Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvg 30958
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 14921. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
esumcvg.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
esumcvg.a ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
esumcvg.m (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
esumcvg (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝐴   𝑘,𝑛,𝐵   𝑘,𝑚,𝐹,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑚)   𝐽(𝑚)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12134 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11867 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
3 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4 rge0ssre 12698 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 10447 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3904 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝐵)
87eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
98cbvralv 3405 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
10 rsp 3174 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
119, 10sylbir 236 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1211adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1312imp 407 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
146, 13sseldi 3893 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantlr 711 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 esumcvg.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
17 fzfid 13195 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ∈ Fin)
18 elfznn 12790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
1918, 13sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2019adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2117, 20esumpfinval 30947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2221mpteq2dva 5062 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
2316, 22syl5eq 2845 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
246, 20sseldi 3893 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2517, 24fsumcl 14927 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ ℂ)
2623, 25fvmpt2d 6654 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
2726adantlr 711 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
281, 2, 3, 15, 27isumclim3 14951 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
29 esumcvg.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3017, 20fsumrp0cl 30352 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,)+∞))
3121, 30eqeltrd 2885 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,)+∞))
3231, 16fmptd 6748 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
3332adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
34 simplll 771 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
35 eqidd 2798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))
36 eqcom 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚𝑚 = 𝑘)
37 eqcom 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
387, 36, 373imtr3i 292 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘𝐵 = 𝐴)
3938adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝐵 = 𝐴)
40 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 esumcvg.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
4235, 39, 40, 41fvmptd 6648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
4334, 42sylancom 588 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
4413adantlr 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
45 elrege0 12696 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4644, 45sylib 219 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4746simpld 495 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
48 ovex 7055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑛) ∈ V
49 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
5018adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5149, 50, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5251ralrimiva 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
53 nfcv 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(1...𝑛)
5453esumcl 30902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5548, 52, 54sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5655, 16fmptd 6748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
5756ffnd 6390 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 Fn ℕ)
59 1z 11866 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
60 seqfn 13235 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℤ → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1))
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1)
621fneq2i 6328 . . . . . . . . . . . . 13 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn (ℤ‘1))
6361, 62mpbir 232 . . . . . . . . . . . 12 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) Fn ℕ)
65 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
6618, 42sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
6765, 66sylancom 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐴)
68 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
6968, 1syl6eleq 2895 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
7067, 69, 24fsumser 14924 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))‘𝑛))
7126, 70eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵))‘𝑛))
7258, 64, 71eqfnfvd 6677 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)))
7372adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)))
7473, 3eqeltrrd 2886 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ 𝐵)) ∈ dom ⇝ )
751, 2, 43, 47, 74isumrecl 14957 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ℝ)
7646simprd 496 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
771, 2, 43, 47, 74, 76isumge0 14958 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
78 elrege0 12696 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
7975, 77, 78sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
80 ssid 3916 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
8129, 33, 79, 80lmlimxrge0 30804 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹(⇝𝑡𝐽𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
8228, 81mpbird 258 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
8316, 3syl5eqelr 2890 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ )
8422eleq1d 2869 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ))
8584adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ ))
8683, 85mpbid 233 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ dom ⇝ )
8744, 7, 86esumpcvgval 30950 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
8882, 87breqtrrd 4996 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
8932adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
90 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
9190nnzd 11940 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
92 uzid 12112 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
93 peano2uz 12154 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ𝑛))
95 simplll 771 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
9695, 13sylancom 588 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
9790, 94, 96esumpmono 30951 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
9826, 21eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
9998adantlr 711 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
100 oveq2 7031 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑛 → (1...𝑙) = (1...𝑛))
101 esumeq1 30906 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑙) = (1...𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
103102cbvmptv 5068 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
10416, 103eqtr4i 2824 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
105104a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
106 simpr3 1189 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1))) → 𝑙 = (𝑛 + 1))
107 oveq2 7031 . . . . . . . . 9 (𝑙 = (𝑛 + 1) → (1...𝑙) = (1...(𝑛 + 1)))
108 esumeq1 30906 . . . . . . . . 9 ((1...𝑙) = (1...(𝑛 + 1)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1))) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
1101093anassrs 1353 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑙 = (𝑛 + 1)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
11190peano2nnd 11509 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
112 ovex 7055 . . . . . . . 8 (1...(𝑛 + 1)) ∈ V
113 simp-4l 779 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝜑)
114 elfznn 12790 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
115114adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
116113, 115, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
117116ralrimiva 3151 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
118 nfcv 2951 . . . . . . . . 9 𝑘(1...(𝑛 + 1))
119118esumcl 30902 . . . . . . . 8 (((1...(𝑛 + 1)) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
120112, 117, 119sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴 ∈ (0[,]+∞))
121105, 110, 111, 120fvmptd 6648 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))𝐴)
12297, 99, 1213brtr4d 5000 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
123 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
12429, 89, 122, 123lmdvglim 30810 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
125 nfv 1896 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
126 nfcv 2951 . . . . . . 7 𝑘
127 nnex 11498 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
128127a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℕ ∈ V)
12941adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
130 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
131 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
132 inss1 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ
133 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
134132, 133sseldi 3893 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ)
135134elpwid 4471 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ⊆ ℕ)
136 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
137135, 136sseldd 3896 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ ℕ)
138131, 137, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
139138fmpttd 6749 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐴):𝑥⟶(0[,)+∞))
140 esumpfinvallem 30946 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ (𝑘𝑥𝐴):𝑥⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)))
141130, 139, 140syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)))
142 inss2 4132 . . . . . . . . . 10 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ Fin
143142, 130sseldi 3893 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
144131, 137, 14syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ ℂ)
145143, 144gsumfsum 20298 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (ℂfld Σg (𝑘𝑥𝐴)) = Σ𝑘𝑥 𝐴)
146141, 145eqtr3d 2835 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐴)) = Σ𝑘𝑥 𝐴)
147125, 126, 128, 129, 146esumval 30918 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ))
148147adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ))
14989, 122, 123lmdvg 30809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛))
150149r19.21bi 3177 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛))
151 nnz 11858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ ℤ)
152 uzid 12112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℤ → 𝑙 ∈ (ℤ𝑙))
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ (ℤ𝑙))
154 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 = 𝑙)
155154fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑙))
156155breq2d 4980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝑦 < (𝐹𝑛) ↔ 𝑦 < (𝐹𝑙)))
157153, 156rspcdv 3564 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛) → 𝑦 < (𝐹𝑙)))
158157reximia 3208 . . . . . . . . . 10 (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙)𝑦 < (𝐹𝑛) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙))
159150, 158syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙))
160 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
16189ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
162 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
163161, 162ffvelrnd 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ∈ (0[,)+∞))
1644, 163sseldi 3893 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
165 ltle 10582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑙) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
166160, 164, 165syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
167 oveq2 7031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑙 → (1...𝑛) = (1...𝑙))
168 esumeq1 30906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...𝑛) = (1...𝑙) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
169167, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑙 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
170 esumex 30901 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V)
17216, 169, 162, 171fvmptd3 6664 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
173 fzfid 13195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (1...𝑙) ∈ Fin)
174 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → (𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
175 elfznn 12790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑙) → 𝑘 ∈ ℕ)
176175adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
177174, 176, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑙)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
178173, 177esumpfinval 30947 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
179172, 178eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
180179breq2d 4980 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
181166, 180sylibd 240 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝐹𝑙) → 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
182181reximdva 3239 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 < (𝐹𝑙) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
183159, 182mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
184 fzssuz 12802 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑙) ⊆ (ℤ‘1)
185184, 1sseqtr4i 3931 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑙) ⊆ ℕ
186 ovex 7055 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑙) ∈ V
187186elpw 4465 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ ↔ (1...𝑙) ⊆ ℕ)
188185, 187mpbir 232 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ
189 fzfi 13194 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑙) ∈ Fin
190 elin 4096 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↔ ((1...𝑙) ∈ 𝒫 ℕ ∧ (1...𝑙) ∈ Fin))
191188, 189, 190mpbir2an 707 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)
192 sumex 14882 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V
193 eqid 2797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)
194 sumeq1 14883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1...𝑙) → Σ𝑘𝑥 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴)
195193, 194elrnmpt1s 5718 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑙) ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴))
196191, 192, 195mp2an 688 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)
197 nfv 1896 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴
198 breq2 4972 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → (𝑦𝑧𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴))
199197, 198rspce 3556 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
200196, 199mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
201200rexlimivw 3247 . . . . . . . 8 (∃𝑙 ∈ ℕ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑙)𝐴 → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
202183, 201syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
203202ralrimiva 3151 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧)
204 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
205142, 204sseldi 3893 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
206138adantllr 715 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2074, 206sseldi 3893 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
208205, 207fsumrecl 14928 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐴 ∈ ℝ)
209208rexrd 10544 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐴 ∈ ℝ*)
210209fmpttd 6749 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴):(𝒫 ℕ ∩ Fin)⟶ℝ*)
211 frn 6395 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴):(𝒫 ℕ ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ⊆ ℝ*)
212 supxrunb1 12566 . . . . . . 7 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴) ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞))
213210, 211, 2123syl 18 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴)𝑦𝑧 ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞))
214203, 213mpbid 233 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐴), ℝ*, < ) = +∞)
215148, 214eqtrd 2833 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = +∞)
216124, 215breqtrrd 4996 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
21788, 216pm2.61dan 809 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
21816reseq1i 5737 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘))
219 eleq1w 2867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
220219anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
221 sbequ12r 2219 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ([𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞ ↔ 𝐴 = +∞))
222220, 221anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞)))
223 fveq2 6545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
224223reseq2d 5741 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)))
225223xpeq1d 5479 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → ((ℤ𝑙) × {+∞}) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
226224, 225eqeq12d 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
227222, 226imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞})) ↔ (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))))
228 nfv 1896 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑𝑙 ∈ ℕ)
229 nfs1v 2239 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘[𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞
230228, 229nfan 1885 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞)
231 nfv 1896 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)
232230, 231nfan 1885 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙))
233 ovexd 7057 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → (1...𝑛) ∈ V)
234 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
23518adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
236234, 235, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
237 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ ℕ)
238 elnnuz 12135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℕ ↔ 𝑙 ∈ (ℤ‘1))
239 eluzfz 12757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑙 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
240238, 239sylanb 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
241237, 240sylancom 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑙 ∈ (1...𝑛))
242 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞)
243 sbequ12 2218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐴 = +∞ ↔ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞))
244229, 243rspce 3556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑙 ∈ (1...𝑛) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
245241, 242, 244syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
246232, 233, 236, 245esumpinfval 30945 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑙)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
247246ralrimiva 3151 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞)
248 eqidd 2798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑙))
249 mpteq12 5054 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤ𝑙) = (ℤ𝑙) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
250248, 249sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
251 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → 𝑙 ∈ ℕ)
252 uznnssnn 12148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
253 resmpt 5793 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ𝑙) ⊆ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
254251, 252, 2533syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
255254adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
256 fconstmpt 5507 . . . . . . . . . . . 12 ((ℤ𝑙) × {+∞}) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞)
257256a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((ℤ𝑙) × {+∞}) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑙) ↦ +∞))
258250, 255, 2573eqtr4d 2843 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑙*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}))
259247, 258mpdan 683 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑙 ∈ ℕ) ∧ [𝑙 / 𝑘]𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑙)) = ((ℤ𝑙) × {+∞}))
260227, 259chvarv 2372 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
261218, 260syl5eq 2845 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
262261ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = +∞ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
263262reximdva 3239 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞ → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})))
264263imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}))
265 xrge0topn 30799 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
26629, 265eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
267 letopon 21501 . . . . . . . . . . 11 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
268 iccssxr 12673 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
269 resttopon 21457 . . . . . . . . . . 11 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
270267, 268, 269mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
271266, 270eqeltri 2881 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
272271a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
273 0xr 10541 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
274 pnfxr 10548 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
275 0lepnf 12381 . . . . . . . . . 10 0 ≤ +∞
276 ubicc2 12707 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
277273, 274, 275, 276mp3an 1453 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0[,]+∞)
278277a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
27940nnzd 11940 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
280 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑘) = (ℤ𝑘)
281280lmconst 21557 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ +∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞)
282272, 278, 279, 281syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞)
283 breq1 4971 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞))
284283biimprd 249 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞}) → (((ℤ𝑘) × {+∞})(⇝𝑡𝐽)+∞ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞))
285282, 284mpan9 507 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞)
286 ovexd 7057 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0[,]+∞) ∈ V)
287 cnex 10471 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
288287a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
28956adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
290 nnsscn 11497 . . . . . . . . . 10 ℕ ⊆ ℂ
291290a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℕ ⊆ ℂ)
292 elpm2r 8281 . . . . . . . . 9 ((((0[,]+∞) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ ℕ ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ ((0[,]+∞) ↑pm ℂ))
293286, 288, 289, 291, 292syl22anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ((0[,]+∞) ↑pm ℂ))
294272, 293, 279lmres 21596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞))
295294biimpar 478 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘))(⇝𝑡𝐽)+∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
296285, 295syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
297296r19.29an 3253 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)) = ((ℤ𝑘) × {+∞})) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
298264, 297syldan 591 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞)
299 nfv 1896 . . . . 5 𝑘𝜑
300 nfre1 3271 . . . . 5 𝑘𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞
301299, 300nfan 1885 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞)
302127a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ℕ ∈ V)
30341adantlr 711 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
304 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞)
305301, 302, 303, 304esumpinfval 30945 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = +∞)
306298, 305breqtrrd 4996 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) → 𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
307 eleq1w 2867 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ ℕ))
308307anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑚 ∈ ℕ)))
3097eleq1d 2869 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
310308, 309imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
311310, 41chvarv 2372 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
312 eliccelico 30184 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞)))
313273, 274, 275, 312mp3an 1453 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
314311, 313sylib 219 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
315314ralrimiva 3151 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞))
316 r19.30 3301 . . . 4 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ 𝐵 = +∞) → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
317315, 316syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
3187eqeq1d 2799 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
319318cbvrexv 3406 . . . 4 (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞ ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞)
320319orbi2i 907 . . 3 ((∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞) ↔ (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝐵 = +∞))
321317, 320sylibr 235 . 2 (𝜑 → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = +∞))
322217, 306, 321mpjaodan 953 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1525  [wsb 2044  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3440  cin 3864  wss 3865  𝒫 cpw 4459  {csn 4478   class class class wbr 4968  cmpt 5047   × cxp 5448  dom cdm 5450  ran crn 5451  cres 5452   Fn wfn 6227  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  pm cpm 8264  Fincfn 8364  supcsup 8757  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393  +∞cpnf 10525  *cxr 10527   < clt 10528  cle 10529  cn 11492  cz 11835  cuz 12097  [,)cico 12594  [,]cicc 12595  ...cfz 12746  seqcseq 13223  cli 14679  Σcsu 14880  s cress 16317  t crest 16527  TopOpenctopn 16528   Σg cgsu 16547  ordTopcordt 16605  *𝑠cxrs 16606  fldccnfld 20231  TopOnctopon 21206  𝑡clm 21522  Σ*cesum 30899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-pi 15263  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-ordt 16607  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-ps 17643  df-tsr 17644  df-plusf 17684  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-subrg 19227  df-abv 19282  df-lmod 19330  df-scaf 19331  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-lm 21525  df-haus 21611  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-tmd 22368  df-tgp 22369  df-tsms 22422  df-trg 22455  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-nm 22879  df-ngp 22880  df-nrg 22882  df-nlm 22883  df-ii 23172  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825  df-esum 30900
This theorem is referenced by:  esumcvg2  30959
  Copyright terms: Public domain W3C validator