Theorem eluzfz1 13618

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12925	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12935	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13606	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 701	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-pre-lttri 11231

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-neg 11501  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595

This theorem is used by:  elfz3  13621  fzn0  13625  fzopth  13649  seqcl  14119  seqfveq  14123  seqshft2  14125  monoord  14129  monoord2  14130  seqcaopr3  14134  seqf1olem2a  14137  seqf1olem2  14139  seqhomo  14146  seqcoll  14562  fsum1p  15872  telfsumo  15922  telfsumo2  15923  fsumparts  15926  mertenslem2  16007  prodfn0  16016  prodfrec  16017  fprod1p  16088  phicl2  16892  eulerthlem2  16906  4sqlem19  17088  vdwlem1  17106  vdwlem6  17111  vdw  17119  fvprmselelfz  17169  prmodvdslcmf  17172  gsumval2  18822  gsumsplit1r  18823  efgsdmi  19893  gsumval3  20068  telgsumfzslem  20149  telgsumfzs  20150  pmatcollpw3fi1lem1  23051  chfacfisf  23119  chfacfisfcpmat  23120  cpmadugsumlemF  23141  imasdsf1olem  24639  ovoliunlem1  25770  mbfi1fseqlem3  25985  cxpeq  27034  ppiltx  27453  logexprlim  27501  dchrmusum2  27770  dchrvmasum2lem  27772  mudivsum  27806  mulogsum  27808  mulog2sumlem2  27811  axlowdimlem13  29451  axlowdim1  29456  axlowdim  29458  crctcshwlkn0lem6  30323  gsummptfzsplitla  33539  fzto1stfv1  33581  fzto1stinvn  33584  cycpmco2f1  33604  lmatfval  34365  lmat22e11  34369  ballotlem4  35051  ballotlemic  35059  ballotlem1c  35060  ballotlem1ri  35087  subfacp1lem1  35859  subfacp1lem5  35864  subfacp1lem6  35865  cvmliftlem10  35974  cvmliftlem13  35976  inffz  36410  fwddifnp1  36846  poimirlem6  38458  poimirlem7  38459  poimirlem16  38468  poimirlem17  38469  poimirlem19  38471  poimirlem28  38480  fdc  38593  mettrifi  38605  sticksstones12a  43121  monoordxrv  46407  monoord2xrv  46409  fmul01lt1lem1  46512  dvnmptdivc  46864  dvnmul  46869  itgspltprt  46905  stoweidlem17  46943  stoweidlem20  46946  stoweidlem34  46960  fourierdlem15  47048  fourierdlem48  47080  fourierdlem50  47082  fourierdlem52  47084  fourierdlem54  47086  fourierdlem64  47096  fourierdlem81  47113  fourierdlem102  47134  fourierdlem103  47135  fourierdlem104  47136  fourierdlem111  47143  fourierdlem114  47146  etransclem10  47170  etransclem14  47174  etransclem15  47175  etransclem24  47184  etransclem35  47195  etransclem44  47204  smfmullem4  47720  ssfz12  48300  smonoord  48363  gpg5grlim  49107  gpg5grlic  49108