Theorem eluzfz1 13688

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12994	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 13004	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13675	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 701	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  elfz3  13691  fzn0  13695  fzopth  13719  seqcl  14189  seqfveq  14193  seqshft2  14195  monoord  14199  monoord2  14200  seqcaopr3  14204  seqf1olem2a  14207  seqf1olem2  14209  seqhomo  14216  seqcoll  14633  fsum1p  15945  telfsumo  15995  telfsumo2  15996  fsumparts  15999  mertenslem2  16080  prodfn0  16089  prodfrec  16090  fprod1p  16161  phicl2  16971  eulerthlem2  16985  4sqlem19  17167  vdwlem1  17185  vdwlem6  17190  vdw  17198  fvprmselelfz  17248  prmodvdslcmf  17251  gsumval2  18901  gsumsplit1r  18902  efgsdmi  19973  gsumval3  20148  telgsumfzslem  20229  telgsumfzs  20230  pmatcollpw3fi1lem1  23131  chfacfisf  23199  chfacfisfcpmat  23200  cpmadugsumlemF  23221  imasdsf1olem  24719  ovoliunlem1  25850  mbfi1fseqlem3  26065  cxpeq  27112  ppiltx  27531  logexprlim  27579  dchrmusum2  27848  dchrvmasum2lem  27850  mudivsum  27884  mulogsum  27886  mulog2sumlem2  27889  axlowdimlem13  29559  axlowdim1  29564  axlowdim  29566  crctcshwlkn0lem6  30431  gsummptfzsplitla  33687  fzto1stfv1  33729  fzto1stinvn  33732  cycpmco2f1  33752  lmatfval  34513  lmat22e11  34517  ballotlem4  35198  ballotlemic  35206  ballotlem1c  35207  ballotlem1ri  35234  subfacp1lem1  36110  subfacp1lem5  36115  subfacp1lem6  36116  cvmliftlem10  36225  cvmliftlem13  36227  inffz  36672  fwddifnp1  37107  poimirlem6  38735  poimirlem7  38736  poimirlem16  38745  poimirlem17  38746  poimirlem19  38748  poimirlem28  38757  fdc  38870  mettrifi  38882  sticksstones12a  43398  monoordxrv  46694  monoord2xrv  46696  fmul01lt1lem1  46799  dvnmptdivc  47151  dvnmul  47156  itgspltprt  47192  stoweidlem17  47230  stoweidlem20  47233  stoweidlem34  47247  fourierdlem15  47335  fourierdlem48  47367  fourierdlem50  47369  fourierdlem52  47371  fourierdlem54  47373  fourierdlem64  47383  fourierdlem81  47400  fourierdlem102  47421  fourierdlem103  47422  fourierdlem104  47423  fourierdlem111  47430  fourierdlem114  47433  etransclem10  47457  etransclem14  47461  etransclem15  47462  etransclem24  47471  etransclem35  47482  etransclem44  47491  smfmullem4  48007  ssfz12  48587  smonoord  48650  gpg5grlim  49394  gpg5grlic  49395