Theorem eluzfz1 13591

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12908	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12918	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzfz 13579	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpancom 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  elfz3  13594  fzn0  13598  fzopth  13621  seqcl  14073  seqfveq  14077  seqshft2  14079  monoord  14083  monoord2  14084  seqcaopr3  14088  seqf1olem2a  14091  seqf1olem2  14093  seqhomo  14100  seqcoll  14513  fsum1p  15801  telfsumo  15850  telfsumo2  15851  fsumparts  15854  mertenslem2  15933  prodfn0  15942  prodfrec  15943  fprod1p  16016  phicl2  16815  eulerthlem2  16829  4sqlem19  17010  vdwlem1  17028  vdwlem6  17033  vdw  17041  fvprmselelfz  17091  prmodvdslcmf  17094  gsumval2  18724  gsumsplit1r  18725  efgsdmi  19774  gsumval3  19949  telgsumfzslem  20030  telgsumfzs  20031  pmatcollpw3fi1lem1  22813  chfacfisf  22881  chfacfisfcpmat  22882  cpmadugsumlemF  22903  imasdsf1olem  24404  ovoliunlem1  25556  mbfi1fseqlem3  25772  cxpeq  26818  ppiltx  27238  logexprlim  27287  dchrmusum2  27556  dchrvmasum2lem  27558  mudivsum  27592  mulogsum  27594  mulog2sumlem2  27597  axlowdimlem13  28987  axlowdim1  28992  axlowdim  28994  crctcshwlkn0lem6  29848  fzto1stfv1  33094  fzto1stinvn  33097  cycpmco2f1  33117  lmatfval  33760  lmat22e11  33764  ballotlem4  34463  ballotlemic  34471  ballotlem1c  34472  ballotlem1ri  34499  subfacp1lem1  35147  subfacp1lem5  35152  subfacp1lem6  35153  cvmliftlem10  35262  cvmliftlem13  35264  inffz  35692  fwddifnp1  36129  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem28  37608  fdc  37705  mettrifi  37717  sticksstones12a  42114  monoordxrv  45397  monoord2xrv  45399  fmul01lt1lem1  45505  dvnmptdivc  45859  dvnmul  45864  itgspltprt  45900  stoweidlem17  45938  stoweidlem20  45941  stoweidlem34  45955  fourierdlem15  46043  fourierdlem48  46075  fourierdlem50  46077  fourierdlem52  46079  fourierdlem54  46081  fourierdlem64  46091  fourierdlem81  46108  fourierdlem102  46129  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem111  46138  fourierdlem114  46141  etransclem10  46165  etransclem14  46169  etransclem15  46170  etransclem24  46179  etransclem35  46190  etransclem44  46199  smfmullem4  46715  ssfz12  47229  smonoord  47245