Theorem eluzfz1 13492

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12808	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  elfz3  13495  fzn0  13499  fzopth  13522  seqcl  13987  seqfveq  13991  seqshft2  13993  monoord  13997  monoord2  13998  seqcaopr3  14002  seqf1olem2a  14005  seqf1olem2  14007  seqhomo  14014  seqcoll  14429  fsum1p  15719  telfsumo  15768  telfsumo2  15769  fsumparts  15772  mertenslem2  15851  prodfn0  15860  prodfrec  15861  fprod1p  15934  phicl2  16738  eulerthlem2  16752  4sqlem19  16934  vdwlem1  16952  vdwlem6  16957  vdw  16965  fvprmselelfz  17015  prmodvdslcmf  17018  gsumval2  18613  gsumsplit1r  18614  efgsdmi  19662  gsumval3  19837  telgsumfzslem  19918  telgsumfzs  19919  pmatcollpw3fi1lem1  22673  chfacfisf  22741  chfacfisfcpmat  22742  cpmadugsumlemF  22763  imasdsf1olem  24261  ovoliunlem1  25403  mbfi1fseqlem3  25618  cxpeq  26667  ppiltx  27087  logexprlim  27136  dchrmusum2  27405  dchrvmasum2lem  27407  mudivsum  27441  mulogsum  27443  mulog2sumlem2  27446  axlowdimlem13  28881  axlowdim1  28886  axlowdim  28888  crctcshwlkn0lem6  29745  fzto1stfv1  33058  fzto1stinvn  33061  cycpmco2f1  33081  lmatfval  33804  lmat22e11  33808  ballotlem4  34490  ballotlemic  34498  ballotlem1c  34499  ballotlem1ri  34526  subfacp1lem1  35166  subfacp1lem5  35171  subfacp1lem6  35172  cvmliftlem10  35281  cvmliftlem13  35283  inffz  35717  fwddifnp1  36153  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem28  37642  fdc  37739  mettrifi  37751  sticksstones12a  42145  monoordxrv  45477  monoord2xrv  45479  fmul01lt1lem1  45582  dvnmptdivc  45936  dvnmul  45941  itgspltprt  45977  stoweidlem17  46015  stoweidlem20  46018  stoweidlem34  46032  fourierdlem15  46120  fourierdlem48  46152  fourierdlem50  46154  fourierdlem52  46156  fourierdlem54  46158  fourierdlem64  46168  fourierdlem81  46185  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem111  46215  fourierdlem114  46218  etransclem10  46242  etransclem14  46246  etransclem15  46247  etransclem24  46256  etransclem35  46267  etransclem44  46276  smfmullem4  46792  ssfz12  47315  smonoord  47372  gpg5grlic  48084