Theorem eluzfz1 13559

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12867	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12877	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13547	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-neg 11444  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536

This theorem is referenced by:  elfz3  13562  fzn0  13566  fzopth  13589  seqcl  14058  seqfveq  14062  seqshft2  14064  monoord  14068  monoord2  14069  seqcaopr3  14073  seqf1olem2a  14076  seqf1olem2  14078  seqhomo  14085  seqcoll  14501  fsum1p  15804  telfsumo  15854  telfsumo2  15855  fsumparts  15858  mertenslem2  15939  prodfn0  15948  prodfrec  15949  fprod1p  16022  phicl2  16827  eulerthlem2  16841  4sqlem19  17023  vdwlem1  17041  vdwlem6  17046  vdw  17054  fvprmselelfz  17104  prmodvdslcmf  17107  gsumval2  18744  gsumsplit1r  18745  efgsdmi  19802  gsumval3  19977  telgsumfzslem  20058  telgsumfzs  20059  pmatcollpw3fi1lem1  22912  chfacfisf  22980  chfacfisfcpmat  22981  cpmadugsumlemF  23002  imasdsf1olem  24499  ovoliunlem1  25630  mbfi1fseqlem3  25845  cxpeq  26888  ppiltx  27307  logexprlim  27355  dchrmusum2  27624  dchrvmasum2lem  27626  mudivsum  27660  mulogsum  27662  mulog2sumlem2  27665  axlowdimlem13  29245  axlowdim1  29250  axlowdim  29252  crctcshwlkn0lem6  30105  gsummptfzsplitla  33320  fzto1stfv1  33362  fzto1stinvn  33365  cycpmco2f1  33385  lmatfval  34149  lmat22e11  34153  ballotlem4  34834  ballotlemic  34842  ballotlem1c  34843  ballotlem1ri  34870  subfacp1lem1  35604  subfacp1lem5  35609  subfacp1lem6  35610  cvmliftlem10  35719  cvmliftlem13  35721  inffz  36155  fwddifnp1  36590  poimirlem6  38200  poimirlem7  38201  poimirlem16  38210  poimirlem17  38211  poimirlem19  38213  poimirlem28  38222  fdc  38319  mettrifi  38331  sticksstones12a  42849  monoordxrv  46122  monoord2xrv  46124  fmul01lt1lem1  46227  dvnmptdivc  46579  dvnmul  46584  itgspltprt  46620  stoweidlem17  46658  stoweidlem20  46661  stoweidlem34  46675  fourierdlem15  46763  fourierdlem48  46795  fourierdlem50  46797  fourierdlem52  46799  fourierdlem54  46801  fourierdlem64  46811  fourierdlem81  46828  fourierdlem102  46849  fourierdlem103  46850  fourierdlem104  46851  fourierdlem111  46858  fourierdlem114  46861  etransclem10  46885  etransclem14  46889  etransclem15  46890  etransclem24  46899  etransclem35  46910  etransclem44  46919  smfmullem4  47435  ssfz12  47975  smonoord  48038  gpg5grlim  48782  gpg5grlic  48783