Theorem eluzfz1 13474

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12782	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12792	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13462	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-neg 11369  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451

This theorem is referenced by:  elfz3  13477  fzn0  13481  fzopth  13504  seqcl  13973  seqfveq  13977  seqshft2  13979  monoord  13983  monoord2  13984  seqcaopr3  13988  seqf1olem2a  13991  seqf1olem2  13993  seqhomo  14000  seqcoll  14415  fsum1p  15704  telfsumo  15754  telfsumo2  15755  fsumparts  15758  mertenslem2  15839  prodfn0  15848  prodfrec  15849  fprod1p  15922  phicl2  16727  eulerthlem2  16741  4sqlem19  16923  vdwlem1  16941  vdwlem6  16946  vdw  16954  fvprmselelfz  17004  prmodvdslcmf  17007  gsumval2  18643  gsumsplit1r  18644  efgsdmi  19696  gsumval3  19871  telgsumfzslem  19952  telgsumfzs  19953  pmatcollpw3fi1lem1  22739  chfacfisf  22807  chfacfisfcpmat  22808  cpmadugsumlemF  22829  imasdsf1olem  24326  ovoliunlem1  25457  mbfi1fseqlem3  25672  cxpeq  26709  ppiltx  27128  logexprlim  27176  dchrmusum2  27445  dchrvmasum2lem  27447  mudivsum  27481  mulogsum  27483  mulog2sumlem2  27486  axlowdimlem13  29011  axlowdim1  29016  axlowdim  29018  crctcshwlkn0lem6  29871  gsummptfzsplitla  33108  fzto1stfv1  33150  fzto1stinvn  33153  cycpmco2f1  33173  lmatfval  33946  lmat22e11  33950  ballotlem4  34631  ballotlemic  34639  ballotlem1c  34640  ballotlem1ri  34667  subfacp1lem1  35349  subfacp1lem5  35354  subfacp1lem6  35355  cvmliftlem10  35464  cvmliftlem13  35466  inffz  35900  fwddifnp1  36335  poimirlem6  37935  poimirlem7  37936  poimirlem16  37945  poimirlem17  37946  poimirlem19  37948  poimirlem28  37957  fdc  38054  mettrifi  38066  sticksstones12a  42584  monoordxrv  45897  monoord2xrv  45899  fmul01lt1lem1  46002  dvnmptdivc  46354  dvnmul  46359  itgspltprt  46395  stoweidlem17  46433  stoweidlem20  46436  stoweidlem34  46450  fourierdlem15  46538  fourierdlem48  46570  fourierdlem50  46572  fourierdlem52  46574  fourierdlem54  46576  fourierdlem64  46586  fourierdlem81  46603  fourierdlem102  46624  fourierdlem103  46625  fourierdlem104  46626  fourierdlem111  46633  fourierdlem114  46636  etransclem10  46660  etransclem14  46664  etransclem15  46665  etransclem24  46674  etransclem35  46685  etransclem44  46694  smfmullem4  47210  ssfz12  47750  smonoord  47813  gpg5grlim  48557  gpg5grlic  48558