Theorem eluzfz1 13192

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12516	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12526	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13180	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 684	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  elfz3  13195  fzn0  13199  fzopth  13222  seqcl  13671  seqfveq  13675  seqshft2  13677  monoord  13681  monoord2  13682  seqcaopr3  13686  seqf1olem2a  13689  seqf1olem2  13691  seqhomo  13698  seqcoll  14106  fsum1p  15393  telfsumo  15442  telfsumo2  15443  fsumparts  15446  mertenslem2  15525  prodfn0  15534  prodfrec  15535  fprod1p  15606  phicl2  16397  eulerthlem2  16411  4sqlem19  16592  vdwlem1  16610  vdwlem6  16615  vdw  16623  fvprmselelfz  16673  prmodvdslcmf  16676  gsumval2  18285  gsumsplit1r  18286  efgsdmi  19253  gsumval3  19423  telgsumfzslem  19504  telgsumfzs  19505  pmatcollpw3fi1lem1  21843  chfacfisf  21911  chfacfisfcpmat  21912  cpmadugsumlemF  21933  imasdsf1olem  23434  ovoliunlem1  24571  mbfi1fseqlem3  24787  cxpeq  25815  ppiltx  26231  logexprlim  26278  dchrmusum2  26547  dchrvmasum2lem  26549  mudivsum  26583  mulogsum  26585  mulog2sumlem2  26588  axlowdimlem13  27225  axlowdim1  27230  axlowdim  27232  crctcshwlkn0lem6  28081  fzto1stfv1  31270  fzto1stinvn  31273  cycpmco2f1  31293  lmatfval  31666  lmat22e11  31670  ballotlem4  32365  ballotlemic  32373  ballotlem1c  32374  ballotlem1ri  32401  subfacp1lem1  33041  subfacp1lem5  33046  subfacp1lem6  33047  cvmliftlem10  33156  cvmliftlem13  33158  inffz  33601  fwddifnp1  34394  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem28  35732  fdc  35830  mettrifi  35842  sticksstones12a  40041  monoordxrv  42912  monoord2xrv  42914  fmul01lt1lem1  43015  dvnmptdivc  43369  dvnmul  43374  itgspltprt  43410  stoweidlem17  43448  stoweidlem20  43451  stoweidlem34  43465  fourierdlem15  43553  fourierdlem48  43585  fourierdlem50  43587  fourierdlem52  43589  fourierdlem54  43591  fourierdlem64  43601  fourierdlem81  43618  fourierdlem102  43639  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem111  43648  fourierdlem114  43651  etransclem10  43675  etransclem14  43679  etransclem15  43680  etransclem24  43689  etransclem35  43700  etransclem44  43709  smfmullem4  44215  ssfz12  44694  smonoord  44711