  vdw  16956  fvprmselelfz  17006  prmodvdslcmf  17009  gsumval2  18639  gsumsplit1r  18640  efgsdmi  19680  gsumval3  19855  telgsumfzslem  19936  telgsumfzs  19937  pmatcollpw3fi1lem1  22681  chfacfisf  22749  chfacfisfcpmat  22750  cpmadugsumlemF  22771  imasdsf1olem  24272  ovoliunlem1  25424  mbfi1fseqlem3  25640  cxpeq  26685  ppiltx  27102  logexprlim  27151  dchrmusum2  27420  dchrvmasum2lem  27422  mudivsum  27456  mulogsum  27458  mulog2sumlem2  27461  axlowdimlem13  28758  axlowdim1  28763  axlowdim  28765  crctcshwlkn0lem6  29619  fzto1stfv1  32816  fzto1stinvn  32819  cycpmco2f1  32839  lmatfval  33409  lmat22e11  33413  ballotlem4  34112  ballotlemic  34120  ballotlem1c  34121  ballotlem1ri  34148  subfacp1lem1  34783  subfacp1lem5  34788  subfacp1lem6  34789  cvmliftlem10  34898  cvmliftlem13  34900  inffz  35318  fwddifnp1  35755  poimirlem6  37093  poimirlem7  37094  poimirlem16  37103  poimirlem17  37104  poimirlem19  37106  poimirlem28  37115  fdc  37212  mettrifi  37224  sticksstones12a  41623  monoordxrv  44858  monoord2xrv  44860  fmul01lt1lem1  44966  dvnmptdivc  45320  dvnmul  45325  itgspltprt  45361  stoweidlem17  45399  stoweidlem20  45402  stoweidlem34  45416  fourierdlem15  45504  fourierdlem48  45536  fourierdlem50  45538  fourierdlem52  45540  fourierdlem54  45542  fourierdlem64  45552  fourierdlem81  45569  fourierdlem102  45590  fourierdlem103  45591  fourierdlem104  45592  fourierdlem111  45599  fourierdlem114  45602  etransclem10  45626  etransclem14  45630  etransclem15  45631  etransclem24  45640  etransclem35  45651  etransclem44  45660  smfmullem4  46176  ssfz12  46688  smonoord  46705