Theorem eluzfz1 13568

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12881	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12891	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13556	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  elfz3  13571  fzn0  13575  fzopth  13598  seqcl  14060  seqfveq  14064  seqshft2  14066  monoord  14070  monoord2  14071  seqcaopr3  14075  seqf1olem2a  14078  seqf1olem2  14080  seqhomo  14087  seqcoll  14500  fsum1p  15786  telfsumo  15835  telfsumo2  15836  fsumparts  15839  mertenslem2  15918  prodfn0  15927  prodfrec  15928  fprod1p  16001  phicl2  16802  eulerthlem2  16816  4sqlem19  16997  vdwlem1  17015  vdwlem6  17020  vdw  17028  fvprmselelfz  17078  prmodvdslcmf  17081  gsumval2  18712  gsumsplit1r  18713  efgsdmi  19765  gsumval3  19940  telgsumfzslem  20021  telgsumfzs  20022  pmatcollpw3fi1lem1  22808  chfacfisf  22876  chfacfisfcpmat  22877  cpmadugsumlemF  22898  imasdsf1olem  24399  ovoliunlem1  25551  mbfi1fseqlem3  25767  cxpeq  26815  ppiltx  27235  logexprlim  27284  dchrmusum2  27553  dchrvmasum2lem  27555  mudivsum  27589  mulogsum  27591  mulog2sumlem2  27594  axlowdimlem13  28984  axlowdim1  28989  axlowdim  28991  crctcshwlkn0lem6  29845  fzto1stfv1  33104  fzto1stinvn  33107  cycpmco2f1  33127  lmatfval  33775  lmat22e11  33779  ballotlem4  34480  ballotlemic  34488  ballotlem1c  34489  ballotlem1ri  34516  subfacp1lem1  35164  subfacp1lem5  35169  subfacp1lem6  35170  cvmliftlem10  35279  cvmliftlem13  35281  inffz  35710  fwddifnp1  36147  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem28  37635  fdc  37732  mettrifi  37744  sticksstones12a  42139  monoordxrv  45432  monoord2xrv  45434  fmul01lt1lem1  45540  dvnmptdivc  45894  dvnmul  45899  itgspltprt  45935  stoweidlem17  45973  stoweidlem20  45976  stoweidlem34  45990  fourierdlem15  46078  fourierdlem48  46110  fourierdlem50  46112  fourierdlem52  46114  fourierdlem54  46116  fourierdlem64  46126  fourierdlem81  46143  fourierdlem102  46164  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem111  46173  fourierdlem114  46176  etransclem10  46200  etransclem14  46204  etransclem15  46205  etransclem24  46214  etransclem35  46225  etransclem44  46234  smfmullem4  46750  ssfz12  47264  smonoord  47296  gpg5grlic  47975