Theorem eluzfz1 12909

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12236	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12246	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 12897	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  elfz3  12912  fzn0  12916  fzopth  12939  seqcl  13386  seqfveq  13390  seqshft2  13392  monoord  13396  monoord2  13397  seqcaopr3  13401  seqf1olem2a  13404  seqf1olem2  13406  seqhomo  13413  seqcoll  13818  fsum1p  15100  telfsumo  15149  telfsumo2  15150  fsumparts  15153  mertenslem2  15233  prodfn0  15242  prodfrec  15243  fprod1p  15314  phicl2  16095  eulerthlem2  16109  4sqlem19  16289  vdwlem1  16307  vdwlem6  16312  vdw  16320  fvprmselelfz  16370  prmodvdslcmf  16373  gsumval2  17888  gsumsplit1r  17889  efgsdmi  18850  gsumval3  19020  telgsumfzslem  19101  telgsumfzs  19102  pmatcollpw3fi1lem1  21391  chfacfisf  21459  chfacfisfcpmat  21460  cpmadugsumlemF  21481  imasdsf1olem  22980  ovoliunlem1  24106  mbfi1fseqlem3  24321  cxpeq  25346  ppiltx  25762  logexprlim  25809  dchrmusum2  26078  dchrvmasum2lem  26080  mudivsum  26114  mulogsum  26116  mulog2sumlem2  26119  axlowdimlem13  26748  axlowdim1  26753  axlowdim  26755  crctcshwlkn0lem6  27601  fzto1stfv1  30793  fzto1stinvn  30796  cycpmco2f1  30816  lmatfval  31167  lmat22e11  31171  ballotlem4  31866  ballotlemic  31874  ballotlem1c  31875  ballotlem1ri  31902  subfacp1lem1  32539  subfacp1lem5  32544  subfacp1lem6  32545  cvmliftlem10  32654  cvmliftlem13  32656  inffz  33074  fwddifnp1  33739  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem19  35076  poimirlem28  35085  fdc  35183  mettrifi  35195  monoordxrv  42121  monoord2xrv  42123  fmul01lt1lem1  42226  dvnmptdivc  42580  dvnmul  42585  itgspltprt  42621  stoweidlem17  42659  stoweidlem20  42662  stoweidlem34  42676  fourierdlem15  42764  fourierdlem48  42796  fourierdlem50  42798  fourierdlem52  42800  fourierdlem54  42802  fourierdlem64  42812  fourierdlem81  42829  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem111  42859  fourierdlem114  42862  etransclem10  42886  etransclem14  42890  etransclem15  42891  etransclem24  42900  etransclem35  42911  etransclem44  42920  smfmullem4  43426  ssfz12  43871  smonoord  43888