Theorem eluzfz1 13565

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12873	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12883	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13553	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11450  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542

This theorem is used by:  elfz3  13568  fzn0  13572  fzopth  13596  seqcl  14065  seqfveq  14069  seqshft2  14071  monoord  14075  monoord2  14076  seqcaopr3  14080  seqf1olem2a  14083  seqf1olem2  14085  seqhomo  14092  seqcoll  14508  fsum1p  15811  telfsumo  15861  telfsumo2  15862  fsumparts  15865  mertenslem2  15946  prodfn0  15955  prodfrec  15956  fprod1p  16029  phicl2  16833  eulerthlem2  16847  4sqlem19  17029  vdwlem1  17047  vdwlem6  17052  vdw  17060  fvprmselelfz  17110  prmodvdslcmf  17113  gsumval2  18750  gsumsplit1r  18751  efgsdmi  19808  gsumval3  19983  telgsumfzslem  20064  telgsumfzs  20065  pmatcollpw3fi1lem1  22954  chfacfisf  23022  chfacfisfcpmat  23023  cpmadugsumlemF  23044  imasdsf1olem  24541  ovoliunlem1  25672  mbfi1fseqlem3  25887  cxpeq  26933  ppiltx  27352  logexprlim  27400  dchrmusum2  27669  dchrvmasum2lem  27671  mudivsum  27705  mulogsum  27707  mulog2sumlem2  27710  axlowdimlem13  29315  axlowdim1  29320  axlowdim  29322  crctcshwlkn0lem6  30175  gsummptfzsplitla  33388  fzto1stfv1  33430  fzto1stinvn  33433  cycpmco2f1  33453  lmatfval  34213  lmat22e11  34217  ballotlem4  34898  ballotlemic  34906  ballotlem1c  34907  ballotlem1ri  34934  subfacp1lem1  35679  subfacp1lem5  35684  subfacp1lem6  35685  cvmliftlem10  35794  cvmliftlem13  35796  inffz  36230  fwddifnp1  36665  poimirlem6  38305  poimirlem7  38306  poimirlem16  38315  poimirlem17  38316  poimirlem19  38318  poimirlem28  38327  fdc  38424  mettrifi  38436  sticksstones12a  42952  monoordxrv  46223  monoord2xrv  46225  fmul01lt1lem1  46328  dvnmptdivc  46680  dvnmul  46685  itgspltprt  46721  stoweidlem17  46759  stoweidlem20  46762  stoweidlem34  46776  fourierdlem15  46864  fourierdlem48  46896  fourierdlem50  46898  fourierdlem52  46900  fourierdlem54  46902  fourierdlem64  46912  fourierdlem81  46929  fourierdlem102  46950  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem111  46959  fourierdlem114  46962  etransclem10  46986  etransclem14  46990  etransclem15  46991  etransclem24  47000  etransclem35  47011  etransclem44  47020  smfmullem4  47536  ssfz12  48079  smonoord  48142  gpg5grlim  48886  gpg5grlic  48887  1elfz13  50652