Theorem eluzfz1 13431

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12737	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12747	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13419	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  elfz3  13434  fzn0  13438  fzopth  13461  seqcl  13929  seqfveq  13933  seqshft2  13935  monoord  13939  monoord2  13940  seqcaopr3  13944  seqf1olem2a  13947  seqf1olem2  13949  seqhomo  13956  seqcoll  14371  fsum1p  15660  telfsumo  15709  telfsumo2  15710  fsumparts  15713  mertenslem2  15792  prodfn0  15801  prodfrec  15802  fprod1p  15875  phicl2  16679  eulerthlem2  16693  4sqlem19  16875  vdwlem1  16893  vdwlem6  16898  vdw  16906  fvprmselelfz  16956  prmodvdslcmf  16959  gsumval2  18594  gsumsplit1r  18595  efgsdmi  19644  gsumval3  19819  telgsumfzslem  19900  telgsumfzs  19901  pmatcollpw3fi1lem1  22701  chfacfisf  22769  chfacfisfcpmat  22770  cpmadugsumlemF  22791  imasdsf1olem  24288  ovoliunlem1  25430  mbfi1fseqlem3  25645  cxpeq  26694  ppiltx  27114  logexprlim  27163  dchrmusum2  27432  dchrvmasum2lem  27434  mudivsum  27468  mulogsum  27470  mulog2sumlem2  27473  axlowdimlem13  28932  axlowdim1  28937  axlowdim  28939  crctcshwlkn0lem6  29793  fzto1stfv1  33070  fzto1stinvn  33073  cycpmco2f1  33093  lmatfval  33827  lmat22e11  33831  ballotlem4  34512  ballotlemic  34520  ballotlem1c  34521  ballotlem1ri  34548  subfacp1lem1  35223  subfacp1lem5  35228  subfacp1lem6  35229  cvmliftlem10  35338  cvmliftlem13  35340  inffz  35774  fwddifnp1  36209  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem19  37678  poimirlem28  37687  fdc  37784  mettrifi  37796  sticksstones12a  42249  monoordxrv  45578  monoord2xrv  45580  fmul01lt1lem1  45683  dvnmptdivc  46035  dvnmul  46040  itgspltprt  46076  stoweidlem17  46114  stoweidlem20  46117  stoweidlem34  46131  fourierdlem15  46219  fourierdlem48  46251  fourierdlem50  46253  fourierdlem52  46255  fourierdlem54  46257  fourierdlem64  46267  fourierdlem81  46284  fourierdlem102  46305  fourierdlem103  46306  fourierdlem104  46307  fourierdlem111  46314  fourierdlem114  46317  etransclem10  46341  etransclem14  46345  etransclem15  46346  etransclem24  46355  etransclem35  46366  etransclem44  46375  smfmullem4  46891  ssfz12  47413  smonoord  47470  gpg5grlim  48192  gpg5grlic  48193