Theorem eluzfz1 13451

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12760	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12770	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13439	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-neg 11371  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428

This theorem is referenced by:  elfz3  13454  fzn0  13458  fzopth  13481  seqcl  13949  seqfveq  13953  seqshft2  13955  monoord  13959  monoord2  13960  seqcaopr3  13964  seqf1olem2a  13967  seqf1olem2  13969  seqhomo  13976  seqcoll  14391  fsum1p  15680  telfsumo  15729  telfsumo2  15730  fsumparts  15733  mertenslem2  15812  prodfn0  15821  prodfrec  15822  fprod1p  15895  phicl2  16699  eulerthlem2  16713  4sqlem19  16895  vdwlem1  16913  vdwlem6  16918  vdw  16926  fvprmselelfz  16976  prmodvdslcmf  16979  gsumval2  18615  gsumsplit1r  18616  efgsdmi  19665  gsumval3  19840  telgsumfzslem  19921  telgsumfzs  19922  pmatcollpw3fi1lem1  22734  chfacfisf  22802  chfacfisfcpmat  22803  cpmadugsumlemF  22824  imasdsf1olem  24321  ovoliunlem1  25463  mbfi1fseqlem3  25678  cxpeq  26727  ppiltx  27147  logexprlim  27196  dchrmusum2  27465  dchrvmasum2lem  27467  mudivsum  27501  mulogsum  27503  mulog2sumlem2  27506  axlowdimlem13  29031  axlowdim1  29036  axlowdim  29038  crctcshwlkn0lem6  29892  gsummptfzsplitla  33144  fzto1stfv1  33185  fzto1stinvn  33188  cycpmco2f1  33208  lmatfval  33973  lmat22e11  33977  ballotlem4  34658  ballotlemic  34666  ballotlem1c  34667  ballotlem1ri  34694  subfacp1lem1  35375  subfacp1lem5  35380  subfacp1lem6  35381  cvmliftlem10  35490  cvmliftlem13  35492  inffz  35926  fwddifnp1  36361  poimirlem6  37829  poimirlem7  37830  poimirlem16  37839  poimirlem17  37840  poimirlem19  37842  poimirlem28  37851  fdc  37948  mettrifi  37960  sticksstones12a  42479  monoordxrv  45792  monoord2xrv  45794  fmul01lt1lem1  45897  dvnmptdivc  46249  dvnmul  46254  itgspltprt  46290  stoweidlem17  46328  stoweidlem20  46331  stoweidlem34  46345  fourierdlem15  46433  fourierdlem48  46465  fourierdlem50  46467  fourierdlem52  46469  fourierdlem54  46471  fourierdlem64  46481  fourierdlem81  46498  fourierdlem102  46519  fourierdlem103  46520  fourierdlem104  46521  fourierdlem111  46528  fourierdlem114  46531  etransclem10  46555  etransclem14  46559  etransclem15  46560  etransclem24  46569  etransclem35  46580  etransclem44  46589  smfmullem4  47105  ssfz12  47627  smonoord  47684  gpg5grlim  48406  gpg5grlic  48407