Theorem eluzfz1 13553

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12862	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12872	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13541	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  elfz3  13556  fzn0  13560  fzopth  13583  seqcl  14045  seqfveq  14049  seqshft2  14051  monoord  14055  monoord2  14056  seqcaopr3  14060  seqf1olem2a  14063  seqf1olem2  14065  seqhomo  14072  seqcoll  14487  fsum1p  15774  telfsumo  15823  telfsumo2  15824  fsumparts  15827  mertenslem2  15906  prodfn0  15915  prodfrec  15916  fprod1p  15989  phicl2  16792  eulerthlem2  16806  4sqlem19  16988  vdwlem1  17006  vdwlem6  17011  vdw  17019  fvprmselelfz  17069  prmodvdslcmf  17072  gsumval2  18669  gsumsplit1r  18670  efgsdmi  19718  gsumval3  19893  telgsumfzslem  19974  telgsumfzs  19975  pmatcollpw3fi1lem1  22729  chfacfisf  22797  chfacfisfcpmat  22798  cpmadugsumlemF  22819  imasdsf1olem  24317  ovoliunlem1  25460  mbfi1fseqlem3  25675  cxpeq  26724  ppiltx  27144  logexprlim  27193  dchrmusum2  27462  dchrvmasum2lem  27464  mudivsum  27498  mulogsum  27500  mulog2sumlem2  27503  axlowdimlem13  28938  axlowdim1  28943  axlowdim  28945  crctcshwlkn0lem6  29802  fzto1stfv1  33117  fzto1stinvn  33120  cycpmco2f1  33140  lmatfval  33850  lmat22e11  33854  ballotlem4  34536  ballotlemic  34544  ballotlem1c  34545  ballotlem1ri  34572  subfacp1lem1  35206  subfacp1lem5  35211  subfacp1lem6  35212  cvmliftlem10  35321  cvmliftlem13  35323  inffz  35752  fwddifnp1  36188  poimirlem6  37655  poimirlem7  37656  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem28  37677  fdc  37774  mettrifi  37786  sticksstones12a  42175  monoordxrv  45488  monoord2xrv  45490  fmul01lt1lem1  45593  dvnmptdivc  45947  dvnmul  45952  itgspltprt  45988  stoweidlem17  46026  stoweidlem20  46029  stoweidlem34  46043  fourierdlem15  46131  fourierdlem48  46163  fourierdlem50  46165  fourierdlem52  46167  fourierdlem54  46169  fourierdlem64  46179  fourierdlem81  46196  fourierdlem102  46217  fourierdlem103  46218  fourierdlem104  46219  fourierdlem111  46226  fourierdlem114  46229  etransclem10  46253  etransclem14  46257  etransclem15  46258  etransclem24  46267  etransclem35  46278  etransclem44  46287  smfmullem4  46803  ssfz12  47323  smonoord  47365  gpg5grlic  48073