Theorem eluzfz1 13512

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12831	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12841	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13500	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 684	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489

This theorem is referenced by:  elfz3  13515  fzn0  13519  fzopth  13542  seqcl  13992  seqfveq  13996  seqshft2  13998  monoord  14002  monoord2  14003  seqcaopr3  14007  seqf1olem2a  14010  seqf1olem2  14012  seqhomo  14019  seqcoll  14429  fsum1p  15703  telfsumo  15752  telfsumo2  15753  fsumparts  15756  mertenslem2  15835  prodfn0  15844  prodfrec  15845  fprod1p  15916  phicl2  16705  eulerthlem2  16719  4sqlem19  16900  vdwlem1  16918  vdwlem6  16923  vdw  16931  fvprmselelfz  16981  prmodvdslcmf  16984  gsumval2  18611  gsumsplit1r  18612  efgsdmi  19641  gsumval3  19816  telgsumfzslem  19897  telgsumfzs  19898  pmatcollpw3fi1lem1  22508  chfacfisf  22576  chfacfisfcpmat  22577  cpmadugsumlemF  22598  imasdsf1olem  24099  ovoliunlem1  25251  mbfi1fseqlem3  25467  cxpeq  26501  ppiltx  26917  logexprlim  26964  dchrmusum2  27233  dchrvmasum2lem  27235  mudivsum  27269  mulogsum  27271  mulog2sumlem2  27274  axlowdimlem13  28479  axlowdim1  28484  axlowdim  28486  crctcshwlkn0lem6  29336  fzto1stfv1  32530  fzto1stinvn  32533  cycpmco2f1  32553  lmatfval  33092  lmat22e11  33096  ballotlem4  33795  ballotlemic  33803  ballotlem1c  33804  ballotlem1ri  33831  subfacp1lem1  34468  subfacp1lem5  34473  subfacp1lem6  34474  cvmliftlem10  34583  cvmliftlem13  34585  inffz  35003  fwddifnp1  35441  poimirlem6  36797  poimirlem7  36798  poimirlem16  36807  poimirlem17  36808  poimirlem19  36810  poimirlem28  36819  fdc  36916  mettrifi  36928  sticksstones12a  41279  monoordxrv  44490  monoord2xrv  44492  fmul01lt1lem1  44598  dvnmptdivc  44952  dvnmul  44957  itgspltprt  44993  stoweidlem17  45031  stoweidlem20  45034  stoweidlem34  45048  fourierdlem15  45136  fourierdlem48  45168  fourierdlem50  45170  fourierdlem52  45172  fourierdlem54  45174  fourierdlem64  45184  fourierdlem81  45201  fourierdlem102  45222  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem111  45231  fourierdlem114  45234  etransclem10  45258  etransclem14  45262  etransclem15  45263  etransclem24  45272  etransclem35  45283  etransclem44  45292  smfmullem4  45808  ssfz12  46320  smonoord  46337