Theorem elfz1end 12625

Description: A nonempty finite range of integers contains its end point. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1end	⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))

Proof of Theorem elfz1end

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 11968	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
2	1	biimpi 208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
3		nnz 11689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4		uzid 11945	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
6		eluzfz 12591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
7	2, 5, 6	syl2anc 580	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
8		elfznn 12624	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
9	7, 8	impbii 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225  ℕcn 11312  ℤcz 11666  ℤ_≥cuz 11930  ...cfz 12580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581

This theorem is referenced by:  swrdtrcfvOLD  13694  pfxtrcfv  13736  swrdccatwrdOLD  13764  prmind2  15732  1stcfb  21577  imasdsf1olem  22506  taylthlem1  24468  birthdaylem1  25030  2sqlem10  25505  clwwlkvbij  27453  clwwlkvbijOLD  27454  clwwlkvbijOLDOLD  27455  submat1n  30387  subfacp1lem6  31684  erdszelem4  31693  erdszelem8  31697  poimirlem4  33902  poimirlem6  33904  poimirlem7  33905  poimirlem16  33914  poimirlem19  33917  poimirlem20  33918  poimirlem23  33921  rexrabdioph  38144  2rexfrabdioph  38146  3rexfrabdioph  38147  4rexfrabdioph  38148  6rexfrabdioph  38149  7rexfrabdioph  38150  elnn0rabdioph  38153  dvdsrabdioph  38160  jm2.27dlem3  38363