Theorem eluzfz1 13572

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12884	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12894	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13560	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ...cfz 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549

This theorem is referenced by:  elfz3  13575  fzn0  13579  fzopth  13602  seqcl  14064  seqfveq  14068  seqshft2  14070  monoord  14074  monoord2  14075  seqcaopr3  14079  seqf1olem2a  14082  seqf1olem2  14084  seqhomo  14091  seqcoll  14504  fsum1p  15790  telfsumo  15839  telfsumo2  15840  fsumparts  15843  mertenslem2  15922  prodfn0  15931  prodfrec  15932  fprod1p  16005  phicl2  16806  eulerthlem2  16820  4sqlem19  17002  vdwlem1  17020  vdwlem6  17025  vdw  17033  fvprmselelfz  17083  prmodvdslcmf  17086  gsumval2  18700  gsumsplit1r  18701  efgsdmi  19751  gsumval3  19926  telgsumfzslem  20007  telgsumfzs  20008  pmatcollpw3fi1lem1  22793  chfacfisf  22861  chfacfisfcpmat  22862  cpmadugsumlemF  22883  imasdsf1olem  24384  ovoliunlem1  25538  mbfi1fseqlem3  25753  cxpeq  26801  ppiltx  27221  logexprlim  27270  dchrmusum2  27539  dchrvmasum2lem  27541  mudivsum  27575  mulogsum  27577  mulog2sumlem2  27580  axlowdimlem13  28970  axlowdim1  28975  axlowdim  28977  crctcshwlkn0lem6  29836  fzto1stfv1  33122  fzto1stinvn  33125  cycpmco2f1  33145  lmatfval  33814  lmat22e11  33818  ballotlem4  34502  ballotlemic  34510  ballotlem1c  34511  ballotlem1ri  34538  subfacp1lem1  35185  subfacp1lem5  35190  subfacp1lem6  35191  cvmliftlem10  35300  cvmliftlem13  35302  inffz  35731  fwddifnp1  36167  poimirlem6  37634  poimirlem7  37635  poimirlem16  37644  poimirlem17  37645  poimirlem19  37647  poimirlem28  37656  fdc  37753  mettrifi  37765  sticksstones12a  42159  monoordxrv  45497  monoord2xrv  45499  fmul01lt1lem1  45604  dvnmptdivc  45958  dvnmul  45963  itgspltprt  45999  stoweidlem17  46037  stoweidlem20  46040  stoweidlem34  46054  fourierdlem15  46142  fourierdlem48  46174  fourierdlem50  46176  fourierdlem52  46178  fourierdlem54  46180  fourierdlem64  46190  fourierdlem81  46207  fourierdlem102  46228  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem111  46237  fourierdlem114  46240  etransclem10  46264  etransclem14  46268  etransclem15  46269  etransclem24  46278  etransclem35  46289  etransclem44  46298  smfmullem4  46814  ssfz12  47331  smonoord  47363  gpg5grlic  48052