Theorem elfz1end 13484

Description: A nonempty finite range of integers contains its end point. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1end	⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))

Proof of Theorem elfz1end

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12805	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
2	1	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
3		nnz 12523	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4		uzid 12780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
6		eluzfz 13449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
8		elfznn 13483	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
9	7, 8	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1c1 11041  ℕcn 12159  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  pfxtrcfv  14630  prmind2  16626  1stcfb  23406  imasdsf1olem  24334  taylthlem1  26354  birthdaylem1  26934  2sqlem10  27412  cyclnumvtx  29891  clwwlkvbij  30206  cycpmfv2  33214  submat1n  33989  subfacp1lem6  35407  erdszelem4  35416  erdszelem8  35420  poimirlem4  37904  poimirlem6  37906  poimirlem7  37907  poimirlem16  37916  poimirlem19  37919  poimirlem20  37920  poimirlem23  37923  rexrabdioph  43180  2rexfrabdioph  43182  3rexfrabdioph  43183  4rexfrabdioph  43184  6rexfrabdioph  43185  7rexfrabdioph  43186  elnn0rabdioph  43189  dvdsrabdioph  43196  jm2.27dlem3  43397