Theorem eluzfz1 13538

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12846	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12856	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13526	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 698	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-neg 11419  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515

This theorem is referenced by:  elfz3  13541  fzn0  13545  fzopth  13568  seqcl  14037  seqfveq  14041  seqshft2  14043  monoord  14047  monoord2  14048  seqcaopr3  14052  seqf1olem2a  14055  seqf1olem2  14057  seqhomo  14064  seqcoll  14479  fsum1p  15782  telfsumo  15832  telfsumo2  15833  fsumparts  15836  mertenslem2  15917  prodfn0  15926  prodfrec  15927  fprod1p  16000  phicl2  16805  eulerthlem2  16819  4sqlem19  17001  vdwlem1  17019  vdwlem6  17024  vdw  17032  fvprmselelfz  17082  prmodvdslcmf  17085  gsumval2  18722  gsumsplit1r  18723  efgsdmi  19774  gsumval3  19949  telgsumfzslem  20030  telgsumfzs  20031  pmatcollpw3fi1lem1  22848  chfacfisf  22916  chfacfisfcpmat  22917  cpmadugsumlemF  22938  imasdsf1olem  24435  ovoliunlem1  25566  mbfi1fseqlem3  25781  cxpeq  26824  ppiltx  27243  logexprlim  27291  dchrmusum2  27560  dchrvmasum2lem  27562  mudivsum  27596  mulogsum  27598  mulog2sumlem2  27601  axlowdimlem13  29157  axlowdim1  29162  axlowdim  29164  crctcshwlkn0lem6  30017  gsummptfzsplitla  33241  fzto1stfv1  33283  fzto1stinvn  33286  cycpmco2f1  33306  lmatfval  34113  lmat22e11  34117  ballotlem4  34798  ballotlemic  34806  ballotlem1c  34807  ballotlem1ri  34834  subfacp1lem1  35534  subfacp1lem5  35539  subfacp1lem6  35540  cvmliftlem10  35649  cvmliftlem13  35651  inffz  36085  fwddifnp1  36520  poimirlem6  38130  poimirlem7  38131  poimirlem16  38140  poimirlem17  38141  poimirlem19  38143  poimirlem28  38152  fdc  38249  mettrifi  38261  sticksstones12a  42779  monoordxrv  46060  monoord2xrv  46062  fmul01lt1lem1  46165  dvnmptdivc  46517  dvnmul  46522  itgspltprt  46558  stoweidlem17  46596  stoweidlem20  46599  stoweidlem34  46613  fourierdlem15  46701  fourierdlem48  46733  fourierdlem50  46735  fourierdlem52  46737  fourierdlem54  46739  fourierdlem64  46749  fourierdlem81  46766  fourierdlem102  46787  fourierdlem103  46788  fourierdlem104  46789  fourierdlem111  46796  fourierdlem114  46799  etransclem10  46823  etransclem14  46827  etransclem15  46828  etransclem24  46837  etransclem35  46848  etransclem44  46857  smfmullem4  47373  ssfz12  47913  smonoord  47976  gpg5grlim  48720  gpg5grlic  48721