MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzfz1 12555
Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eluzfz1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11893 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 11903 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzfz 12544 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53, 4mpancom 660 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-neg 10471  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  elfz3  12558  fzn0  12562  fzopth  12585  seqcl  13028  seqfveq  13032  seqshft2  13034  monoord  13038  monoord2  13039  seqcaopr3  13043  seqf1olem2a  13046  seqf1olem2  13048  seqhomo  13055  seqcoll  13450  swrd0val  13629  splid  13713  spllen  13714  splfv1  13715  splfv2a  13716  splval2  13717  fsum1p  14690  telfsumo  14741  telfsumo2  14742  fsumparts  14745  mertenslem2  14824  prodfn0  14833  prodfrec  14834  fprod1p  14905  phicl2  15680  eulerthlem2  15694  4sqlem19  15874  vdwlem1  15892  vdwlem6  15897  vdw  15905  fvprmselelfz  15955  prmodvdslcmf  15958  gsumval2  17488  efgsdmi  18352  efgredleme  18363  efgredlemc  18365  efgcpbllemb  18375  frgpuplem  18392  gsumval3  18515  telgsumfzslem  18593  telgsumfzs  18594  pmatcollpw3fi1lem1  20811  chfacfisf  20879  chfacfisfcpmat  20880  cpmadugsumlemF  20901  imasdsf1olem  22398  ovoliunlem1  23490  mbfi1fseqlem3  23704  cxpeq  24719  ppiltx  25124  logexprlim  25171  dchrmusum2  25404  dchrvmasum2lem  25406  mudivsum  25440  mulogsum  25442  mulog2sumlem2  25445  axlowdimlem13  26055  axlowdim1  26060  axlowdim  26062  crctcshwlkn0lem6  26943  fzto1stfv1  30191  fzto1stinvn  30194  lmatfval  30220  lmat22e11  30224  ballotlem4  30900  ballotlemic  30908  ballotlem1c  30909  ballotlem1ri  30936  wrdsplex  30958  subfacp1lem1  31499  subfacp1lem5  31504  subfacp1lem6  31505  cvmliftlem10  31614  cvmliftlem13  31616  inffz  31952  inffzOLD  31953  fwddifnp1  32609  poimirlem6  33748  poimirlem7  33749  poimirlem16  33758  poimirlem17  33759  poimirlem19  33761  poimirlem28  33770  fdc  33873  mettrifi  33885  monoordxrv  40228  monoord2xrv  40230  fmul01lt1lem1  40334  dvnmptdivc  40671  dvnmul  40676  itgspltprt  40712  stoweidlem17  40751  stoweidlem20  40754  stoweidlem34  40768  fourierdlem15  40856  fourierdlem48  40888  fourierdlem50  40890  fourierdlem52  40892  fourierdlem54  40894  fourierdlem64  40904  fourierdlem81  40921  fourierdlem102  40942  fourierdlem103  40943  fourierdlem104  40944  fourierdlem111  40951  fourierdlem114  40954  etransclem10  40978  etransclem14  40982  etransclem15  40983  etransclem24  40992  etransclem35  41003  etransclem44  41012  smfmullem4  41521  ssfz12  41852  smonoord  41869
  Copyright terms: Public domain W3C validator