Theorem eluzfz1 13263

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12597	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13251	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 685	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  elfz3  13266  fzn0  13270  fzopth  13293  seqcl  13743  seqfveq  13747  seqshft2  13749  monoord  13753  monoord2  13754  seqcaopr3  13758  seqf1olem2a  13761  seqf1olem2  13763  seqhomo  13770  seqcoll  14178  fsum1p  15465  telfsumo  15514  telfsumo2  15515  fsumparts  15518  mertenslem2  15597  prodfn0  15606  prodfrec  15607  fprod1p  15678  phicl2  16469  eulerthlem2  16483  4sqlem19  16664  vdwlem1  16682  vdwlem6  16687  vdw  16695  fvprmselelfz  16745  prmodvdslcmf  16748  gsumval2  18370  gsumsplit1r  18371  efgsdmi  19338  gsumval3  19508  telgsumfzslem  19589  telgsumfzs  19590  pmatcollpw3fi1lem1  21935  chfacfisf  22003  chfacfisfcpmat  22004  cpmadugsumlemF  22025  imasdsf1olem  23526  ovoliunlem1  24666  mbfi1fseqlem3  24882  cxpeq  25910  ppiltx  26326  logexprlim  26373  dchrmusum2  26642  dchrvmasum2lem  26644  mudivsum  26678  mulogsum  26680  mulog2sumlem2  26683  axlowdimlem13  27322  axlowdim1  27327  axlowdim  27329  crctcshwlkn0lem6  28180  fzto1stfv1  31368  fzto1stinvn  31371  cycpmco2f1  31391  lmatfval  31764  lmat22e11  31768  ballotlem4  32465  ballotlemic  32473  ballotlem1c  32474  ballotlem1ri  32501  subfacp1lem1  33141  subfacp1lem5  33146  subfacp1lem6  33147  cvmliftlem10  33256  cvmliftlem13  33258  inffz  33695  fwddifnp1  34467  poimirlem6  35783  poimirlem7  35784  poimirlem16  35793  poimirlem17  35794  poimirlem19  35796  poimirlem28  35805  fdc  35903  mettrifi  35915  sticksstones12a  40113  monoordxrv  43022  monoord2xrv  43024  fmul01lt1lem1  43125  dvnmptdivc  43479  dvnmul  43484  itgspltprt  43520  stoweidlem17  43558  stoweidlem20  43561  stoweidlem34  43575  fourierdlem15  43663  fourierdlem48  43695  fourierdlem50  43697  fourierdlem52  43699  fourierdlem54  43701  fourierdlem64  43711  fourierdlem81  43728  fourierdlem102  43749  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem111  43758  fourierdlem114  43761  etransclem10  43785  etransclem14  43789  etransclem15  43790  etransclem24  43799  etransclem35  43810  etransclem44  43819  smfmullem4  44328  ssfz12  44806  smonoord  44823